<h1>Some results on best proximity points of cyclic alpha-psi contractions in Menger probabilistic metric spaces</h1>
			<ul class="item-list">
	        	        <li>
	            M. De la Sen	            	            <abbr title="This is the corresponding author for this article">*</abbr>
	            	            	                <a href="mailto:manuel.delasen@ehu.es" class="tiny-icon email-link mx-1" title="Email M. De la Sen">
	                    Email
	                </a>
	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Faculty of Science and Technology, Institute of Research and Development of Processes IIDP, University of the Basque Country, Leioa, Bizkaia, 48940, ES">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            Antonio F. Roldán	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, University of Jaén, Jaén, 23071, ES">
	                2	            </sup>
	            	        </li>
	        	    </ul>
	    	    <ol class="affiliations" aria-hidden="true">
	        <li>Faculty of Science and Technology, Institute of Research and Development of Processes IIDP, University of the Basque Country, Leioa, Bizkaia, 48940, ES</li><li>Department of Mathematics, University of Jaén, Jaén, 23071, ES</li>	    </ol>
	    
<h2>Abstract</h2>
<p>This paper investigates properties of convergence of distances of 
<span id="IEq1"><mml:math id="IEq1_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq2"><mml:math id="IEq2_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq2.gif"/></span>
-
<span id="IEq3"><mml:math id="IEq3_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq3.gif"/></span>
-type contractions on the union of the 
<span id="IEq4"><mml:math id="IEq4_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq4.gif"/></span>
 subsets of a space 
<span id="IEq5"><mml:math id="IEq5_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq5.gif"/></span>
 defining probabilistic metric spaces and Menger spaces. The paper also investigates the characterization of both Cauchy and 
<span id="IEq6"><mml:math id="IEq6_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq6.gif"/></span>
-Cauchy sequences which are convergent, in particular, to best proximity points. On the other hand, the existence and uniqueness of fixed points and best proximity points of 
<span id="IEq7"><mml:math id="IEq7_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq7.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq8"><mml:math id="IEq8_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq8.gif"/></span>
-
<span id="IEq9"><mml:math id="IEq9_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq9.gif"/></span>
-type contractions are also investigated. The fixed points of the 
<span id="IEq10"><mml:math id="IEq10_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq10.gif"/></span>
-composite self-mappings, which are obtained from the 
<span id="IEq11"><mml:math id="IEq11_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq11.gif"/></span>
-cyclic self-mapping restricted to each of the 
<span id="IEq12"><mml:math id="IEq12_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq12.gif"/></span>
 subsets in the cyclic disposal, are also investigated while a generalization and some illustrative examples are also given.</p><hr/><section><h2>Introduction</h2>
<section><p>Fixed point theory in the framework of probabilistic metric spaces [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
–
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
] is receiving important research attention. See, for instance, [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
–
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
, 
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
–
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
]. In addition, Menger probabilistic metric spaces are a special case of the wide class of probabilistic metric spaces which are endowed with a triangular norm [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
, 
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
, 
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
, 
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
, 
<a href="#CR11"><sup>11</sup></a>
, 
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
, 
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
]. In probabilistic metric spaces, the deterministic notion of distance is considered to be probabilistic in the sense that, given any two points 
<span id="IEq15"><mml:math id="IEq15_Math"><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq15.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq16"><mml:math id="IEq16_Math"><mml:mi>y</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq16.gif"/></span>
 of a metric space, a measure of the distance between them is a probabilistic metric 
<span id="IEq17"><mml:math id="IEq17_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq17.gif"/></span>
, rather than the deterministic distance 
<span id="IEq18"><mml:math id="IEq18_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d\left( {x,y} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq18.gif"/></span>
, which is interpreted as the probability of the distance between 
<span id="IEq19"><mml:math id="IEq19_Math"><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq19.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq20"><mml:math id="IEq20_Math"><mml:mi>y</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq20.gif"/></span>
 being less than 
<span id="IEq21"><mml:math id="IEq21_Math"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq21.gif"/></span>
<span id="IEq22"><mml:math id="IEq22_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {t > 0} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq22.gif"/></span>
 [
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
].</p></section>
<section><p>Fixed point theorems in complete Menger spaces for probabilistic concepts of 
<span id="IEq23"><mml:math id="IEq23_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq23.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq24"><mml:math id="IEq24_Math"><mml:mi>C</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq24.gif"/></span>
-contractions can be found in [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
] together with a new notion of contraction, referred to as 
<span id="IEq25"><mml:math id="IEq25_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Ψ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\varPsi,\;C} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq25.gif"/></span>
-contraction. Such a contraction was proved to be useful for multivalued mappings while it generalizes the previous concept of 
<span id="IEq26"><mml:math id="IEq26_Math"><mml:mi>C</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq26.gif"/></span>
-contraction. On the other hand, 2-cyclic 
<span id="IEq27"><mml:math id="IEq27_Math"><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq27.gif"/></span>
-contractions on intersecting subsets of complete Menger spaces were discussed in [
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
] for contractions based on control 
<span id="IEq28"><mml:math id="IEq28_Math"><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq28.gif"/></span>
-functions. See also [
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
]. It was found that fixed points are unique. In addition, 
<span id="IEq29"><mml:math id="IEq29_Math"><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq29.gif"/></span>
-contractions in complete probabilistic Menger spaces have been also studied in [
<a href="#CR11"><sup>11</sup></a>
] through the use of altering distances. See also [
<a href="#CR14"><sup>14</sup></a>
, 
<a href="#CR26"><sup>26</sup></a>
]. On the other hand, probabilistic Banach spaces versus Fixed Point Theory were discussed in [
<a href="#CR10"><sup>10</sup></a>
]. The concept of probabilistic complete metric space was adapted to the formalism of Banach spaces defined with norms being defined by triangular functions and under a suitable ordering in the considered space. In parallel, mixed monotone operators in such Banach spaces were discussed while the existence of coupled minimal and maximal fixed points for these operators was analyzed and discussed in detail. Further extensions to contractive mappings in complete fuzzy metric spaces using generalized distance distribution functions have been studied in [
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
, 
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
] and references therein. The concept of altering distances was exploited in a very general context to derive fixed point results in [
<a href="#CR14"><sup>14</sup></a>
], and extended later on in [
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
] to Menger probabilistic metric spaces. On the other hand, general fixed point theorems have been very recently obtained in [
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
] for two new classes of contractive mappings in Menger probabilistic metric spaces. The results have been established for 
<span id="IEq30"><mml:math id="IEq30_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha { - }\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq30.gif"/></span>
 contractive mappings and for a generalized 
<span id="IEq31"><mml:math id="IEq31_Math"><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq31.gif"/></span>
-type one. It has also to be pointed out that the parallel background literature related to results on best proximity points and fixed points in cyclic mappings in metric and Banach spaces as well as topics related to common fixed points is exhaustive including studies of fixed point theory and applications in the fuzzy framework. See, for instance, [
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
, 
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
, 
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
, 
<a href="#CR17"><sup>17</sup></a>
–
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
, 
<a href="#CR31"><sup>31</sup></a>
–
<a href="#CR37"><sup>37</sup></a>
] as well as references therein.</p></section>
<section><p>This paper investigates properties of convergence of distances of 
<span id="IEq32"><mml:math id="IEq32_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq32.gif"/></span>
-cyclic contractions on the union of the 
<span id="IEq33"><mml:math id="IEq33_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq33.gif"/></span>
 subsets of the abstract set 
<span id="IEq34"><mml:math id="IEq34_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq34.gif"/></span>
 defining the probabilistic metric spaces and the Menger spaces as well as the characterization of Cauchy and 
<span id="IEq35"><mml:math id="IEq35_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq35.gif"/></span>
-Cauchy sequences which converge to best proximity points of 
<span id="IEq36"><mml:math id="IEq36_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq36.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq37"><mml:math id="IEq37_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq37.gif"/></span>
-
<span id="IEq38"><mml:math id="IEq38_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq38.gif"/></span>
-type contractions. The existence and uniqueness of fixed points and best proximity points of 
<span id="IEq39"><mml:math id="IEq39_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq39.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq40"><mml:math id="IEq40_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq40.gif"/></span>
-
<span id="IEq41"><mml:math id="IEq41_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq41.gif"/></span>
-type contractions. The fixed points of the 
<span id="IEq42"><mml:math id="IEq42_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq42.gif"/></span>
-composite self-mappings, which are obtained from the cyclic self-mapping restricted to each of the 
<span id="IEq43"><mml:math id="IEq43_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq43.gif"/></span>
 subsets in the cyclic disposal, are also investigated while illustrative examples and a further generalization are also given.</p></section>
<section><p>Denote 
<span id="IEq44"><mml:math id="IEq44_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:msub><mml:mrow/><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{R}}{}_{ + } = \left\{ {z \in {\mathbf{R}}\; :\,z > 0} \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq44.gif"/></span>
, 
<span id="IEq45"><mml:math id="IEq45_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:msub><mml:mrow/><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{R}}_{0 + } = {\mathbf{R}}{}_{ + } \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq45.gif"/></span>
, 
<span id="IEq46"><mml:math id="IEq46_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:msub><mml:mrow/><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{Z}}{}_{ + } = \left\{ {z \in {\mathbf{Z}}\; :\,z > 0} \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq46.gif"/></span>
, 
<span id="IEq47"><mml:math id="IEq47_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:msub><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:msub><mml:mrow/><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{Z}}{}_{0 + } = {\mathbf{Z}}{}_{ + } \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq47.gif"/></span>
, 
<span id="IEq48"><mml:math id="IEq48_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{n} = \{ {1,2,\ldots,n} \}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq48.gif"/></span>
, and denote also by 
<span id="IEq49"><mml:math id="IEq49_Math"><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{L}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq49.gif"/></span>
, the set of distance distribution functions 
<span id="IEq50"><mml:math id="IEq50_Math"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$H :{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0, 1 } \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq50.gif"/></span>
, [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
], which are non-decreasing and left continuous such that 
<span id="IEq51"><mml:math id="IEq51_Math"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$H\left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq51.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq52"><mml:math id="IEq52_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>H</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\sup }\limits_{{t \in {\mathbf{R}}}} \,H\left( t \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq52.gif"/></span>
. Let 
<span id="IEq53"><mml:math id="IEq53_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq53.gif"/></span>
 be a nonempty set and let the probabilistic metric (or distance) 
<span id="IEq54"><mml:math id="IEq54_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F\, :X \times X \to L$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq54.gif"/></span>
 a symmetric mapping from 
<span id="IEq55"><mml:math id="IEq55_Math"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X \times X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq55.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq56"><mml:math id="IEq56_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq56.gif"/></span>
 is an abstract set, to the set of distance distribution functions 
<span id="IEq57"><mml:math id="IEq57_Math"><mml:mi>L</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$L$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq57.gif"/></span>
 of the form 
<span id="IEq58"><mml:math id="IEq58_Math"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$H:{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq58.gif"/></span>
 which are functions of elements 
<span id="IEq59"><mml:math id="IEq59_Math"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x, y}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq59.gif"/></span>
 for every 
<span id="IEq60"><mml:math id="IEq60_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {x,\,y} \right) \quad \in X \times X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq60.gif"/></span>
. Then, the ordered pair 
<span id="IEq61"><mml:math id="IEq61_Math"><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)^{{}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq61.gif"/></span>
 is a probabilistic metric space (PM) [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
, 
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
, 
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
] if
<ul><li><p><span id="IEq62"><mml:math id="IEq62_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x,\,y \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq62.gif"/></span>
<span id="IEq63"><mml:math id="IEq63_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>;</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo stretchy="false">⇔</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\,\left( {F_{x,y} \left( t \right) = 1\, ;\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + } } \right)\,\, \Leftrightarrow \left( {x = y} \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq63.gif"/></span></p></li>
<li><p><span id="IEq64"><mml:math id="IEq64_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right) = F_{y,x} \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq64.gif"/></span>
; 
<span id="IEq65"><mml:math id="IEq65_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x,\,y \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq65.gif"/></span>
, 
<span id="IEq66"><mml:math id="IEq66_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq66.gif"/></span></p></li>
<li><p><section id="Equ1"><mml:math display="block" id="Equ1_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x,\,y,z \in X;\quad \forall t_{1} ,\,t_{2} \in {\mathbf{R}}_{ + } \left( {\,\left( {F_{x,y} \left( {t_{1} } \right) = F_{y,z} \left( {t_{2} } \right) = 1} \right) \Rightarrow \left( {F_{x,z} \left( {t_{1} + t_{2} } \right) = 1} \right)\,} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ1.gif"/></section></p></li></ul></p></section>
<section><p>A particular distance distribution function 
<span id="IEq67"><mml:math id="IEq67_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \in L$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq67.gif"/></span>
 is a probabilistic metric (or distance) which takes values 
<span id="IEq68"><mml:math id="IEq68_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq68.gif"/></span>
 identified with a probability distance density function 
<span id="IEq69"><mml:math id="IEq69_Math"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$H :{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq69.gif"/></span>
 in the set of all the distance distribution functions 
<span id="IEq70"><mml:math id="IEq70_Math"><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{L}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq70.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>A Menger PM-space is a triplet 
<span id="IEq71"><mml:math id="IEq71_Math"><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta } \right)^{{}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq71.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq72"><mml:math id="IEq72_Math"><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)^{{}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq72.gif"/></span>
 is a PM-space which satisfies:
<section id="Equ2"><mml:math display="block" id="Equ2_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( {t_{1} + t_{2} } \right) \ge \,\Delta \,\left( {F_{x,z} \left( {t_{1} } \right),\;F_{z,y} \left( {t_{2} } \right)} \right);\quad \forall x,y,z \in X,\quad \forall t_{1} ,\,t_{2} \in {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ2.gif"/></section>
under 
<span id="IEq73"><mml:math id="IEq73_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta :\,\left[ {\, 0,\; 1} \right] \times \left[ {0,\;1} \right] \to \left[ {0,\;1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq73.gif"/></span>
 is a 
<em>t</em>
-norm (or triangular norm) belonging to the set 
<span id="IEq74"><mml:math id="IEq74_Math"><mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{T}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq74.gif"/></span>
 of 
<em>t</em>
-norms which satisfies the properties:</p></section>
<section><p>1. 
<span id="IEq75"><mml:math id="IEq75_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta \left( {a,1} \right) = a$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq75.gif"/></span></p></section>
<section><p>2. 
<span id="IEq76"><mml:math id="IEq76_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta \left( {a,b} \right) = \Delta \left( {b,a} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq76.gif"/></span></p></section>
<section><p>3. 
<span id="IEq77"><mml:math id="IEq77_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta \left( {c,d} \right) \ge \Delta \left( {a,b} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq77.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq78"><mml:math id="IEq78_Math"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$c \ge a$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq78.gif"/></span>
, 
<span id="IEq79"><mml:math id="IEq79_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d \ge b$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq79.gif"/></span></p></section>
<section><p>4. 
<section id="Equ3"><mml:math display="block" id="Equ3_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta \left( {\Delta \left( {a,b} \right),\,c} \right) = \Delta \left( {a,\Delta \left( {b,c} \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ3.gif"/></section></p></section>
<section><p>A property which follows from the above ones is 
<span id="IEq80"><mml:math id="IEq80_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta \left( {a,0} \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq80.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq81"><mml:math id="IEq81_Math"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a \in \left[ {0,\;1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq81.gif"/></span>
. Typical continuous 
<span id="IEq82"><mml:math id="IEq82_Math"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq82.gif"/></span>
-norms are the minimum 
<em>t</em>
-norm defined by 
<span id="IEq83"><mml:math id="IEq83_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta_{M} \left( {a,b} \right) = \hbox{min} \,\left( {a,b} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq83.gif"/></span>
, the product 
<em>t</em>
-norm defined by 
<span id="IEq84"><mml:math id="IEq84_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta_{P} \left( {a,b} \right) = a.b$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq84.gif"/></span>
 and the Lukasiewicz (or nilpotent-minimum) 
<em>t</em>
-norm defined by 
<span id="IEq85"><mml:math id="IEq85_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta_{L} \left( {a,b} \right) = \hbox{max} \,\left( {a + b - 1,\;0} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq85.gif"/></span>
 which are related by the inequalities 
<span id="IEq86"><mml:math id="IEq86_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta_{L} \le \Delta_{P} \le \Delta_{M}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq86.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>The (probabilistic) diameter of a subset 
<span id="IEq87"><mml:math id="IEq87_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq87.gif"/></span>
 of 
<span id="IEq88"><mml:math id="IEq88_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq88.gif"/></span>
 is a function from 
<span id="IEq89"><mml:math id="IEq89_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq89_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq89.gif"/></span>
 to 
<span id="IEq90"><mml:math id="IEq90_Math"><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq90_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left[ {0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq90.gif"/></span>
 defined by 
<span id="IEq91"><mml:math id="IEq91_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>z</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">inf</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq91_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{A} \left( z \right) = \mathop {\sup }\limits_{t < z} \mathop {\inf }\limits_{x,\;y \in A} F_{x,y} \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq91.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq92"><mml:math id="IEq92_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq92_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq92.gif"/></span>
 is probabilistically bounded if 
<span id="IEq93"><mml:math id="IEq93_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>z</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq93_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{A}^{p} = \mathop {\sup }\limits_{{z \in {\mathbf{R}}_{ + } }} D_{A} \left( z \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq93.gif"/></span>
 (
<span id="IEq94"><mml:math id="IEq94_Math"><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq94_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{A}^{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq94.gif"/></span>
 can be defined equivalently as 
<span id="IEq95"><mml:math id="IEq95_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>z</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq95_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } D_{A} \left( z \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq95.gif"/></span>
), probabilistically semibounded if 
<span id="IEq96"><mml:math id="IEq96_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq96_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0 < D_{A}^{p} < 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq96.gif"/></span>
 and probabilistically unbounded if 
<span id="IEq97"><mml:math id="IEq97_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq97_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{A}^{p} = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq97.gif"/></span>
 [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
, 
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
]. The diameter of a subset 
<span id="IEq98"><mml:math id="IEq98_Math"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq98_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A \subset X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq98.gif"/></span>
 in the PM-space 
<span id="IEq99"><mml:math id="IEq99_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq99_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq99.gif"/></span>
, induced by a metric space 
<span id="IEq100"><mml:math id="IEq100_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,d} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq100.gif"/></span>
, refers to maximum real interval measure, where the argument of the probabilistic metric is unity, that is,
<section id="Equ4"><mml:math display="block" id="Equ4_Math"><mml:mrow><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">inf</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mrow><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>otherwise</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{diam}}\;A = \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {\inf \;\left\{ {t \in {\mathbf{R}}_{ + } \;:\left( {\;\mathop {\sup }\limits_{{x,y \in A}} \left( {F_{{x,y}} \left( t \right)\;:\,d\left( {x,y} \right) = \mathop {\sup }\limits_{{x,y \in A}} \,d\left( {x,\,y} \right)} \right)} \right) = 1} \right\}} &\quad {{\text{if}}\,\left\{ {t \in {\mathbf{R}}_{ + } \;:\left( {\;\mathop {\sup }\limits_{{x,y \in A}} \left( {F_{{x,y}} \left( t \right)\;:\,d\left( {x,y} \right) = \mathop {\sup }\limits_{{x,y \in A}} \,d\left( {x,\,y} \right)} \right)} \right) = 1} \right\} \ne \;\emptyset } \\ \infty & \quad {{\text{otherwise}}} \\ \end{array} } \right.$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ4.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Example 1.1</h2>
<p>Let 
<span id="IEq101"><mml:math id="IEq101_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq101.gif"/></span>
 be an abstract nonempty set, 
<span id="IEq102"><mml:math id="IEq102_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq102.gif"/></span>
 be a PM-space and 
<span id="IEq103"><mml:math id="IEq103_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,d} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq103.gif"/></span>
 be a companion metric space and let 
<span id="IEq104"><mml:math id="IEq104_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq104.gif"/></span>
 be a nonempty subset of 
<span id="IEq105"><mml:math id="IEq105_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq105.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq106"><mml:math id="IEq106_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right) = \frac{{\alpha \left( {x,y} \right)t}}{{\beta \left( {x,y} \right)t + d\left( {x,y} \right)}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq106.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq107"><mml:math id="IEq107_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq107_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \le t_{1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq107.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq108"><mml:math id="IEq108_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq108_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{1} = \frac{{\mathop {\sup }\nolimits_{x,y \in A} d\left( {x,\,y} \right)}}{{\bar{\alpha } - \bar{\beta }}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq108.gif"/></span>
, and 
<span id="IEq109"><mml:math id="IEq109_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq109_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq109.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq110"><mml:math id="IEq110_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq110_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t > t_{1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq110.gif"/></span>
 with some given positive real functions subject to 
<span id="IEq111"><mml:math id="IEq111_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq111_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta \left( {x,y} \right) = \bar{\beta },\, \alpha \left( {x,y} \right) = \bar{\alpha }\,\left( { \ge \bar{\beta }} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq111.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq112"><mml:math id="IEq112_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq112_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,\,y} \right) = \beta \left( {x,y} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq112.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq113"><mml:math id="IEq113_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msub><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq113_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d\left( {x,y} \right) < \mathop {\sup }\nolimits_{x,y \in A} d\left( {x,\,y} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq113.gif"/></span>
. In this case, 
<span id="IEq114"><mml:math id="IEq114_Math"><mml:mrow><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>A</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq114_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{diam}}\left( A \right) = t_{1} \le \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq114.gif"/></span>
 being, in particular, infinity if 
<span id="IEq115"><mml:math id="IEq115_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq115_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{\alpha } = \bar{\beta }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq115.gif"/></span>
 (i.e., the probability one is reached as a limit as 
<span id="IEq116"><mml:math id="IEq116_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq116_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq116.gif"/></span>
) or if 
<span id="IEq117"><mml:math id="IEq117_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq117_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\sup }\nolimits_{x,y \in A} d\left( {x,\,y} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq117.gif"/></span>
 is arbitrarily large (i.e., if 
<span id="IEq118"><mml:math id="IEq118_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq118_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq118.gif"/></span>
 is unbounded as a subset of the metric space 
<span id="IEq119"><mml:math id="IEq119_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq119_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,d} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq119.gif"/></span>
). If 
<span id="IEq120"><mml:math id="IEq120_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq120_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\sup }\nolimits_{x,y \in A} d\left( {x,\,y} \right) < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq120.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq121"><mml:math id="IEq121_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq121_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{\alpha } > \bar{\beta }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq121.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq122"><mml:math id="IEq122_Math"><mml:mrow><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>A</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq122_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{diam}}\left( A \right) < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq122.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>The (probabilistic) distance in-between the subsets 
<span id="IEq123"><mml:math id="IEq123_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq123_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq123.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq124"><mml:math id="IEq124_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq124_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq124.gif"/></span>
 of 
<span id="IEq125"><mml:math id="IEq125_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq125_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq125.gif"/></span>
 defines the argument interval length of zero probability distance in-between points of two subsets 
<span id="IEq126"><mml:math id="IEq126_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq126_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq126.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq127"><mml:math id="IEq127_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq127_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq127.gif"/></span>
 of 
<span id="IEq128"><mml:math id="IEq128_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq128_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq128.gif"/></span>
 and it is defined as:
<section id="Equ5"><mml:math display="block" id="Equ5_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">inf</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>z</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="0.55542pt"/></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A,B} \right) = \inf \;\left( {z \in {\mathbf{R}}_{0 + } :\;\mathop {\sup }\limits_{x \in A,\;y \in B} F_{x,y} \left( z \right) = 0{\mkern 1mu} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ5.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Definition 1.1 [7, 8, 16]</h2>
<p>Let 
<span id="IEq129"><mml:math id="IEq129_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq129_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq129.gif"/></span>
 be a Menger PM-space. Then:
<ul><li><p>A sequence 
<span id="IEq130"><mml:math id="IEq130_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq130_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq130.gif"/></span>
 in 
<span id="IEq131"><mml:math id="IEq131_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq131_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq131.gif"/></span>
 is said to be convergent to 
<span id="IEq132"><mml:math id="IEq132_Math"><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq132_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq132.gif"/></span>
 in 
<span id="IEq133"><mml:math id="IEq133_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq133_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq133.gif"/></span>
 if, for every 
<span id="IEq134"><mml:math id="IEq134_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq134_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon ,\,\lambda \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq134.gif"/></span>
, there exists 
<span id="IEq135"><mml:math id="IEq135_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq135_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq135.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq136"><mml:math id="IEq136_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq136_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x_{n} ,\,x}} \left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq136.gif"/></span>
, whenever 
<span id="IEq137"><mml:math id="IEq137_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq137_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \ge n_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq137.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p>A sequence 
<span id="IEq138"><mml:math id="IEq138_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq138_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq138.gif"/></span>
 in 
<span id="IEq139"><mml:math id="IEq139_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq139_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq139.gif"/></span>
 is said to be a Cauchy sequence if, for every 
<span id="IEq140"><mml:math id="IEq140_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq140_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon ,\,\lambda \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq140.gif"/></span>
, there exists 
<span id="IEq141"><mml:math id="IEq141_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq141_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq141.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq142"><mml:math id="IEq142_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq142_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x_{n} ,\,x_{m} }} \left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq142.gif"/></span>
, whenever 
<span id="IEq143"><mml:math id="IEq143_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq143_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n,m \ge n_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq143.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><span id="IEq144"><mml:math id="IEq144_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq144_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq144.gif"/></span>
 is complete if every Cauchy sequence in 
<span id="IEq145"><mml:math id="IEq145_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq145_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq145.gif"/></span>
 is convergent to a point in 
<span id="IEq146"><mml:math id="IEq146_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq146_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq146.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p>A sequence 
<span id="IEq147"><mml:math id="IEq147_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq147_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq147.gif"/></span>
 is said to be 
<span id="IEq148"><mml:math id="IEq148_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq148_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq148.gif"/></span>
-Cauchy if, for every 
<span id="IEq149"><mml:math id="IEq149_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq149_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq149.gif"/></span>
, 
<span id="IEq150"><mml:math id="IEq150_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq150_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{n} ,\,x_{n + m} }} \left( \varepsilon \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq150.gif"/></span>
,
<span id="IEq151"><mml:math id="IEq151_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq151_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall m \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq151.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><span id="IEq152"><mml:math id="IEq152_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq152_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq152.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq153"><mml:math id="IEq153_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq153_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq153.gif"/></span>
-complete if every 
<span id="IEq154"><mml:math id="IEq154_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq154_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq154.gif"/></span>
-Cauchy sequence in 
<span id="IEq155"><mml:math id="IEq155_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq155_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq155.gif"/></span>
 is convergent in 
<span id="IEq156"><mml:math id="IEq156_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq156_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq156.gif"/></span>
. □</p></li></ul></p></section>
<section><h2>Assertion 1.1</h2>
<p>Let 
<span id="IEq157"><mml:math id="IEq157_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq157_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq157.gif"/></span>
 be a Menger PM-space with 
<span id="IEq158"><mml:math id="IEq158_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq158_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta = \Delta_{M} ,\Delta_{P}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq158.gif"/></span>
 or 
<span id="IEq159"><mml:math id="IEq159_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq159_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta_{L}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq159.gif"/></span>
. The following properties hold:
<ul><li><p><span id="IEq160"><mml:math id="IEq160_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq160_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\} \subset X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq160.gif"/></span>
 convergent 
<span id="IEq161"><mml:math id="IEq161_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq161_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Rightarrow \;\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq161.gif"/></span>
 is Cauchy 
<span id="IEq162"><mml:math id="IEq162_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq162_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Rightarrow \;\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq162.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq163"><mml:math id="IEq163_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq163_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq163.gif"/></span>
-Cauchy.</p></li>
<li><p><span id="IEq164"><mml:math id="IEq164_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq164_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq164.gif"/></span>
<span id="IEq165"><mml:math id="IEq165_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq165_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq165.gif"/></span>
-complete 
<span id="IEq166"><mml:math id="IEq166_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq166_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Rightarrow \;$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq166.gif"/></span>
<span id="IEq167"><mml:math id="IEq167_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq167_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq167.gif"/></span>
 is complete</p></li></ul></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p><strong>Proof of (i) Step 1</strong>
 We first prove that 
<span id="IEq168"><mml:math id="IEq168_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq168_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq168.gif"/></span>
 convergent 
<span id="IEq169"><mml:math id="IEq169_Math"><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq169_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Rightarrow$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq169.gif"/></span>
<span id="IEq170"><mml:math id="IEq170_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq170_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq170.gif"/></span>
 is Cauchy. Since 
<span id="IEq171"><mml:math id="IEq171_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq171_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq171.gif"/></span>
 is convergent then for every 
<span id="IEq172"><mml:math id="IEq172_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq172_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon ,\,\lambda \in \left( {0,\,1} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq172.gif"/></span>
, there exists 
<span id="IEq173"><mml:math id="IEq173_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq173_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq173.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq174"><mml:math id="IEq174_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq174_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x_{m} ,\,x}} \left( {\varepsilon /2} \right) > 1 - \lambda /2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq174.gif"/></span>
, 
<span id="IEq175"><mml:math id="IEq175_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq175_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n,m\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq175.gif"/></span>
. Then, since 
<span id="IEq176"><mml:math id="IEq176_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq176_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F :{\mathbf{R}} \to \left[ {0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq176.gif"/></span>
 is non-decreasing, one gets: 
<section id="Equ6"><mml:math display="block" id="Equ6_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{x_{n} ,x_{m} }} \left( \varepsilon \right) &\ge \Delta \,\left( {F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right),\;F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)} \right) \hfill \\ &\ge \hbox{min} \,\,\left( {\,\Delta_{M} \,\left( {F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right),\;F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)} \right),} \right.\quad \Delta_{P} \,\left( {F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right),\;F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)} \right),\quad \Delta_{L} \,\left( {F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right),\;F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)} \right) \hfill \\ &= \hbox{min} \left( {\hbox{min} \left( {F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right) ,\;F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)} \right),F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right){\mathbf{.}}F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right),\quad \hbox{max} \left( {F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)\; + F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right) - 1} \right),0} \right) \hfill \\ &= F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)\; + F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right) - 1 \hfill \\ &= \Delta_{L} \,\left( {F_{{x_{n} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right),\;F_{{x_{m} ,x}} \left( {\varepsilon /2} \right)} \right) \hfill \\ &> 2\left( {1 - \lambda /2} \right) - 1 = 1 - \lambda ;\quad \forall n,m\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ6.gif"/></section>
and then 
<span id="IEq177"><mml:math id="IEq177_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq177_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq177.gif"/></span>
 is a Cauchy. Since the above inequalities hold for any 
<span id="IEq178"><mml:math id="IEq178_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq178_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n,m\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq178.gif"/></span>
, it turns out that 
<span id="IEq179"><mml:math id="IEq179_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq179_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\inf }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{n} ,{\kern 1pt} x_{n + m} }} \left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda ,\quad \forall m \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq179.gif"/></span>
.</p>
<p><strong>Proof of (i) Step 2</strong>
 We next prove by contradiction that 
<span id="IEq180"><mml:math id="IEq180_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq180_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq180.gif"/></span>
 is Cauchy 
<span id="IEq181"><mml:math id="IEq181_Math"><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq181_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Rightarrow$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq181.gif"/></span>
<span id="IEq182"><mml:math id="IEq182_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq182_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq182.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq183"><mml:math id="IEq183_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq183_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq183.gif"/></span>
-Cauchy. Assume that 
<span id="IEq184"><mml:math id="IEq184_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq184_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq184.gif"/></span>
 is Cauchy while it is not 
<span id="IEq185"><mml:math id="IEq185_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq185_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq185.gif"/></span>
-Cauchy. Then, 
<span id="IEq186"><mml:math id="IEq186_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq186_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\inf }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{n} ,x_{n + m} }} \left( {\varepsilon_{1} /2} \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq186.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq187"><mml:math id="IEq187_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq187_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{n} ,\,x_{n + m} }} \left( {\varepsilon_{1} } \right) < 1 - 2\lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq187.gif"/></span>
, for some 
<span id="IEq188"><mml:math id="IEq188_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq188_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq188.gif"/></span>
, some 
<span id="IEq189"><mml:math id="IEq189_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq189_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon_{1} \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq189.gif"/></span>
 and some given 
<span id="IEq190"><mml:math id="IEq190_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq190_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda = \lambda \left( {\varepsilon_{1} } \right) \in \left( {0,\;1/2} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq190.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq191"><mml:math id="IEq191_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq191_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,\,y} \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq191.gif"/></span>
 is non-decreasing in 
<em>t</em>
 for all 
<span id="IEq192"><mml:math id="IEq192_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq192_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x,y \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq192.gif"/></span>
, so that 
<span id="IEq193"><mml:math id="IEq193_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq193_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,\,y} \left( {\varepsilon_{1} } \right) \ge F_{x,\,y} \left( {\varepsilon_{1} /2} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq193.gif"/></span>
, then:
<section id="Equ7"><mml:math display="block" id="Equ7_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1 - 2\lambda > \mathop {\lim \;\inf }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{n} ,{\kern 1pt} x_{n + m} }} \left( {\varepsilon_{1} } \right) \ge \mathop {\lim \;\inf }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{n} ,x_{n + m} }} \left( {\varepsilon_{1} /2} \right) > 1 - \lambda,$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ7.gif"/></section></p>
<p><span id="IEq1414"><mml:math id="IEq1414_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1414_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall m \in {\mathbf{Z}}_{ + } .$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1414.gif"/></span>
 But then 
<span id="IEq194"><mml:math id="IEq194_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq194_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda < \lambda /2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq194.gif"/></span>
. Then, 
<span id="IEq195"><mml:math id="IEq195_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq195_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq195.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq196"><mml:math id="IEq196_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq196_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq196.gif"/></span>
-Cauchy.</p>
<p>Proof of (ii): Let 
<span id="IEq197"><mml:math id="IEq197_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq197_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq197.gif"/></span>
 be 
<span id="IEq198"><mml:math id="IEq198_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq198_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq198.gif"/></span>
-complete and let 
<span id="IEq199"><mml:math id="IEq199_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq199_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\} \subset X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq199.gif"/></span>
 be any given Cauchy sequence. Then 
<span id="IEq200"><mml:math id="IEq200_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq200_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq200.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq201"><mml:math id="IEq201_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq201_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq201.gif"/></span>
-Cauchy, from property (1), and convergent to some 
<span id="IEq202"><mml:math id="IEq202_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq202_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq202.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq203"><mml:math id="IEq203_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq203_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq203.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq204"><mml:math id="IEq204_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq204_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq204.gif"/></span>
-complete. Since 
<span id="IEq205"><mml:math id="IEq205_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq205_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq205.gif"/></span>
 is an arbitrary Cauchy sequence convergent in 
<span id="IEq206"><mml:math id="IEq206_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq206_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq206.gif"/></span>
, it turns out that 
<span id="IEq207"><mml:math id="IEq207_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq207_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq207.gif"/></span>
 is complete. □</p></section>
<section><p>The 
<span id="IEq208"><mml:math id="IEq208_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq208_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\varepsilon ,\,\lambda } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq208.gif"/></span>
-topology in a Menger in a PM-space 
<span id="IEq209"><mml:math id="IEq209_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq209_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq209.gif"/></span>
 is a Hausdorff topology introduced by the family of neighborhoods 
<span id="IEq210"><mml:math id="IEq210_Math"><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq210_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N_{x}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq210.gif"/></span>
 of a point 
<span id="IEq211"><mml:math id="IEq211_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq211_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq211.gif"/></span>
 given by 
<span id="IEq212"><mml:math id="IEq212_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq212_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N_{x} = \left\{ {N_{x} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right)\; :\,\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\;\lambda \in \left( {0,1} \right)} \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq212.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq213"><mml:math id="IEq213_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq213_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N_{x} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) = \left\{ {z \in X\; :F_{x,z} \left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq213.gif"/></span>
. In this topology, a function is continuous at 
<span id="IEq214"><mml:math id="IEq214_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq214_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq214.gif"/></span>
 if and only if 
<span id="IEq215"><mml:math id="IEq215_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq215_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {\,f\left( {x_{n} } \right)} \right\} \to f\left( {x_{0} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq215.gif"/></span>
 for every convergent sequence 
<span id="IEq216"><mml:math id="IEq216_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq216_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\} \to x_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq216.gif"/></span>
. See [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
] for more details. □</p></section>
<section><p>We next denote by 
<span id="IEq217"><mml:math id="IEq217_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq217_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( {z^{ + } } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq217.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq218"><mml:math id="IEq218_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq218_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( {z^{ - } } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq218.gif"/></span>
, respectively, the right and left limits of 
<span id="IEq219"><mml:math id="IEq219_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq219_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq219.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq220"><mml:math id="IEq220_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq220_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \to z$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq220.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Definition 1.2</h2>
<p>A function 
<span id="IEq221"><mml:math id="IEq221_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq221_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi :{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq221.gif"/></span>
 is said to be a 
<span id="IEq222"><mml:math id="IEq222_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq222_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{x y}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq222.gif"/></span>
-function if, for given real constants 
<span id="IEq223"><mml:math id="IEq223_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq223_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x,y \in {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq223.gif"/></span>
, with 
<span id="IEq224"><mml:math id="IEq224_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq224_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y \ge x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq224.gif"/></span>
, it satisfies the following conditions:
<ul><li><p><span id="IEq225"><mml:math id="IEq225_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq225_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq225.gif"/></span>
 is strictly increasing for 
<span id="IEq226"><mml:math id="IEq226_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq226_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left[ {x,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq226.gif"/></span></p></li>
<li><p><span id="IEq1415"><mml:math id="IEq1415_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1415_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( {x^{ + } } \right) = y$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1415.gif"/></span></p></li>
<li><p><span id="IEq227"><mml:math id="IEq227_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq227_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq227.gif"/></span>
 is everywhere left-continuous</p></li>
<li><p><span id="IEq228"><mml:math id="IEq228_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq228_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq228.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq229"><mml:math id="IEq229_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq229_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( { - \infty ,\;x} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq229.gif"/></span>
 □</p></li></ul></p></section>
<section><p>The set of functions 
<span id="IEq230"><mml:math id="IEq230_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq230_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{x x}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq230.gif"/></span>
 is simply denoted by 
<span id="IEq231"><mml:math id="IEq231_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq231_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{x}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq231.gif"/></span>
. If 
<span id="IEq232"><mml:math id="IEq232_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq232_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi :{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq232.gif"/></span>
 is in 
<span id="IEq233"><mml:math id="IEq233_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq233_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{x}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq233.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq234"><mml:math id="IEq234_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>x</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq234_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( x \right) = \varphi \left( {x^{ - } } \right) = 0 \le \varphi \left( {x^{ + } } \right) = x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq234.gif"/></span>
 and then if 
<span id="IEq235"><mml:math id="IEq235_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq235_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq235.gif"/></span>
, it is continuous at 
<span id="IEq236"><mml:math id="IEq236_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq236_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq236.gif"/></span>
. Note also that the particular set of functions 
<span id="IEq237"><mml:math id="IEq237_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq237_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq237.gif"/></span>
 coincides with the set of functions 
<span id="IEq238"><mml:math id="IEq238_Math"><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq238_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq238.gif"/></span>
 of [
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
] which have continuity at cero. Definition 1.2 will be used in the following to establish the class of contractions under investigation using functions in the sets 
<span id="IEq239"><mml:math id="IEq239_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq239_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq239.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq240"><mml:math id="IEq240_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq240_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq240.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq241"><mml:math id="IEq241_Math"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq241_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq241.gif"/></span>
 is the distance in-between adjacent subsets of the cyclic disposal in 
<span id="IEq242"><mml:math id="IEq242_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq242_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq242.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Definition 1.3 [16]</h2>
<p>A function 
<span id="IEq243"><mml:math id="IEq243_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq243_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi :{\mathbf{R}}_{0 + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq243.gif"/></span>
 is said to be a 
<span id="IEq244"><mml:math id="IEq244_Math"><mml:mi mathvariant="italic">Ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq244_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPsi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq244.gif"/></span>
-function if it continuous with 
<span id="IEq245"><mml:math id="IEq245_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq245_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq245.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq246"><mml:math id="IEq246_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq246_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{n} \left( {a_{n} } \right) \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq246.gif"/></span>
 when 
<span id="IEq247"><mml:math id="IEq247_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq247_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_{n} \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq247.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq248"><mml:math id="IEq248_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq248_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq248.gif"/></span>
.</p></section></section>
<section><h2>Main results on best proximity points for p\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}-cyclic α\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}-ψ\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}-type contractions</h2>
<section><p>The definition of a 
<span id="IEq252"><mml:math id="IEq252_Math"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq252_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p\left( { \ge 2} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq252.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq253"><mml:math id="IEq253_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq253_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq253.gif"/></span>
-
<span id="IEq254"><mml:math id="IEq254_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq254_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq254.gif"/></span>
-type contraction follows:</p></section>
<section><h2>Definition 2.1</h2>
<p>Let 
<span id="IEq255"><mml:math id="IEq255_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq255_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq255.gif"/></span>
 be a PM-space and let 
<span id="IEq256"><mml:math id="IEq256_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq256_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq256.gif"/></span>
 be nonempty subsets of 
<span id="IEq257"><mml:math id="IEq257_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq257_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq257.gif"/></span>
,
<span id="IEq258"><mml:math id="IEq258_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq258_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq258.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq259"><mml:math id="IEq259_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq259_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\,A_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq259.gif"/></span>
 is the common distance in-between adjacent subsets, 
<span id="IEq260"><mml:math id="IEq260_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq260_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq260.gif"/></span>
. Then 
<span id="IEq261"><mml:math id="IEq261_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq261_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq261.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq262"><mml:math id="IEq262_Math"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq262_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p\left( { \ge 2} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq262.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq263"><mml:math id="IEq263_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq263_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq263.gif"/></span>
-
<span id="IEq264"><mml:math id="IEq264_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq264_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq264.gif"/></span>
-type contraction if 
<span id="IEq265"><mml:math id="IEq265_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>⊆</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq265_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T\left( {A_{i} } \right) \subseteq A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq265.gif"/></span>
, 
<span id="IEq266"><mml:math id="IEq266_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq266_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq266.gif"/></span>
 and there exist two functions 
<span id="IEq267"><mml:math id="IEq267_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq267_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha :\left( {\,\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right) \times \left( {\,\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right) \times {\mathbf{R}}_{ + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq267.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq268"><mml:math id="IEq268_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">Ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq268_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \in \varPsi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq268.gif"/></span>
 satisfying the following inequality:
<section id="Equ8"><mml:math display="block" id="Equ8_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right)\left( {\frac{1}{{F_{Tx,\,Ty} \left( {\varphi \left( {Kt + \left( {1 - K} \right)\,D} \right)} \right)}}\; - 1} \right) \le \,\psi \left( {\frac{1}{{F_{x,\,y} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right),$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ8.gif"/></section>
<span id="IEq269"><mml:math id="IEq269_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq269_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1} ,\;\forall i \in \bar{p},\;\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } ,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq269.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq270"><mml:math id="IEq270_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq270_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left( {0, 1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq270.gif"/></span>
, for any given 
<span id="IEq271"><mml:math id="IEq271_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq271_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq271.gif"/></span>
 and any given real 
<span id="IEq272"><mml:math id="IEq272_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq272_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} \ge D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq272.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>Note that if 
<span id="IEq273"><mml:math id="IEq273_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq273_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq273.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq274"><mml:math id="IEq274_Math"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq274_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p\left( { \ge 2} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq274.gif"/></span>
-cyclic and if 
<span id="IEq275"><mml:math id="IEq275_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq275_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq275.gif"/></span>
 for some 
<span id="IEq276"><mml:math id="IEq276_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq276_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq276.gif"/></span>
 then for any 
<span id="IEq277"><mml:math id="IEq277_Math"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq277_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq277.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq278"><mml:math id="IEq278_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq278_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq278.gif"/></span>
, 
<span id="IEq279"><mml:math id="IEq279_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq279_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{np + i + j} x \in A_{np + i + j} = A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq279.gif"/></span>
 for some 
<span id="IEq280"><mml:math id="IEq280_Math"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq280_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq280.gif"/></span>
 since if 
<span id="IEq281"><mml:math id="IEq281_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq281_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n,m \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq281.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq282"><mml:math id="IEq282_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>mod</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq282_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \equiv m\left( {\bmod \,p} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq282.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq283"><mml:math id="IEq283_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq283_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{m} = A_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq283.gif"/></span>
. In particular, 
<span id="IEq284"><mml:math id="IEq284_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq284_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i + np} = A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq284.gif"/></span>
, 
<span id="IEq285"><mml:math id="IEq285_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq285_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq285.gif"/></span>
, 
<span id="IEq286"><mml:math id="IEq286_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq286_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq286.gif"/></span>
. It can be pointed out that 
<span id="IEq287"><mml:math id="IEq287_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq287_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq287.gif"/></span>
-cyclic contractions include the case of cyclic self-mappings 
<span id="IEq288"><mml:math id="IEq288_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq288_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq288.gif"/></span>
 on 
<span id="IEq289"><mml:math id="IEq289_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq289_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq289.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq290"><mml:math id="IEq290_Math"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq290_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X = \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq290.gif"/></span>
. In this case, 
<span id="IEq291"><mml:math id="IEq291_Math"><mml:msub><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq291_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {\,A_{i} } \right\}_{{i \in \bar{p}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq291.gif"/></span>
 is said to be a cyclic representation of 
<span id="IEq292"><mml:math id="IEq292_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq292_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,T} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq292.gif"/></span>
. On the other hand, note that is an 
<span id="IEq293"><mml:math id="IEq293_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq293_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq293.gif"/></span>
-
<span id="IEq294"><mml:math id="IEq294_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq294_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq294.gif"/></span>
-type contraction if (2.1) holds with 
<span id="IEq295"><mml:math id="IEq295_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq295_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq295.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq296"><mml:math id="IEq296_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq296_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq296.gif"/></span>
 [
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
]. The distances in-between adjacent subsets are assumed to be identical just to facilitate the exposition by simplifying the contractive condition to the form (
<a href="#Equ8"><sup>2.1</sup></a>
) so as to make less involved their associate calculations. Note that the distances in-between adjacent subsets in non-expansive cyclic self-mappings are identical in uniformly convex Banach spaces [
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
].</p></section>
<section><p>An equivalent constraint to (
<a href="#Equ8"><sup>2.1</sup></a>
) is now discussed:</p></section>
<section><h2>Proposition 2.1</h2>
<p><em>The constraint</em>
 (
<a href="#Equ8"><sup>2.1</sup></a>
) 
<em>is identical to:</em>
<section id="Equ9"><mml:math display="block" id="Equ9_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tx,Ty} \left( {\varphi \left( t \right)} \right) \ge \frac{{\alpha {\mkern 1mu} \left( {x,y{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)}}{{\alpha {\mkern 1mu} \left( {x,y{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right) + \psi \left( {F_{x,y}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) - 1} \right)}},$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ9.gif"/></section>
<span id="IEq297"><mml:math id="IEq297_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq297_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq297.gif"/></span>
, 
<span id="IEq298"><mml:math id="IEq298_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq298_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq298.gif"/></span>
, 
<span id="IEq299"><mml:math id="IEq299_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq299_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq299.gif"/></span>
<em>which is also identical, if</em>
<span id="IEq300"><mml:math id="IEq300_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq300_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right) \ne 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq300.gif"/></span>
, 
<span id="IEq301"><mml:math id="IEq301_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq301_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq301.gif"/></span>
, 
<span id="IEq302"><mml:math id="IEq302_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq302_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq302.gif"/></span>
, 
<span id="IEq303"><mml:math id="IEq303_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq303_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq303.gif"/></span>
, to
<section id="Equ10"><mml:math display="block" id="Equ10_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tx,Ty}^{ - 1} \left( {\varphi \left( t \right)} \right) \le 1 + \alpha^{ - 1} \,\left( {x,y,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)\psi \left( {F_{x,y}^{ - 1} \,\left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ10.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Note that, given 
<span id="IEq304"><mml:math id="IEq304_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq304_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left( {0,\,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq304.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq305"><mml:math id="IEq305_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq305_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D \ge 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq305.gif"/></span>
, the function 
<span id="IEq306"><mml:math id="IEq306_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq306_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta_{K,D} :\left[ {D,\infty } \right) \to \left[ {D,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq306.gif"/></span>
 defined by 
<span id="IEq307"><mml:math id="IEq307_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq307_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta_{K,D} \left( t \right) = Kt + \left( {1 - K} \right)D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq307.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq308"><mml:math id="IEq308_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq308_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D,\,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq308.gif"/></span>
 is a strictly increasing, bijective and bicontinuous function of (then continuous) inverse 
<span id="IEq309"><mml:math id="IEq309_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq309_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta_{K,D}^{ - 1} \left( t \right) = K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq309.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq310"><mml:math id="IEq310_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq310_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D,\,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq310.gif"/></span>
, which can be extended by continuity to 
<span id="IEq311"><mml:math id="IEq311_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq311_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t = D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq311.gif"/></span>
 by defining 
<span id="IEq312"><mml:math id="IEq312_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq312_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta \left( D \right) = D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq312.gif"/></span>
.Then, one gets from (
<a href="#Equ8"><sup>2.1</sup></a>
) that 
<section id="Equ11"><mml:math display="block" id="Equ11_Math"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{{F_{Tx,Ty} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right)}}{{1 - F_{Tx,Ty} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right)}} \ge \frac{{\alpha {\mkern 1mu} \left( {x,y{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)}}{{\psi \left( {F_{x,y}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) - 1} \right)}},$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ11.gif"/></section>
<span id="IEq313"><mml:math id="IEq313_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq313_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq313.gif"/></span>
, 
<span id="IEq314"><mml:math id="IEq314_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq314_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq314.gif"/></span>
, 
<span id="IEq315"><mml:math id="IEq315_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq315_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq315.gif"/></span>
 which is identical to (
<a href="#Equ9"><sup>2.2</sup></a>
). Equation (
<a href="#Equ10"><sup>2.3</sup></a>
) follows directly from (
<a href="#Equ8"><sup>2.1</sup></a>
) if 
<span id="IEq316"><mml:math id="IEq316_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq316_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \,\left( {x,y,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) \ne 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq316.gif"/></span>
. □</p></section>
<section><p>Note from (
<a href="#Equ9"><sup>2.2</sup></a>
) that, if 
<span id="IEq317"><mml:math id="IEq317_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq317_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq317.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq318"><mml:math id="IEq318_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq318_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = \psi \left( t \right) = t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq318.gif"/></span>
, 
<span id="IEq319"><mml:math id="IEq319_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq319_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x,y \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq319.gif"/></span>
, 
<span id="IEq320"><mml:math id="IEq320_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq320_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq320.gif"/></span>
, then the 
<span id="IEq321"><mml:math id="IEq321_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq321_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq321.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq322"><mml:math id="IEq322_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq322_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq322.gif"/></span>
-
<span id="IEq323"><mml:math id="IEq323_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq323_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq323.gif"/></span>
-type contraction 
<span id="IEq324"><mml:math id="IEq324_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq324_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq324.gif"/></span>
 becomes a 
<span id="IEq325"><mml:math id="IEq325_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq325_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq325.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq326"><mml:math id="IEq326_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq326_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq326.gif"/></span>
-contraction since one gets 
<span id="IEq327"><mml:math id="IEq327_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq327_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tx,Ty} \left( t \right) \ge F{}_{x,y}\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq327.gif"/></span>
, 
<span id="IEq328"><mml:math id="IEq328_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq328_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x,y \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq328.gif"/></span>
, 
<span id="IEq329"><mml:math id="IEq329_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq329_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq329.gif"/></span>
 from (
<a href="#Equ9"><sup>2.2</sup></a>
) if 
<span id="IEq330"><mml:math id="IEq330_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq330_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq330.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq331"><mml:math id="IEq331_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq331_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = \psi \left( t \right) = t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq331.gif"/></span>
. Thus, a 
<span id="IEq332"><mml:math id="IEq332_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq332_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq332.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq333"><mml:math id="IEq333_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq333_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq333.gif"/></span>
-contraction is a particular type of 
<span id="IEq334"><mml:math id="IEq334_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq334_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq334.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq335"><mml:math id="IEq335_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq335_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq335.gif"/></span>
-
<span id="IEq336"><mml:math id="IEq336_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq336_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq336.gif"/></span>
-type contraction. See [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
] for the case 
<span id="IEq337"><mml:math id="IEq337_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq337_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq337.gif"/></span>
. Some basic properties of a 
<span id="IEq338"><mml:math id="IEq338_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq338_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq338.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq339"><mml:math id="IEq339_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq339_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq339.gif"/></span>
-
<span id="IEq340"><mml:math id="IEq340_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq340_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq340.gif"/></span>
-type contraction are now given:</p></section>
<section><h2>Proposition 2.2</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq341"><mml:math id="IEq341_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq341_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq341.gif"/></span>
<em>be a PM-space. Let</em>
<span id="IEq342"><mml:math id="IEq342_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq342_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq342.gif"/></span>
<em>be a</em>
<span id="IEq343"><mml:math id="IEq343_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq343_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq343.gif"/></span>
-
<em>cyclic</em>
<span id="IEq344"><mml:math id="IEq344_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq344_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq344.gif"/></span>
-
<span id="IEq345"><mml:math id="IEq345_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq345_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq345.gif"/></span>
-
<em>type contraction with</em>
<span id="IEq346"><mml:math id="IEq346_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq346_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i} \subset X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq346.gif"/></span>
<em>being bounded</em>
, 
<span id="IEq347"><mml:math id="IEq347_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq347_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq347.gif"/></span>
<em>with</em>
<span id="IEq348"><mml:math id="IEq348_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq348_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\,A_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq348.gif"/></span>
, 
<span id="IEq349"><mml:math id="IEq349_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq349_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq349.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq350"><mml:math id="IEq350_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:munder><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq350_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{D} = \mathop {\hbox{max} }\limits_{{i \in \bar{p}}} {\text{diam}}\left( {A_{i} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq350.gif"/></span>
<em>being the distance in-between adjacent subsets</em>
, 
<span id="IEq351"><mml:math id="IEq351_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq351_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq351.gif"/></span>
. 
<em>Then, the following properties hold provided that</em>
<span id="IEq352"><mml:math id="IEq352_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq352_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq352.gif"/></span>
<em>for any given</em>
<span id="IEq353"><mml:math id="IEq353_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq353_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} \ge D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq353.gif"/></span>
:
<ul><li><p><span id="IEq354"><mml:math id="IEq354_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq354_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n} x,T^{n} y}} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq354.gif"/></span>
, 
<span id="IEq355"><mml:math id="IEq355_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq355_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq355.gif"/></span>
, 
<span id="IEq356"><mml:math id="IEq356_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq356_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq356.gif"/></span>
, 
<span id="IEq357"><mml:math id="IEq357_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq357_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\,\left( { > D + 2\bar{D}} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq357.gif"/></span>
, 
<span id="IEq358"><mml:math id="IEq358_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq358_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq358.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><span id="IEq359"><mml:math id="IEq359_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq359_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } F_{{T^{n} x,T^{n} y}} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq359.gif"/></span>
, 
<span id="IEq360"><mml:math id="IEq360_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq360_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq360.gif"/></span>
, 
<span id="IEq361"><mml:math id="IEq361_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq361_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq361.gif"/></span>
, 
<span id="IEq362"><mml:math id="IEq362_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq362_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq362.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><span id="IEq363"><mml:math id="IEq363_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq363_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = F_{x,y} \left( \tau \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq363.gif"/></span>
, 
<span id="IEq364"><mml:math id="IEq364_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq364_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq364.gif"/></span>
, 
<span id="IEq365"><mml:math id="IEq365_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq365_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq365.gif"/></span>
, 
<span id="IEq366"><mml:math id="IEq366_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq366_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\, \in \left( { - \infty ,\;D} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq366.gif"/></span>
, 
<span id="IEq367"><mml:math id="IEq367_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq367_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau \, \in \,\left( { - \infty ,\;\hat{D}} \right)^{{}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq367.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><span id="IEq368"><mml:math id="IEq368_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq368_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{x,y} {\mkern 1mu} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( {D^{ + } } \right)} \right)\; = F_{x,y} \left( {\hat{D}} \right) = 0;\quad \forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1} ,\quad \forall i \in \bar{p}\quad {\text{if}}\;\hat{D} = D, \hfill \\ F_{x,y} {\mkern 1mu} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( {D^{ + } } \right)^{ + } } \right)\; = F_{x,y} \left( {\hat{D}^{ + } } \right) = 1;\quad \forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1} ,\quad \forall i \in \bar{p}\quad {\text{if}}\;\hat{D} = D, \hfill \\ F_{x,y} {\mkern 1mu} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( {D^{ + } } \right)} \right)\; = F_{x,y} \left( {\hat{D}} \right) = 1;\quad \forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1} ,\quad \forall i \in \bar{p}\quad {\text{if}}\;\hat{D} > D \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq368.gif"/></span></p></li></ul>
<em>where</em>
<span id="IEq369"><mml:math id="IEq369_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq369_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D}\, = \varphi \,\left( {D^{ + } } \right) = \mathop {\lim }\limits_{{t \to D^{ + } }} \varphi \,\left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq369.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq370"><mml:math id="IEq370_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq370_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( {\hat{D}^{ + } } \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\tau \to D^{ + } }} \,\mathop {\lim }\limits_{{t \to \tau^{ + } }} F_{x,\,y} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq370.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Since 
<span id="IEq371"><mml:math id="IEq371_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq371_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq371.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq372"><mml:math id="IEq372_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq372_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq372.gif"/></span>
 are bounded then the maximum distance in-between any two points of adjacent subsets is not larger than 
<span id="IEq373"><mml:math id="IEq373_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq373_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D + 2\bar{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq373.gif"/></span>
. Then, 
<span id="IEq374"><mml:math id="IEq374_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>s</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:munder><mml:munder><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ω</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ω</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq374_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } F_{x,y} \left( s \right) = \mathop {\hbox{max} }\limits_{{i \in \bar{p}}} \mathop {\hbox{max} }\limits_{{z \in A_{i} ,\;\omega \in A_{i + 1} }} F_{z,\omega } \left( {\varphi \left( t \right)} \right) = 1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq374.gif"/></span>
<span id="IEq375"><mml:math id="IEq375_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq375_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq375.gif"/></span>
, 
<span id="IEq376"><mml:math id="IEq376_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq376_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq376.gif"/></span>
, if 
<span id="IEq377"><mml:math id="IEq377_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq377_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq377.gif"/></span>
, since the distance distribution function 
<span id="IEq378"><mml:math id="IEq378_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq378_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F :{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq378.gif"/></span>
 is non-decreasing and left-continuous, and 
<span id="IEq379"><mml:math id="IEq379_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>⊆</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq379_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T\left( {A_{i} } \right) \subseteq A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq379.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq380"><mml:math id="IEq380_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq380_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\;A_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq380.gif"/></span>
, 
<span id="IEq381"><mml:math id="IEq381_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq381_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq381.gif"/></span>
. Then, 
<section id="Equb"><mml:math display="block" id="Equb_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mtext>so</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mtext>that</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equb_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{x,y}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = F_{x,y} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1\quad {\text{for}}\;t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)\;{\text{so}}\;{\text{that}} \hfill \\ \psi \left( {F_{x,y}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) = \psi \left( 0 \right) = 0,\quad t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right) \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equb.gif"/></section>
since 
<span id="IEq382"><mml:math id="IEq382_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq382_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq382.gif"/></span>
, 
<span id="IEq383"><mml:math id="IEq383_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq383_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D > 2\bar{D} + D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq383.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq384"><mml:math id="IEq384_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq384_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \,\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right) > \varphi \left( {2\bar{D} + D} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq384.gif"/></span>
<span id="IEq385"><mml:math id="IEq385_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq385_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\,\left( { > D + 2\bar{D}} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq385.gif"/></span>
, since 
<span id="IEq386"><mml:math id="IEq386_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq386_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \,:{\mathbf{R}} \to \,{\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq386.gif"/></span>
 is strictly increasing and left-continuous in 
<span id="IEq387"><mml:math id="IEq387_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq387_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {D,\,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq387.gif"/></span>
, 
<span id="IEq388"><mml:math id="IEq388_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq388_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F :{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq388.gif"/></span>
 is non-decreasing and left continuous and 
<span id="IEq389"><mml:math id="IEq389_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq389_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq389.gif"/></span>
. Thus, from Proposition 2.1 [Eq. (
<a href="#Equ10"><sup>2.3</sup></a>
)], 
<span id="IEq390"><mml:math id="IEq390_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq390_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tx,Ty} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = F_{Tx,Ty}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq390.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq391"><mml:math id="IEq391_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq391_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq391.gif"/></span>
. Again, since 
<span id="IEq392"><mml:math id="IEq392_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq392_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq392.gif"/></span>
, 
<span id="IEq393"><mml:math id="IEq393_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq393_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D > 2\bar{D} + D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq393.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq394"><mml:math id="IEq394_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq394_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \,\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right) > \varphi \left( {2\bar{D} + D} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq394.gif"/></span>
, since 
<span id="IEq395"><mml:math id="IEq395_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq395_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi :{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq395.gif"/></span>
 is strictly increasing and left-continuous in 
<span id="IEq396"><mml:math id="IEq396_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq396_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {D,\,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq396.gif"/></span>
, if 
<span id="IEq397"><mml:math id="IEq397_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq397_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq397.gif"/></span>
(Definitions 2.1 and 1.2), 
<span id="IEq398"><mml:math id="IEq398_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq398_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F :{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq398.gif"/></span>
 is non-decreasing and left continuous and 
<span id="IEq399"><mml:math id="IEq399_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq399_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq399.gif"/></span>
, then one gets for 
<span id="IEq400"><mml:math id="IEq400_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq400_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq400.gif"/></span>
, that:
<section id="Equc"><mml:math display="block" id="Equc_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equc_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tx,Ty} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) = F_{Tx,Ty}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) = 1;\quad \psi \left( {F_{Tx,Ty}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) - 1} \right) = \psi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equc.gif"/></section>
so that, again one gets from Proposition 2.1 [Eq. (
<a href="#Equ10"><sup>2.3</sup></a>
)], 
<span id="IEq401"><mml:math id="IEq401_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq401_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{2} x,T^{2} y}} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = F_{{T^{2} x,T^{2} y}}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq401.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq402"><mml:math id="IEq402_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq402_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq402.gif"/></span>
. Now, proceed by complete induction by assuming that 
<span id="IEq403"><mml:math id="IEq403_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq403_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n} x,T^{n} y}} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = F_{{T^{n} x,T^{n} y}}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq403.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq404"><mml:math id="IEq404_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq404_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq404.gif"/></span>
 for any given 
<span id="IEq405"><mml:math id="IEq405_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq405_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq405.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq406"><mml:math id="IEq406_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq406_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq406.gif"/></span>
, 
<span id="IEq407"><mml:math id="IEq407_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq407_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D > 2\bar{D} + D, \varphi \,\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right) > \varphi \left( {2\bar{D} + D} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq407.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq409"><mml:math id="IEq409_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq409_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq409.gif"/></span>
, 
<span id="IEq410"><mml:math id="IEq410_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq410_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F :{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq410.gif"/></span>
 is non-decreasing and left continuous and 
<span id="IEq411"><mml:math id="IEq411_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq411_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq411.gif"/></span>
, one has for 
<span id="IEq412"><mml:math id="IEq412_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq412_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq412.gif"/></span>
, 
<span id="IEq413"><mml:math id="IEq413_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq413_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{n} x \subset A_{i + n} \equiv A_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq413.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq414"><mml:math id="IEq414_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq414_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{n} y \subset A_{i + n + 1} \equiv A_{j + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq414.gif"/></span>
 for a unique integer 
<span id="IEq415"><mml:math id="IEq415_Math"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>i</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq415_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$j = j\left( i \right) \in \overline{p - 1} \,\, \cup \,\left\{ {\,0} \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq415.gif"/></span>
 fulfilling 
<span id="IEq416"><mml:math id="IEq416_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq416_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n = qp + j - i \ge i$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq416.gif"/></span>
 for some 
<span id="IEq417"><mml:math id="IEq417_Math"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>i</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq417_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$q = q\left( i \right) \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq417.gif"/></span>
 and the given 
<span id="IEq418"><mml:math id="IEq418_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq418_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq418.gif"/></span>
 that:
<section id="Equd"><mml:math display="block" id="Equd_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equd_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n} x,T^{n} y}} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) = F_{{T^{n} x,T^{n} y}}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) = 1;\quad \psi \left( {F_{{T^{n} x,T^{n} y}}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) - 1} \right) = \psi \left( 0 \right) = 0.$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equd.gif"/></section></p>
<p>Then, from Proposition 2.1 [Eq. (
<a href="#Equ10"><sup>2.3</sup></a>
)], 
<span id="IEq419"><mml:math id="IEq419_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq419_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n + 1} x,T^{n + 1} y}} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = F_{{T^{n + 1} x,T^{n + 1} y}}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq419.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq420"><mml:math id="IEq420_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq420_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq420.gif"/></span>
. Hence, the proofs of Properties (1) and (2) follow by complete induction.</p>
<p>Properties (3)–(5) follow directly from the definitions of the sets 
<span id="IEq421"><mml:math id="IEq421_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq421_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq421.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq422"><mml:math id="IEq422_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq422_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau = \varphi \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq422.gif"/></span>
, being equivalent to 
<span id="IEq423"><mml:math id="IEq423_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>arg</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq423_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t = t\left( \tau \right) = \arg \,\left( {z \in {\mathbf{R}}\; :\;\varphi \left( {z^{ - } } \right) = \tau \;\;{\text{for}}\;\;\tau \, \in \left( {\varphi \,\left( D \right),\;\hat{D}} \right)\;} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq423.gif"/></span>
 which is point-wise unique for any 
<span id="IEq424"><mml:math id="IEq424_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">τ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq424_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau \, \in \left( {\varphi \,\left( D \right),\;\hat{D}} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq424.gif"/></span>
, zero for 
<span id="IEq425"><mml:math id="IEq425_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq425_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in {\mathbf{R}}_{0 - }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq425.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq426"><mml:math id="IEq426_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq426_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq426.gif"/></span>
 and, left-continuous and strictly increasing for 
<span id="IEq427"><mml:math id="IEq427_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq427_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { \in {\mathbf{R}}} \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq427.gif"/></span>
. □</p></section>
<section><p>It turns out that Proposition 2.2 holds, in particular, for 
<span id="IEq428"><mml:math id="IEq428_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq428_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq428.gif"/></span>
. The 
<span id="IEq429"><mml:math id="IEq429_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq429_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq429.gif"/></span>
-admissibility of 
<span id="IEq430"><mml:math id="IEq430_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq430_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq430.gif"/></span>
-
<span id="IEq431"><mml:math id="IEq431_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq431_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq431.gif"/></span>
-type contractions is defined to state layer on the main result:</p></section>
<section><h2>Definitions 2.2</h2>
<p>Let 
<span id="IEq432"><mml:math id="IEq432_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq432_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq432.gif"/></span>
 a PM-space. Then:
<ul><li><p>an 
<span id="IEq433"><mml:math id="IEq433_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq433_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq433.gif"/></span>
-
<span id="IEq434"><mml:math id="IEq434_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq434_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq434.gif"/></span>
-type contraction 
<span id="IEq435"><mml:math id="IEq435_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq435_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :X \to X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq435.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq436"><mml:math id="IEq436_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq436_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq436.gif"/></span>
-admissible for a given function 
<span id="IEq437"><mml:math id="IEq437_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq437_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha :X \times X \times {\mathbf{R}}_{ + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq437.gif"/></span>
 [
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
] if</p>
<p><section id="Eque"><mml:math display="block" id="Eque_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Eque_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x,y \in X,\,\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + } \left[ {\,\left( {\alpha \left( {x,y,t} \right) \ge 1} \right) \Rightarrow \,\left( {\alpha \left( {Tx,Ty,t} \right) \ge 1} \right)} \right],$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Eque.gif"/></section></p></li>
<li><p>a 
<span id="IEq438"><mml:math id="IEq438_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq438_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq438.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq439"><mml:math id="IEq439_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq439_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq439.gif"/></span>
-
<span id="IEq440"><mml:math id="IEq440_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq440_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq440.gif"/></span>
-type contraction 
<span id="IEq441"><mml:math id="IEq441_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq441_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{ i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{ i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq441.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq442"><mml:math id="IEq442_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq442_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq442.gif"/></span>
-admissible for a given function 
<span id="IEq443"><mml:math id="IEq443_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq443_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha :\left( {\,\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right) \times \left( {\,\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right) \times {\mathbf{R}}_{ + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq443.gif"/></span>
 if</p>
<p><section id="Equf"><mml:math display="block" id="Equf_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equf_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1} ,\,\forall i \in \bar{p},\,\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + } \left[ {\left( {\alpha \left( {x,y,t} \right) \ge 1} \right) \Rightarrow \,\left( {\alpha \left( {Tx,Ty,t} \right) \ge 1} \right)} \right].$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equf.gif"/></section>
□</p></li></ul></p></section>
<section><h2>Definitions 2.3</h2>
<p><span id="IEq444"><mml:math id="IEq444_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq444_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq444.gif"/></span>
 be a 
<span id="IEq445"><mml:math id="IEq445_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq445_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha - \psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq445.gif"/></span>
-type 
<span id="IEq446"><mml:math id="IEq446_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq446_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq446.gif"/></span>
-cyclic mapping, 
<span id="IEq447"><mml:math id="IEq447_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq447_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq447.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq448"><mml:math id="IEq448_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">Ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq448_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \in \varPsi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq448.gif"/></span>
. Then:
<ul><li><p>the pair 
<span id="IEq449"><mml:math id="IEq449_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq449_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {x,Tx} \right) \in \left( {clA_{i} ,clA_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq449.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq450"><mml:math id="IEq450_Math"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mo>.</mml:mo></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq450_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$cl\left( . \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq450.gif"/></span>
 stands for the closure of the 
<span id="IEq451"><mml:math id="IEq451_Math"><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mo>.</mml:mo></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq451_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( . \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq451.gif"/></span>
-set, for any given 
<span id="IEq452"><mml:math id="IEq452_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq452_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq452.gif"/></span>
 is a pair of quasi-best proximity points if 
<span id="IEq453"><mml:math id="IEq453_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq453_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( {\hat{D}\; + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq453.gif"/></span>
 for any given 
<span id="IEq454"><mml:math id="IEq454_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq454_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \, \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq454.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq455"><mml:math id="IEq455_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq455_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( D \right) = F_{x,Tx} \left( {D^{ - } } \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq455.gif"/></span>
. Each of them is a quasi-best proximity point in the corresponding subset 
<span id="IEq456"><mml:math id="IEq456_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq456_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq456.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p>A quasi-best proximity point is a best proximity point if 
<span id="IEq457"><mml:math id="IEq457_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq457_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( {D\; + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq457.gif"/></span>
 for any given 
<span id="IEq458"><mml:math id="IEq458_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq458_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \, \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq458.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq459"><mml:math id="IEq459_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq459_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq459.gif"/></span>
. □</p></li></ul></p></section>
<section><h2>Remarks 2.1</h2>
<p>Since 
<span id="IEq460"><mml:math id="IEq460_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq460_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq460.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq461"><mml:math id="IEq461_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq461_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} = \varphi \left( {D^{ + } } \right) \ge D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq461.gif"/></span>
. If 
<span id="IEq462"><mml:math id="IEq462_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq462_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq462.gif"/></span>
, then 
<span id="IEq463"><mml:math id="IEq463_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq463_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} = \varphi \left( {D^{ + } } \right) = D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq463.gif"/></span>
 and, if the pair 
<span id="IEq464"><mml:math id="IEq464_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq464_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {x,Tx} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq464.gif"/></span>
 is a pair of quasi-best proximity points, then 
<span id="IEq465"><mml:math id="IEq465_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq465_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( D \right) = F_{x,Tx} \left( {\varphi \left( {D^{ + } } \right)\,} \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq465.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq466"><mml:math id="IEq466_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq466_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( {D^{ + } } \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq466.gif"/></span>
 [see also the two first properties of Proposition 2.2 (iv)].</p>
<p>If 
<span id="IEq467"><mml:math id="IEq467_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq467_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq467.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq468"><mml:math id="IEq468_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq468_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} = \varphi \left( {D^{ + } } \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq468.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq469"><mml:math id="IEq469_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq469_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( {\hat{D}\; + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq469.gif"/></span>
 for arbitrarily small positive real constants 
<span id="IEq470"><mml:math id="IEq470_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq470_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq470.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq471"><mml:math id="IEq471_Math"><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq471_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq471.gif"/></span>
 so that 
<span id="IEq472"><mml:math id="IEq472_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq472_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( {\hat{D}^{ + } } \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq472.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq473"><mml:math id="IEq473_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq473_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( D \right) = F_{x,Tx} \left( {D^{ - } } \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq473.gif"/></span>
 but it is not guaranteed that 
<span id="IEq474"><mml:math id="IEq474_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq474_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( {D^{ + } } \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq474.gif"/></span>
, then, it is not guaranteed in this case that 
<span id="IEq475"><mml:math id="IEq475_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq475_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {x,Tx} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq475.gif"/></span>
 is a pair of best proximity points if 
<span id="IEq476"><mml:math id="IEq476_Math"><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq476_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq476.gif"/></span>
 is not continuous at 
<span id="IEq477"><mml:math id="IEq477_Math"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq477_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq477.gif"/></span>
. □</p></section>
<section><p>The most important of the main results of this paper follows below:</p></section>
<section><h2>Theorem 2.1</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq478"><mml:math id="IEq478_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq478_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq478.gif"/></span>
<em>be a</em>
<span id="IEq479"><mml:math id="IEq479_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq479_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq479.gif"/></span>
-
<em>complete PM-space and let</em>
<span id="IEq480"><mml:math id="IEq480_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq480_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq480.gif"/></span>
 be a 
<span id="IEq481"><mml:math id="IEq481_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq481_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq481.gif"/></span>
-
<em>cyclic</em>
<span id="IEq482"><mml:math id="IEq482_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq482_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq482.gif"/></span>
-
<span id="IEq483"><mml:math id="IEq483_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq483_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq483.gif"/></span>
-
<em>type contraction with</em>
<span id="IEq484"><mml:math id="IEq484_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq484_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq484.gif"/></span>
<em>for some</em>
<span id="IEq485"><mml:math id="IEq485_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq485_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D}\left( { \in {\mathbf{R}}} \right) \ge D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq485.gif"/></span>
<em>satisfying the following conditions</em>
:
<ul><li><p><span id="IEq486"><mml:math id="IEq486_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq486_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\;A_{i + 1} } \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq486.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq487"><mml:math id="IEq487_Math"><mml:mrow><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq487_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{diam}}\left( {A_{i} } \right) > \hat{D} - D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq487.gif"/></span>
, 
<span id="IEq488"><mml:math id="IEq488_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq488_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq488.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><span id="IEq489"><mml:math id="IEq489_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq489_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq489.gif"/></span>
<em>is</em>
<span id="IEq490"><mml:math id="IEq490_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq490_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq490.gif"/></span>
-
<em>admissible,</em></p></li>
<li><p><em>there exists</em>
<span id="IEq491"><mml:math id="IEq491_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq491_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq491.gif"/></span>
<em>such that</em>
<span id="IEq492"><mml:math id="IEq492_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq492_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq492.gif"/></span>
, 
<span id="IEq493"><mml:math id="IEq493_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq493_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq493.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p>if 
<span id="IEq494"><mml:math id="IEq494_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq494_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}\left( { \subset X} \right) \to x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq494.gif"/></span>
<em>is a Picard iteration generated as</em>
<span id="IEq495"><mml:math id="IEq495_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq495_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{n + 1} = Tx_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq495.gif"/></span>
, 
<span id="IEq496"><mml:math id="IEq496_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq496_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq496.gif"/></span>
<em>with</em>
<span id="IEq497"><mml:math id="IEq497_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq497_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq497.gif"/></span>
<em>, such that</em>
<span id="IEq498"><mml:math id="IEq498_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq498_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq498.gif"/></span>
, 
<span id="IEq499"><mml:math id="IEq499_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq499_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq499.gif"/></span>
, 
<span id="IEq500"><mml:math id="IEq500_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq500_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq500.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq501"><mml:math id="IEq501_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq501_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;x,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq501.gif"/></span>
, 
<span id="IEq502"><mml:math id="IEq502_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq502_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq502.gif"/></span>
, 
<span id="IEq503"><mml:math id="IEq503_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq503_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq503.gif"/></span>
.</p></li></ul></p>
<p><em>Then, the following properties hold:</em>
<ul><li><p><span id="IEq504"><mml:math id="IEq504_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq504_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\left( {pm + j} \right)\left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right)} \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq504.gif"/></span>
, 
<span id="IEq505"><mml:math id="IEq505_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq505_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq505.gif"/></span>
, 
<span id="IEq506"><mml:math id="IEq506_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq506_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq506.gif"/></span>
<em>for any given real constants</em>
<span id="IEq507"><mml:math id="IEq507_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq507_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq507.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq508"><mml:math id="IEq508_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq508_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq508.gif"/></span>
, 
<em>some</em>
<span id="IEq509"><mml:math id="IEq509_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq509_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\;\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq509.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq510"><mml:math id="IEq510_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq510_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq510.gif"/></span>
, 
<span id="IEq511"><mml:math id="IEq511_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq511_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall m \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq511.gif"/></span>
, 
<em>and</em></p>
<p><section id="Equg"><mml:math display="block" id="Equg_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equg_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) \ge \frac{1}{{1 + \,\psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right)}},\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\quad \forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + } .$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equg.gif"/></section></p></li>
<li><p><em>If</em>
<span id="IEq512"><mml:math id="IEq512_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq512_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq512.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq513"><mml:math id="IEq513_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq513_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } \ne \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq513.gif"/></span>
<em>then</em></p>
<p><section id="Equh"><mml:math display="block" id="Equh_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equh_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n} x_{0} ,\,T^{n + 1} x_{0} }} \left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np + j} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p + j + 1}} x_{0} }} \left( t \right) = 1,\quad \forall t \in {\mathbf{R}}_{ + } .$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equh.gif"/></section></p>
<p><em>Furthermore</em>
, 
<span id="IEq514"><mml:math id="IEq514_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq514_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\} \subset \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq514.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq515"><mml:math id="IEq515_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq515_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\} \subset A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq515.gif"/></span>
<em>are both Cauchy and</em>
<span id="IEq516"><mml:math id="IEq516_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq516_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq516.gif"/></span>
-
<em>Cauchy convergent sequences to a limit point</em>
<span id="IEq517"><mml:math id="IEq517_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq517_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in \bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {cl\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq517.gif"/></span>
. 
<em>If the subsets</em>
<span id="IEq518"><mml:math id="IEq518_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq518_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq518.gif"/></span>
<em>are closed for</em>
<span id="IEq519"><mml:math id="IEq519_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq519_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq519.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq520"><mml:math id="IEq520_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq520_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = Tx = T^{p} x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq520.gif"/></span>
, 
<em>that is, it is a fixed point of the self-mappings</em>
<span id="IEq521"><mml:math id="IEq521_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq521_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq521.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq522"><mml:math id="IEq522_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq522_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left. {T^{p} \left( { \equiv T \circ T^{p - 1} } \right) :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq522.gif"/></span>
, 
<span id="IEq523"><mml:math id="IEq523_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq523_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq523.gif"/></span>
, 
<span id="IEq524"><mml:math id="IEq524_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq524_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq524.gif"/></span>
, 
<span id="IEq525"><mml:math id="IEq525_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq525_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq525.gif"/></span>
, 
<span id="IEq526"><mml:math id="IEq526_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq526_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{p - 1} \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq526.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><em>If</em>
<span id="IEq527"><mml:math id="IEq527_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq527_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq527.gif"/></span>
<em>is closed</em>
, 
<span id="IEq528"><mml:math id="IEq528_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq528_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq528.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq529"><mml:math id="IEq529_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq529_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } = \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq529.gif"/></span>
 then if 
<span id="IEq530"><mml:math id="IEq530_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq530_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq530.gif"/></span>
<em>for any</em>
<span id="IEq531"><mml:math id="IEq531_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq531_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq531.gif"/></span>
<em>then there is a limit cycle</em>
<span id="IEq532"><mml:math id="IEq532_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq532_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\bar{x}_{i} ,\,T\bar{x}_{i} ,\; \ldots ,T^{p - 1} \bar{x}_{i} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq532.gif"/></span>
, 
<em>to which the sequence</em>
<span id="IEq533"><mml:math id="IEq533_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq533_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq533.gif"/></span>
<em>converges, with</em>
<span id="IEq534"><mml:math id="IEq534_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq534_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} \bar{x}_{i} = \bar{x}_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq534.gif"/></span>
, 
<span id="IEq535"><mml:math id="IEq535_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq535_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq535.gif"/></span>
, 
<span id="IEq536"><mml:math id="IEq536_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq536_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i + j} = T^{j} \bar{x}_{i} \in A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq536.gif"/></span>
, 
<span id="IEq537"><mml:math id="IEq537_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq537_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p},\forall j \in \overline{p - 1} \, \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq537.gif"/></span>
<em>being a fixed point of the composite self-mappings (of domain and image restricted to each of the subsets)</em>
<span id="IEq538"><mml:math id="IEq538_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq538_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq538.gif"/></span>
,
<span id="IEq539"><mml:math id="IEq539_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq539_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq539.gif"/></span>
, 
<em>and it is also a quasi-best proximity point (in particular, a best proximity point if</em>
<span id="IEq540"><mml:math id="IEq540_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq540_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D} \equiv \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq540.gif"/></span>
) 
<em>of</em>
<span id="IEq541"><mml:math id="IEq541_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq541_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq541.gif"/></span>
. 
<em>The subsequence</em>
<span id="IEq542"><mml:math id="IEq542_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq542_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq542.gif"/></span>
<em>in</em>
<span id="IEq543"><mml:math id="IEq543_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq543_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq543.gif"/></span>
<em>converges to</em>
<span id="IEq544"><mml:math id="IEq544_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq544_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{i + j} = T^{j} x_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq544.gif"/></span>
,
<span id="IEq545"><mml:math id="IEq545_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq545_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq545.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq546"><mml:math id="IEq546_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq546_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq546.gif"/></span>
<em>for some</em>
<span id="IEq547"><mml:math id="IEq547_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq547_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq547.gif"/></span>
. 
<em>Furthermore</em>
:</p>
<p><section id="Equi"><mml:math display="block" id="Equi_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equi_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) = F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( \infty \right) = 1,\quad F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) > \,1 - \lambda \hfill \\ F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda ,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) = F_{{\bar{x}_{i + j} ,\bar{x}_{i + j + 1} }} = 1 \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equi.gif"/></section></p>
<p><em>for any given</em>
<span id="IEq548"><mml:math id="IEq548_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq548_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq548.gif"/></span>
, 
<span id="IEq549"><mml:math id="IEq549_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq549_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {\;0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq549.gif"/></span>
<em>and for some</em>
<span id="IEq550"><mml:math id="IEq550_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq550_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\,\lambda } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq550.gif"/></span>
, 
<span id="IEq551"><mml:math id="IEq551_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq551_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + } .$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq551.gif"/></span></p></li></ul></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Let 
<span id="IEq552"><mml:math id="IEq552_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq552_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq552.gif"/></span>
 such that the condition (3) holds. Since 
<span id="IEq553"><mml:math id="IEq553_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq553_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq553.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq554"><mml:math id="IEq554_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq554_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq554.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq555"><mml:math id="IEq555_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq555_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq555.gif"/></span>
-
<span id="IEq556"><mml:math id="IEq556_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq556_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq556.gif"/></span>
-type contraction, 
<span id="IEq557"><mml:math id="IEq557_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq557_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq557.gif"/></span>
, 
<span id="IEq558"><mml:math id="IEq558_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq558_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq558.gif"/></span>
, 
<span id="IEq559"><mml:math id="IEq559_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>≠</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq559_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{n + 1} = Tx_{n} = T^{n + 1} x_{0} \ne x_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq559.gif"/></span>
, 
<span id="IEq560"><mml:math id="IEq560_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq560_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq560.gif"/></span>
, 
<span id="IEq561"><mml:math id="IEq561_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq561_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq561.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq562"><mml:math id="IEq562_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq562_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq562.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq563"><mml:math id="IEq563_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq563_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq563.gif"/></span>
-admissible, assume that 
<span id="IEq564"><mml:math id="IEq564_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq564_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{j} ,\;Tx_{j} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq564.gif"/></span>
, 
<span id="IEq565"><mml:math id="IEq565_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq565_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{n} \cup \left\{ 0 \right\} \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq565.gif"/></span>
, 
<span id="IEq566"><mml:math id="IEq566_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq566_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq566.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq567"><mml:math id="IEq567_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq567_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \ge 1 \Rightarrow \alpha \left( {Tx_{n} ,\;Tx_{n + 1} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq567.gif"/></span>
, 
<span id="IEq568"><mml:math id="IEq568_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq568_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq568.gif"/></span>
, then 
<span id="IEq569"><mml:math id="IEq569_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq569_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{j} ,\;Tx_{j} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq569.gif"/></span>
, 
<span id="IEq570"><mml:math id="IEq570_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq570_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{n + 1} \cup \left\{ 0 \right\} \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq570.gif"/></span>
, 
<span id="IEq571"><mml:math id="IEq571_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq571_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq571.gif"/></span>
. Then, 
<span id="IEq572"><mml:math id="IEq572_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq572_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{j} ,\;Tx_{j} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq572.gif"/></span>
, 
<span id="IEq573"><mml:math id="IEq573_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq573_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{n} \cup \left\{ 0 \right\} \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq573.gif"/></span>
, 
<span id="IEq574"><mml:math id="IEq574_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq574_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq574.gif"/></span>
<span id="IEq575"><mml:math id="IEq575_Math"><mml:mo stretchy="false">⇒</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq575_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Rightarrow$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq575.gif"/></span>
<span id="IEq576"><mml:math id="IEq576_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq576_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{j} ,\;Tx_{j} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq576.gif"/></span>
, 
<span id="IEq577"><mml:math id="IEq577_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq577_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{n + 1} \cup \left\{ 0 \right\} \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq577.gif"/></span>
, 
<span id="IEq578"><mml:math id="IEq578_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq578_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq578.gif"/></span>
. It has been proved by complete induction that 
<span id="IEq579"><mml:math id="IEq579_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq579_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq579.gif"/></span>
, 
<span id="IEq580"><mml:math id="IEq580_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq580_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq580.gif"/></span>
, 
<span id="IEq581"><mml:math id="IEq581_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq581_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq581.gif"/></span>
 provided that 
<span id="IEq582"><mml:math id="IEq582_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq582_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq582.gif"/></span>
, 
<span id="IEq583"><mml:math id="IEq583_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq583_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq583.gif"/></span>
.Then 
<span id="IEq584"><mml:math id="IEq584_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq584_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \in \left[ {1,\; + \infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq584.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq585"><mml:math id="IEq585_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq585_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha^{ - 1} \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \in \left( {0,\;1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq585.gif"/></span>
, 
<span id="IEq586"><mml:math id="IEq586_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq586_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq586.gif"/></span>
, 
<span id="IEq587"><mml:math id="IEq587_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq587_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq587.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq588"><mml:math id="IEq588_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq588_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq588.gif"/></span>
,
<span id="IEq589"><mml:math id="IEq589_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq589_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq589.gif"/></span>
. On the other hand, since 
<span id="IEq590"><mml:math id="IEq590_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq590_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq590.gif"/></span>
 and since 
<span id="IEq591"><mml:math id="IEq591_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq591_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq591.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq592"><mml:math id="IEq592_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq592_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq592.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq593"><mml:math id="IEq593_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq593_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq593.gif"/></span>
-
<span id="IEq594"><mml:math id="IEq594_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq594_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq594.gif"/></span>
-type contraction, 
<span id="IEq595"><mml:math id="IEq595_Math"><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq595_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq595.gif"/></span>
 is strictly increasing in 
<span id="IEq596"><mml:math id="IEq596_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq596_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {D,\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq596.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq597"><mml:math id="IEq597_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq597_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( D \right) = \hat{D} \ge D > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq597.gif"/></span>
(see Definitions 2.1 and 1.2) and then there exists 
<span id="IEq598"><mml:math id="IEq598_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq598_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq598.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq599"><mml:math id="IEq599_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq599_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( t \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq599.gif"/></span>
, 
<span id="IEq600"><mml:math id="IEq600_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq600_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq600.gif"/></span>
. Since the distance distribution function is non-decreasing and left-continuous and 
<span id="IEq601"><mml:math id="IEq601_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq601_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} > 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq601.gif"/></span>
, then 
<span id="IEq602"><mml:math id="IEq602_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq602_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) \ge F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( t \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq602.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq603"><mml:math id="IEq603_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq603_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0 \le F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1 < + \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq603.gif"/></span>
, 
<span id="IEq604"><mml:math id="IEq604_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq604_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq604.gif"/></span>
. Now, note that 
<span id="IEq605"><mml:math id="IEq605_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq605_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha^{ - 1} \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \in \left( {0,\;1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq605.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq606"><mml:math id="IEq606_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq606_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \in \left[ {\,1,\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq606.gif"/></span>
; 
<span id="IEq607"><mml:math id="IEq607_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq607_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq607.gif"/></span>
,
<span id="IEq608"><mml:math id="IEq608_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq608_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq608.gif"/></span>
. Thus, if 
<span id="IEq609"><mml:math id="IEq609_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq609_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha^{ - 1} \,\left( {T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) \in \left( {0,\;1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq609.gif"/></span>
; 
<span id="IEq610"><mml:math id="IEq610_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq610_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq610.gif"/></span>
, 
<span id="IEq611"><mml:math id="IEq611_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq611_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq611.gif"/></span>
 and, furthermore,</p>
<p><em>Case a</em>
<span id="IEq612"><mml:math id="IEq612_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo movablelimits="true">inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq612_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\,\inf }\limits_{n \to \infty } \alpha^{ - 1} \,\left( {T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq612.gif"/></span>
, 
<span id="IEq613"><mml:math id="IEq613_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq613_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq613.gif"/></span></p>
<p>then one gets from (
<a href="#Equ10"><sup>2.3</sup></a>
) that
<section id="Equ12"><mml:math display="block" id="Equ12_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{Tx_{0} ,T^{2} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) \le 1 + \alpha^{ - 1} \,\left( {x_{0} ,Tx_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)\,\,\psi \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) \hfill \\ \le 1 + \psi \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } , \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ12.gif"/></section>
equivalently,
<section id="Equ13"><mml:math display="block" id="Equ13_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{Tx_{0} ,T^{2} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) \le 1 + \,\,\psi \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 2} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ13.gif"/></section>
and replacing in (
<a href="#Equ12"><sup>2.5</sup></a>
) 
<span id="IEq614"><mml:math id="IEq614_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq614_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \to Tx_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq614.gif"/></span>
, 
<span id="IEq615"><mml:math id="IEq615_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq615_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Tx_{0} \to T^{2} x_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq615.gif"/></span>
 with the use of (
<a href="#Equ13"><sup>2.6</sup></a>
) leads to:
<section id="Equ14"><mml:math display="block" id="Equ14_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{T^{2} x_{0} ,T^{3} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) \le 1 + \psi \left( {F_{{Tx_{0} ,T^{2} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right) \hfill \\ \le 1 + \,\psi^{2} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 2} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ14.gif"/></section>
and proceeding recursively in the same way:
<section id="Equ15"><mml:math display="block" id="Equ15_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) \le 1 + \,\psi \left( {F_{{T^{n - 1} x_{0} ,T^{n} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right) \hfill \\ \le 1 + \,\psi^{2} \left( {F_{{T^{n - 2} x_{0} ,T^{n - 1} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 2} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right) \hfill \\ \le 1 + \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\quad \forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + } , \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ15.gif"/></section>
equivalently,
<section id="Equ16"><mml:math display="block" id="Equ16_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) \ge \frac{1}{{1 + \,\psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right)}},\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\quad \forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ16.gif"/></section></p></section>
<section><p>Since 
<span id="IEq616"><mml:math id="IEq616_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq616_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} > 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq616.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq617"><mml:math id="IEq617_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq617_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq617.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq618"><mml:math id="IEq618_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq618_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) = + \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq618.gif"/></span>
, 
<span id="IEq619"><mml:math id="IEq619_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq619_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) = + \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq619.gif"/></span>
, 
<span id="IEq620"><mml:math id="IEq620_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq620_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq620.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq621"><mml:math id="IEq621_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq621_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq621.gif"/></span>
, 
<span id="IEq622"><mml:math id="IEq622_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq622_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq622.gif"/></span>
. Thus,
<section id="Equ17"><mml:math display="block" id="Equ17_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) = 0,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ17.gif"/></section>
since 
<span id="IEq623"><mml:math id="IEq623_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq623_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \psi^{n} \left( {t_{n} } \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq623.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq624"><mml:math id="IEq624_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq624_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {t_{n} } \right\} \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq624.gif"/></span>
. Then, 
<span id="IEq625"><mml:math id="IEq625_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq625_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) = 1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq625.gif"/></span>
<span id="IEq626"><mml:math id="IEq626_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq626_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq626.gif"/></span>
 from (
<a href="#Equ16"><sup>2.8b</sup></a>
).</p></section>
<section><p><em>Case b</em>
<span id="IEq627"><mml:math id="IEq627_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq627_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \alpha^{ - 1} \,\left( {T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) = 0,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq627.gif"/></span>
<span id="IEq628"><mml:math id="IEq628_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq628_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq628.gif"/></span></p></section>
<section><p>We first prove that 
<span id="IEq629"><mml:math id="IEq629_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow/></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq629_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{{ - n_{{}} }} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) < \infty,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq629.gif"/></span>
<span id="IEq630"><mml:math id="IEq630_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq630_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq630.gif"/></span>
 The above condition is identical to 
<span id="IEq631"><mml:math id="IEq631_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq631_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {t_{n} } \right)} \right) - 1} \right) < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq631.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq632"><mml:math id="IEq632_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq632_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{n} = t_{n} \left( t \right) = K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq632.gif"/></span>
 and, since 
<span id="IEq633"><mml:math id="IEq633_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq633_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K < 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq633.gif"/></span>
, 
<span id="IEq634"><mml:math id="IEq634_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq634_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - n} \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq634.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq635"><mml:math id="IEq635_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq635_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq635.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq636"><mml:math id="IEq636_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq636_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq636.gif"/></span>
 is strictly increasing then 
<span id="IEq637"><mml:math id="IEq637_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq637_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ { t_{n} } \right\} \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq637.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq638"><mml:math id="IEq638_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq638_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( {t_{n} } \right) \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq638.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq639"><mml:math id="IEq639_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq639_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq639.gif"/></span>
. Assume that this is not the case so that 
<span id="IEq640"><mml:math id="IEq640_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq640_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {t_{n} } \right)} \right) - 1} \right) = \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq640.gif"/></span>
. Then, since the function 
<span id="IEq641"><mml:math id="IEq641_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq641_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi :{\mathbf{R}}_{0 + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq641.gif"/></span>
 is everywhere continuous in its definition domain it can only diverge at infinity and then 
<span id="IEq642"><mml:math id="IEq642_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq642_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {t_{n} } \right)} \right) = \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq642.gif"/></span>
, and equivalently, 
<span id="IEq643"><mml:math id="IEq643_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq643_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( {t_{n} } \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{t_{n} \to \infty }} F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( {t_{n} } \right)} \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq643.gif"/></span>
. But this would lead to the contradiction that 
<span id="IEq644"><mml:math id="IEq644_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:msub><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq644_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x{}_{0},\;Tx_{0} }} \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq644.gif"/></span>
 is not non-decreasing. As a result, 
<span id="IEq645"><mml:math id="IEq645_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq645_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {t_{n} } \right)} \right) - 1} \right) < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq645.gif"/></span>
, and then
<section id="Equj"><mml:math display="block" id="Equj_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equj_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;}\limits_{n \to \infty } \left( {\alpha^{ - 1} \,\left( {T^{{n_{1} }} x_{0} ,T^{{n_{1} + 1}} x_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)\psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right)} \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equj.gif"/></section>
leading to 
<span id="IEq646"><mml:math id="IEq646_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq646_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) = 1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq646.gif"/></span>
<span id="IEq647"><mml:math id="IEq647_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq647_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq647.gif"/></span>
 from (
<a href="#Equ15"><sup>2.8a</sup></a>
).</p></section>
<section><p>Since 
<span id="IEq648"><mml:math id="IEq648_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq648_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} \ge \varphi \left( {D^{ + } } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq648.gif"/></span>
, one concludes for Cases a and b that 
<span id="IEq649"><mml:math id="IEq649_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq649_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + t} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq649.gif"/></span>
, 
<span id="IEq650"><mml:math id="IEq650_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq650_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq650.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq651"><mml:math id="IEq651_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq651_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{npj} x_{0} \in A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq651.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq652"><mml:math id="IEq652_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq652_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{npj + 1} x_{0} \in A_{i + j + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq652.gif"/></span>
,
<span id="IEq653"><mml:math id="IEq653_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq653_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq653.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq654"><mml:math id="IEq654_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq654_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq654.gif"/></span>
 for any given 
<span id="IEq655"><mml:math id="IEq655_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq655_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq655.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq656"><mml:math id="IEq656_Math"><mml:mrow><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq656_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{diam}}\left( {A_{i} } \right) > \hat{D} - D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq656.gif"/></span>
, 
<span id="IEq657"><mml:math id="IEq657_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq657_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq657.gif"/></span>
. Then, for any given real 
<span id="IEq658"><mml:math id="IEq658_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq658_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq658.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq659"><mml:math id="IEq659_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq659_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq659.gif"/></span>
, there is 
<span id="IEq660"><mml:math id="IEq660_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq660_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq660.gif"/></span>
 such that
<section id="Equk"><mml:math display="block" id="Equk_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equk_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda ,\quad \forall n \ge n_{0} ,\quad \forall j \in \bar{p},$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equk.gif"/></section>
since the distance distribution function is non-decreasing and left-continuous. On the other hand,
<section id="Equ18"><mml:math display="block" id="Equ18_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\left( {pm + j} \right)\left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right)} \right) \ge \Delta_{M} \,\left( {F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{np + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right),\,F_{{T^{np + 1} x_{0} ,\,T^{np + 2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right), \ldots ,\,F_{{T^{{\left( {n + m} \right)p + j - 1}} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right)} \right) > 1 - \lambda;$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ18.gif"/></section>
<span id="IEq661"><mml:math id="IEq661_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq661_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq661.gif"/></span>
, 
<span id="IEq662"><mml:math id="IEq662_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq662_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq662.gif"/></span>
 and, for any given 
<span id="IEq663"><mml:math id="IEq663_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq663_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq663.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq664"><mml:math id="IEq664_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq664_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0, 1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq664.gif"/></span>
, 
<span id="IEq665"><mml:math id="IEq665_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq665_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{np} x_{0} ,T^{{\left( {n + m} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\left( {pm + j} \right)\left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right)} \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq665.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq666"><mml:math id="IEq666_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq666_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq666.gif"/></span>
, 
<span id="IEq667"><mml:math id="IEq667_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq667_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall m \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq667.gif"/></span>
. Property (1) has been proved.</p></section>
<section><p>Property (2) relies on the case when 
<span id="IEq668"><mml:math id="IEq668_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq668_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq668.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq669"><mml:math id="IEq669_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq669_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } \ne \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq669.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq670"><mml:math id="IEq670_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq670_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq670.gif"/></span>
. If 
<span id="IEq671"><mml:math id="IEq671_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq671_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq671.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq672"><mml:math id="IEq672_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq672_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = \hat{D} = \varphi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq672.gif"/></span>
 so that
<section id="Equ19"><mml:math display="block" id="Equ19_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n} x_{0} ,\,T^{n + 1} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda ,\quad F_{{T^{np + j} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\left( {pm + j} \right)\,\varepsilon } \right) > 1 - \lambda ,\quad \forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + } ,\quad \forall m \in {\mathbf{Z}}_{ + } ,$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ19.gif"/></section>
and 
<span id="IEq673"><mml:math id="IEq673_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq673_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n} x_{0} ,\,T^{n + 1} x_{0} }} \left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np + j} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p + j + 1}} x_{0} }} \left( t \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq673.gif"/></span>
, 
<span id="IEq674"><mml:math id="IEq674_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq674_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq674.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq675"><mml:math id="IEq675_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq675_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq675.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq676"><mml:math id="IEq676_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq676_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq676.gif"/></span>
-complete, then 
<span id="IEq677"><mml:math id="IEq677_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq677_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\} \to \bar{x}_{i + j} \left( { \in \,cl\left( {A_{i + j} } \right)} \right),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq677.gif"/></span>
<span id="IEq678"><mml:math id="IEq678_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq678_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{p - 1} \, \cup \,\left\{ 0 \right\},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq678.gif"/></span>
<span id="IEq679"><mml:math id="IEq679_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq679_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x_{0} \in A_{i}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq679.gif"/></span>
 Assume that 
<span id="IEq680"><mml:math id="IEq680_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≠</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq680_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{j} \ne \bar{x}_{j + k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq680.gif"/></span>
 for some 
<span id="IEq681"><mml:math id="IEq681_Math"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq681_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$j,k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq681.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq682"><mml:math id="IEq682_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq682_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta_{M} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq682.gif"/></span>
 is a Menger PM-space then from (2.10) with 
<span id="IEq683"><mml:math id="IEq683_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq683_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = \hat{D} = \varphi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq683.gif"/></span>
:
<section id="Equ20"><mml:math display="block" id="Equ20_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{np + j + \ell } x_{0} ,\,T^{np + j + \ell + 1} x_{0} }} \left( {\varepsilon /k} \right) > 1 - \lambda ,\quad \forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + } ;\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np + j + \ell } x_{0} ,\,T^{np + j + \ell + 1} x_{0} }} \left( {\varepsilon /k} \right) = 1,$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ20.gif"/></section>
for 
<span id="IEq684"><mml:math id="IEq684_Math"><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq684_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ell \in \overline{k - 1} \cup \,\left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq684.gif"/></span>
, any 
<span id="IEq685"><mml:math id="IEq685_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq685_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq685.gif"/></span>
 and any real 
<span id="IEq686"><mml:math id="IEq686_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq686_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq686.gif"/></span>
 what implies that 
<span id="IEq687"><mml:math id="IEq687_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq687_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np + j} x_{0} ,\,T^{np + j + k} x_{0} }} \left( t \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq687.gif"/></span>
, 
<span id="IEq688"><mml:math id="IEq688_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq688_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq688.gif"/></span>
 and, from the first property of (1.1), 
<span id="IEq689"><mml:math id="IEq689_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq689_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{j} = \bar{x}_{j + k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq689.gif"/></span>
, a contradiction, and then 
<span id="IEq690"><mml:math id="IEq690_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq690_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} = \bar{x}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq690.gif"/></span>
, 
<span id="IEq691"><mml:math id="IEq691_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq691_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq691.gif"/></span>
. So, the 
<span id="IEq692"><mml:math id="IEq692_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq692_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq692.gif"/></span>
 sequences 
<span id="IEq693"><mml:math id="IEq693_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq693_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + i} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq693.gif"/></span>
, 
<span id="IEq694"><mml:math id="IEq694_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq694_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq694.gif"/></span>
 have a unique limit point in 
<span id="IEq695"><mml:math id="IEq695_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq695_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq695.gif"/></span>
 provided that such a set is nonempty and from Assertion 1.1 they are Cauchy and 
<span id="IEq696"><mml:math id="IEq696_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq696_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq696.gif"/></span>
-Cauchy sequences and then convergent since 
<span id="IEq697"><mml:math id="IEq697_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq697_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq697.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq698"><mml:math id="IEq698_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq698_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq698.gif"/></span>
-complete. In addition, for any 
<span id="IEq699"><mml:math id="IEq699_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq699_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq699.gif"/></span>
 and any real 
<span id="IEq700"><mml:math id="IEq700_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq700_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq700.gif"/></span>
 there is 
<span id="IEq701"><mml:math id="IEq701_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq701_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{01} = n_{01} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq701.gif"/></span>
 such that from (
<a href="#Equ9"><sup>2.2</sup></a>
) for 
<span id="IEq702"><mml:math id="IEq702_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq702_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq702.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq703"><mml:math id="IEq703_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq703_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq703.gif"/></span>
 is Cauchy, then 
<span id="IEq704"><mml:math id="IEq704_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq704_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq704.gif"/></span>
-Cauchy, and convergent to 
<span id="IEq705"><mml:math id="IEq705_Math"><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq705_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq705.gif"/></span>
, then 
<span id="IEq706"><mml:math id="IEq706_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq706_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {F_{{T^{n} x_{0} ,\,x}}^{ - 1} \left( {\,\varphi \left( {K^{ - 1} \varepsilon /3} \right)} \right)\, - 1} \right) = \psi \left( 0 \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq706.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq707"><mml:math id="IEq707_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq707_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n + 1} x_{0} ,\;Tx}} \left( {\varepsilon /3} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq707.gif"/></span>
 so that
<section id="Equl"><mml:math display="block" id="Equl_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equl_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{T^{n + 1} x_{0} ,\;Tx}} \left( {\varepsilon /3} \right) \ge \frac{{\alpha \left( {T^{n} x_{0} ,\;x,\;K^{ - 1} \varepsilon /3} \right)}}{{\alpha \left( {T^{n} x_{0} ,\;x,\;K^{ - 1} \varepsilon /3} \right) + \psi \left( {F_{{T^{n} x_{0} ,{\kern 1pt} x}}^{ - 1} \left( {{\mkern 1mu} \varphi \left( {K^{ - 1} \varepsilon /3} \right)} \right){\mkern 1mu} - 1} \right)}};\quad \forall n\left( { \in {\mathbf{Z}}_{0 + } } \right) \hfill \\ F_{{T^{n + 1} x_{0} ,\;Tx}} \left( {\varepsilon /3} \right) > 1 - \lambda ;\quad \forall n\left( { \ge n_{01} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equl.gif"/></section>
so that for some 
<span id="IEq708"><mml:math id="IEq708_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq708_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right)\left( { \ge n_{01} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq708.gif"/></span>
 and for any arbitrary 
<span id="IEq709"><mml:math id="IEq709_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq709_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq709.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq710"><mml:math id="IEq710_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq710_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq710.gif"/></span>
 using the third and fourth properties of the triangular norms, one gets:
<section id="Equ21"><mml:math display="block" id="Equ21_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( \varepsilon \right) \ge \hbox{min} \left( {F_{{x,T^{n} x_{0} }} \left( {\varepsilon /3} \right),\;F_{{T^{n + 1} x_{0} ,T^{n} x_{0} }} \left( {\varepsilon /3} \right){\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} F_{{T^{n + 1} x_{0} ,Tx}} \left( {\varepsilon /3} \right)\;} \right) > 1 - \lambda ,\quad \forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + } ,$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ21.gif"/></section></p></section>
<section><p>Thus, 
<span id="IEq711"><mml:math id="IEq711_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq711_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,Tx} \left( {0^{ + } } \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq711.gif"/></span>
 so that 
<span id="IEq712"><mml:math id="IEq712_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq712_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = Tx$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq712.gif"/></span>
 from the property 1 of (
<a href="#Equ1"><sup>1.1</sup></a>
). By replacing 
<span id="IEq713"><mml:math id="IEq713_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq713_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \to Tx$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq713.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq714"><mml:math id="IEq714_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq714_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Tx \to T^{2} x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq714.gif"/></span>
 in (
<a href="#Equ21"><sup>2.13</sup></a>
), we prove 
<span id="IEq715"><mml:math id="IEq715_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq715_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = T^{2} x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq715.gif"/></span>
. Proceeding in the same way, it is proved that 
<span id="IEq716"><mml:math id="IEq716_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq716_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{i} x = x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq716.gif"/></span>
, 
<span id="IEq717"><mml:math id="IEq717_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq717_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq717.gif"/></span>
. So, 
<span id="IEq718"><mml:math id="IEq718_Math"><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq718_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq718.gif"/></span>
 is a limit point of 
<span id="IEq719"><mml:math id="IEq719_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq719_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + i} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq719.gif"/></span>
, 
<span id="IEq720"><mml:math id="IEq720_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq720_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq720.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq721"><mml:math id="IEq721_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq721_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq721.gif"/></span>
 which is also a fixed point of 
<span id="IEq722"><mml:math id="IEq722_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq722_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq722.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq723"><mml:math id="IEq723_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq723_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left. {T^{p} :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{j} \to \left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq723.gif"/></span>
,
<span id="IEq724"><mml:math id="IEq724_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq724_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq724.gif"/></span>
 if the subsets 
<span id="IEq725"><mml:math id="IEq725_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq725_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq725.gif"/></span>
 are closed 
<span id="IEq726"><mml:math id="IEq726_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq726_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq726.gif"/></span>
. Hence, Property (2) has been proved.</p></section>
<section><p>On the other hand, it follows from (
<a href="#Equ2"><sup>1.2</sup></a>
) for Menger PM-spaces and the properties of (
<a href="#Equ3"><sup>1.3</sup></a>
) for triangular norms for the general case that 
<span id="IEq727"><mml:math id="IEq727_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq727_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} = \varphi \left( {D^{ + } } \right) \ge D > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq727.gif"/></span>
 since, furthermore, 
<span id="IEq728"><mml:math id="IEq728_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq728_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta_{M} \left( {x,x} \right) \ge x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq728.gif"/></span>
 for each 
<span id="IEq729"><mml:math id="IEq729_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq729_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in \left[ {0,\,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq729.gif"/></span>
, that
<section id="Equ22"><mml:math display="block" id="Equ22_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( t \right) \ge \Delta_{M} \left( {F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{np + 1} x_{0} }} \left( {\left( {1 - K} \right)t} \right),\;F_{{T^{np + 1} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( {Kt} \right)} \right) \hfill \\ \ge \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\quad \Delta_{M} \left( {F_{{T^{np + 1} x_{0} ,\,T^{np + 2} x_{0} }} \left( {K\left( {1 - K} \right)t} \right),\,F_{{T^{np + 2} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( {K^{2} t} \right)} \right)} \right) \hfill \\ \ge \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\quad \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np - 1} \left( {K\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\,F_{{T^{np + 2} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( {K^{2} t} \right)} \right)} \right) \hfill \\ = \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\quad \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\,F_{{T^{np + 2} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( {K^{2} t} \right)} \right)} \right) \hfill \\ \ge \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\quad \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\,F_{{T^{{\left( {n + m} \right)p - 1}} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( {K^{mp - 1} t} \right)} \right)} \right) \hfill \\ \ge \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\quad \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\,F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {K^{{ - \left( {n + m} \right)p + 1}} \left( {K^{mp - 1} t - D} \right) + D} \right)} \right)} \right) \hfill \\ = \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\quad \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\,F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right)} \right)} \right) \hfill \\ \ge \Delta_{M} \left( {F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right),\quad F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right)} \right) \hfill \\ \ge F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\frac{{1 - K^{mp} }}{1 - K}K^{ - np} \left( {\left( {1 - K} \right)t - D} \right) + D} \right);\quad \forall t \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\quad \forall m \in {\mathbf{Z}}_{0 + } ,\quad \forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ22.gif"/></section></p></section>
<section><p>Then, one gets for any given 
<span id="IEq730"><mml:math id="IEq730_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq730_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t,\,\lambda \,\left( { < 1} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq730.gif"/></span>
, some 
<span id="IEq731"><mml:math id="IEq731_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq731_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {t,\lambda } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq731.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq732"><mml:math id="IEq732_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq732_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \ge n_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq732.gif"/></span>
.
<section id="Equ23"><mml:math display="block" id="Equ23_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( t \right) = F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( \infty \right) = 1;\quad F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( t \right) > \,1 - \lambda ,$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ23.gif"/></section>
<span id="IEq733"><mml:math id="IEq733_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq733_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq733.gif"/></span>
, 
<span id="IEq734"><mml:math id="IEq734_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq734_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall m \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq734.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq735"><mml:math id="IEq735_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq735_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq735.gif"/></span>
 is non-decreasing with supremum over 
<span id="IEq736"><mml:math id="IEq736_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq736_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq736.gif"/></span>
 equalizing unity. Thus, 
<span id="IEq737"><mml:math id="IEq737_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq737_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\} \to \bar{x}_{i + j} \left( { \in \,cl\left( {A_{i + j} } \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq737.gif"/></span>
, 
<span id="IEq738"><mml:math id="IEq738_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq738_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{p - 1} \, \cup \,\left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq738.gif"/></span>
, 
<span id="IEq739"><mml:math id="IEq739_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq739_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq739.gif"/></span>
, 
<span id="IEq740"><mml:math id="IEq740_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq740_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq740.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq741"><mml:math id="IEq741_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq741_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq741.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq742"><mml:math id="IEq742_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>≠</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq742_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \, \ne \bar{x}_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq742.gif"/></span>
, 
<span id="IEq743"><mml:math id="IEq743_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq743_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i,j\left( { \ne i} \right) \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq743.gif"/></span>
. In addition, either
<section id="Equ24"><mml:math display="block" id="Equ24_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{P} \bar{x}_{i + j} }} \left( \varepsilon \right) \ge \hbox{min} \left( {F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{np + j} x_{0} }} \left( {\varepsilon /4} \right),\;F_{{T^{np + j} x_{0} ,T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\varepsilon /4} \right){\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} F_{{T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} ,\bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right),\;F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{p} \bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right)\;} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ24.gif"/></section>
<section id="Equ25"><mml:math display="block" id="Equ25_Math"><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ge \hbox{min} \left( {F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{np + j} x_{0} }} \left( {\varepsilon /4} \right),\;F_{{T^{np + j} x_{0} ,T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\varepsilon /4} \right){\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} F_{{T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} ,\bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right)\;} \right) > 1 - \lambda ,$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ25.gif"/></section>
<span id="IEq744"><mml:math id="IEq744_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq744_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq744.gif"/></span>
, or 
<span id="IEq745"><mml:math id="IEq745_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq745_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{P} \bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right) \le 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq745.gif"/></span>
, then either 
<span id="IEq746"><mml:math id="IEq746_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq746_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{P} \bar{x}_{i + j} }} \left( \varepsilon \right) \le 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq746.gif"/></span>
, 
<span id="IEq747"><mml:math id="IEq747_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq747_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq747.gif"/></span>
 and
<section id="Equ26"><mml:math display="block" id="Equ26_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} 1 - \lambda \ge F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{np + j} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) \ge \hbox{min} \left( {F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{p} \bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right),\;F_{{T^{np + j} x_{0} ,T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\varepsilon /4} \right){\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} F_{{T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} ,\bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right),\;F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{p} \bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right)} \right) \hfill \\ \ge \hbox{min} \left( {F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{np + j} x_{0} }} \left( {\varepsilon /4} \right),\;F_{{T^{np + j} x_{0} ,T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} }} \left( {\varepsilon /4} \right){\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} F_{{T^{{\left( {n + 1} \right)p + j}} x_{0} ,\bar{x}_{i + j} }} \left( {\varepsilon /4} \right)\;} \right) > 1 - \lambda \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ26.gif"/></section>
for some 
<span id="IEq748"><mml:math id="IEq748_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq748_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq748.gif"/></span>
, which is a contradiction, or 
<span id="IEq749"><mml:math id="IEq749_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq749_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{P} \bar{x}_{i + j} }} \left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq749.gif"/></span>
. As a result (
<a href="#Equ24"><sup>2.16</sup></a>
) leads, in any case, to (
<a href="#Equ25"><sup>2.17.a</sup></a>
) and 
<span id="IEq750"><mml:math id="IEq750_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq750_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{\bar{x}_{i + j} ,T^{P} \bar{x}_{i + j} }} \left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq750.gif"/></span>
, 
<span id="IEq751"><mml:math id="IEq751_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq751_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq751.gif"/></span>
. Thus, 
<span id="IEq752"><mml:math id="IEq752_Math"><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq752_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq752.gif"/></span>
 is a fixed point of the composite self-mapping 
<span id="IEq753"><mml:math id="IEq753_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq753_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{ i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right| A_{j} \to A_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq753.gif"/></span>
, 
<span id="IEq754"><mml:math id="IEq754_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq754_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq754.gif"/></span>
. To prove that the fixed points of the composite self-mapping are quasi-best proximity points of the 
<span id="IEq755"><mml:math id="IEq755_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq755_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq755.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq756"><mml:math id="IEq756_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq756_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq756.gif"/></span>
-
<span id="IEq757"><mml:math id="IEq757_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq757_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq757.gif"/></span>
-type contraction 
<span id="IEq758"><mml:math id="IEq758_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq758_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq758.gif"/></span>
, we proceed by contradiction. Assume that this is not the case, so that there is a pair 
<span id="IEq759"><mml:math id="IEq759_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq759_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\bar{x}_{i} ,\;T \bar{x}_{i} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq759.gif"/></span>
 for some 
<span id="IEq760"><mml:math id="IEq760_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq760_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq760.gif"/></span>
 such that there exist 
<span id="IEq761"><mml:math id="IEq761_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq761_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\lambda \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq761.gif"/></span>
 and a sequence 
<span id="IEq762"><mml:math id="IEq762_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq762_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {n_{k} } \right\} \subset {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq762.gif"/></span>
 for some 
<span id="IEq763"><mml:math id="IEq763_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq763_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\;\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq763.gif"/></span>
 such that, for any 
<span id="IEq764"><mml:math id="IEq764_Math"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq764_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq764.gif"/></span>
, one gets that 
<span id="IEq765"><mml:math id="IEq765_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq765_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\nolimits_{k \to \infty } F_{{T^{{n_{k} p}} \bar{x}_{j} ,\;T^{{\left( {n_{k} + 1} \right)p}} \bar{x}_{j} }} \left( {0^{ + } } \right) = 1 > \mathop {\lim \sup }\limits_{k \to \infty } F_{{T^{{n_{k} p}} \bar{x}_{i} ,\;T^{{n_{k} p + 1}} \bar{x}_{i} }} \left( {\hat{D}^{ + } } \right).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq765.gif"/></span>
 Since 
<span id="IEq766"><mml:math id="IEq766_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq766_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta_{M} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq766.gif"/></span>
 is a Menger space and, since any triangular norm is associative and commutative and since 
<span id="IEq767"><mml:math id="IEq767_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq767_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta_{M} \left( {x,x} \right) \ge x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq767.gif"/></span>
, one gets the contradiction:
<section id="Equ27"><mml:math display="block" id="Equ27_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:munder><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{\bar{x}_{i} ,\;T^{p} \bar{x}_{i} }} \left( \varepsilon \right) \ge \mathop {\hbox{min} }\limits_{{j \in \bar{p}}} \left( {F_{{\bar{x}_{i} ,\;T^{j} \bar{x}_{i} }} } \right)^{{}} = q\left( {1 - \lambda } \right) \ge 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ27.gif"/></section>
for some real 
<span id="IEq768"><mml:math id="IEq768_Math"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq768_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$q = q\left( {\varepsilon ,\,\lambda } \right) \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq768.gif"/></span>
 to 
<span id="IEq769"><mml:math id="IEq769_Math"><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq769_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq769.gif"/></span>
 being a fixed point of 
<span id="IEq770"><mml:math id="IEq770_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq770_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq770.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq771"><mml:math id="IEq771_Math"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq771_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq771.gif"/></span>
. Property (3) has been proved. □</p></section>
<section><p>Note that if the image of 
<span id="IEq772"><mml:math id="IEq772_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq772_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,\;y,\,t} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq772.gif"/></span>
 is extended to be in 
<span id="IEq773"><mml:math id="IEq773_Math"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq773_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$cl{\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq773.gif"/></span>
 (i.e., 
<span id="IEq774"><mml:math id="IEq774_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq774_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,\;y,\,t} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq774.gif"/></span>
 can take also values at 
<span id="IEq775"><mml:math id="IEq775_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq775_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ { + \infty } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq775.gif"/></span>
), then the proof of Property (1) of Theorem 2.1 is valid with a slight extension by considering also the case that 
<span id="IEq776"><mml:math id="IEq776_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq776_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha^{ - 1} \,\left( {T^{{n_{1} }} x_{0} ,T^{{n_{1} + 1}} x_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq776.gif"/></span>
 for some finite 
<span id="IEq777"><mml:math id="IEq777_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq777_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{1} \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq777.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq778"><mml:math id="IEq778_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq778_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq778.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq779"><mml:math id="IEq779_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">Ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq779_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \in \varPsi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq779.gif"/></span>
, it is continuous, and then 
<span id="IEq780"><mml:math id="IEq780_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq780_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{{n_{1} }} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{{ - n_{1} }} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq780.gif"/></span>
 for any finite 
<span id="IEq781"><mml:math id="IEq781_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq781_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{1} \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq781.gif"/></span>
 so that
<section id="Equm"><mml:math display="block" id="Equm_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equm_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha^{ - 1} \,\left( {T^{{n_{1} - 1}} x_{0} ,T^{{n_{1} }} x_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)\psi^{{n_{1} }} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{{ - n_{1} }} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) = 0,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } .$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equm.gif"/></section></p></section>
<section><p>Then, we could use a similar recursive procedure as that used for the case up till the 
<span id="IEq782"><mml:math id="IEq782_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq782_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {n_{1} - 1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq782.gif"/></span>
-iteration, since Proposition 2.1 remains valid, see Eqs. (
<a href="#Equ9"><sup>2.2</sup></a>
) and (
<a href="#Equ10"><sup>2.3</sup></a>
), so that:
<section id="Equn"><mml:math display="block" id="Equn_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equn_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{{n_{1} }} x_{0} ,T^{{n_{1} + 1}} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) \le 1 + \alpha^{ - 1} \,\left( {T^{{n_{1} - 1}} x_{0} ,T^{{n_{1} }} x_{0} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)\psi^{{n_{1} }} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{{ - n_{1} }} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) - 1} \right) = 1.$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equn.gif"/></section></p></section>
<section><p>Note that Theorem 2.1 generalizes some results on fixed points given in [
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
, 
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
, 
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
, 
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
] for either non-cyclic self-mappings or cyclic self-mappings on union of sets which intersect to quasi-best proximity points and best proximity points in the case that such sets do not intersect. On the other hand, a direct consequence of Theorem 2.1 is the following corollary for the case that 
<span id="IEq783"><mml:math id="IEq783_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq783_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq783.gif"/></span>
. The results are based on the fact that 
<span id="IEq784"><mml:math id="IEq784_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq784_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( {D^{ - } } \right) = D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq784.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq785"><mml:math id="IEq785_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq785_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq785.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq786"><mml:math id="IEq786_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq786_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left[ {0,D} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq786.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq787"><mml:math id="IEq787_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq787_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq787.gif"/></span>
 while it generalizes results on fixed points for the cases of either non-cyclic self-mappings or cyclic self-mappings with nonempty intersections of the involved subsets obtained in [
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
, 
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
, 
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
, 
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
]:</p></section>
<section><h2>Corollary 2.1</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq788"><mml:math id="IEq788_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq788_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq788.gif"/></span>
<em>be a</em>
<span id="IEq789"><mml:math id="IEq789_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq789_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq789.gif"/></span>
-
<em>complete Menger PM-space and</em>
<span id="IEq790"><mml:math id="IEq790_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq790_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq790.gif"/></span>
<em>be a</em>
<span id="IEq791"><mml:math id="IEq791_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq791_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq791.gif"/></span>
-
<em>cyclic</em>
<span id="IEq792"><mml:math id="IEq792_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq792_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq792.gif"/></span>
-
<span id="IEq793"><mml:math id="IEq793_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq793_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq793.gif"/></span>
-
<em>type contraction satisfying the following conditions</em>
:
<ul><li><p><span id="IEq794"><mml:math id="IEq794_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq794_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\;A_{i + 1} } \right) > 0,\quad \forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq794.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><span id="IEq795"><mml:math id="IEq795_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq795_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq795.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq796"><mml:math id="IEq796_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq796_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq796.gif"/></span>
-
<em>admissible</em>
,</p></li>
<li><p><em>there exists</em>
<span id="IEq797"><mml:math id="IEq797_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq797_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq797.gif"/></span>
<em>such that</em>
<span id="IEq798"><mml:math id="IEq798_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq798_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq798.gif"/></span>
, 
<span id="IEq799"><mml:math id="IEq799_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq799_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq799.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><em>if</em>
<span id="IEq800"><mml:math id="IEq800_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq800_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}\left( { \subset X} \right) \to x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq800.gif"/></span>
<em>is a Picard iteration generated as</em>
<span id="IEq801"><mml:math id="IEq801_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq801_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{n + 1} = Tx_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq801.gif"/></span>
, 
<span id="IEq802"><mml:math id="IEq802_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq802_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq802.gif"/></span>
<em>with</em>
<span id="IEq803"><mml:math id="IEq803_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq803_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq803.gif"/></span>
, 
<em>such that</em>
<span id="IEq804"><mml:math id="IEq804_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq804_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq804.gif"/></span>
, 
<span id="IEq805"><mml:math id="IEq805_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq805_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq805.gif"/></span>
,
<span id="IEq806"><mml:math id="IEq806_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq806_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq806.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq807"><mml:math id="IEq807_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq807_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;x,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq807.gif"/></span>
, 
<span id="IEq808"><mml:math id="IEq808_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq808_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq808.gif"/></span>
, 
<span id="IEq809"><mml:math id="IEq809_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq809_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq809.gif"/></span>
.</p></li></ul></p>
<p><em>Then, the following properties hold:</em>
<ul><li><p><em>If</em>
<span id="IEq810"><mml:math id="IEq810_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq810_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq810.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq811"><mml:math id="IEq811_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq811_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } \ne \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq811.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq812"><mml:math id="IEq812_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq812_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\} \subset \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq812.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq813"><mml:math id="IEq813_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq813_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\} \subset A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq813.gif"/></span>
<em>are both Cauchy and</em>
<span id="IEq814"><mml:math id="IEq814_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq814_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq814.gif"/></span>
-
<em>Cauchy convergent sequences to a limit point</em>
<span id="IEq815"><mml:math id="IEq815_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq815_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in \bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {cl\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq815.gif"/></span>
, 
<em>with</em>
<span id="IEq816"><mml:math id="IEq816_Math"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq816_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$cl\,A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq816.gif"/></span>
<em>being the closure of</em>
<span id="IEq817"><mml:math id="IEq817_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq817_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq817.gif"/></span>
. 
<em>If</em>
<span id="IEq818"><mml:math id="IEq818_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq818_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq818.gif"/></span>
<em>are closed for</em>
<span id="IEq819"><mml:math id="IEq819_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq819_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq819.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq820"><mml:math id="IEq820_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq820_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = Tx = T^{p} x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq820.gif"/></span>
, 
<em>that is, it is a fixed point of the self-mappings</em>
<span id="IEq821"><mml:math id="IEq821_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq821_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq821.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq822"><mml:math id="IEq822_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq822_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left. {T^{p} \left( { \equiv T \circ T^{p - 1} } \right) :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq822.gif"/></span>
, 
<span id="IEq823"><mml:math id="IEq823_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq823_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq823.gif"/></span>
, 
<span id="IEq824"><mml:math id="IEq824_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq824_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq824.gif"/></span>
, 
<span id="IEq825"><mml:math id="IEq825_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq825_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq825.gif"/></span>
, 
<span id="IEq826"><mml:math id="IEq826_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq826_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{p - 1} \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq826.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><em>If</em>
<span id="IEq827"><mml:math id="IEq827_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq827_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq827.gif"/></span>
, 
<span id="IEq828"><mml:math id="IEq828_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq828_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq828.gif"/></span>
<em>is closed</em>
<span id="IEq829"><mml:math id="IEq829_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq829_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq829.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq830"><mml:math id="IEq830_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq830_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } = \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq830.gif"/></span>
<em>then, if</em>
<span id="IEq831"><mml:math id="IEq831_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq831_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq831.gif"/></span>
<em>for any</em>
<span id="IEq832"><mml:math id="IEq832_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq832_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq832.gif"/></span>
<em>, there is a limit cycle</em>
<span id="IEq833"><mml:math id="IEq833_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq833_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left({\bar{x}_{i},\,T\bar{x}_{i} ,\; \ldots ,T^{p - 1} \bar{x}_{i}} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq833.gif"/></span>
<em>, to which the sequence</em>
<span id="IEq834"><mml:math id="IEq834_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq834_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq834.gif"/></span>
<em>converges, with</em>
<span id="IEq835"><mml:math id="IEq835_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq835_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} \bar{x}_{i} = \bar{x}_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq835.gif"/></span>
, 
<span id="IEq836"><mml:math id="IEq836_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq836_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq836.gif"/></span>
, 
<span id="IEq837"><mml:math id="IEq837_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq837_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i + j} = T^{j} \bar{x}_{i} \in A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq837.gif"/></span>
, 
<span id="IEq838"><mml:math id="IEq838_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq838_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p},\forall j \in \overline{p - 1} \, \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq838.gif"/></span>
<em>being a fixed point of the composite self-mapping</em>
<span id="IEq839"><mml:math id="IEq839_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq839_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq839.gif"/></span>
,
<span id="IEq840"><mml:math id="IEq840_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq840_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq840.gif"/></span>
, 
<em>and being also a best proximity point of</em>
<span id="IEq841"><mml:math id="IEq841_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq841_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq841.gif"/></span>
. 
<em>The subsequence</em>
<span id="IEq842"><mml:math id="IEq842_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq842_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq842.gif"/></span>
 in 
<span id="IEq843"><mml:math id="IEq843_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq843_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq843.gif"/></span>
<em>converges to</em>
<span id="IEq844"><mml:math id="IEq844_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq844_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{i + j} = T^{j} x_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq844.gif"/></span>
, 
<span id="IEq845"><mml:math id="IEq845_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq845_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq845.gif"/></span>
<em>if</em>
<span id="IEq846"><mml:math id="IEq846_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq846_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq846.gif"/></span>
 for some 
<span id="IEq847"><mml:math id="IEq847_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq847_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq847.gif"/></span>
<em>. Furthermore</em>
,</p>
<p><section id="Equ28"><mml:math display="block" id="Equ28_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) = F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( \infty \right) = 1,\quad F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) > \,1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ28.gif"/></section></p>
<p><section id="Equ29"><mml:math display="block" id="Equ29_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda ,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) = F_{{\bar{x}_{i + j} ,\,\bar{x}_{i + j + 1} }} = 1$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ29.gif"/></section></p>
<p><em>for any given</em>
<span id="IEq848"><mml:math id="IEq848_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq848_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq848.gif"/></span>
, 
<span id="IEq849"><mml:math id="IEq849_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∩</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq849_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {\;0,\;1} \right) \cap {\mathbf{R}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq849.gif"/></span>
<em>and some</em>
<span id="IEq850"><mml:math id="IEq850_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq850_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\,\lambda } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq850.gif"/></span>
, 
<span id="IEq851"><mml:math id="IEq851_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq851_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq851.gif"/></span>
. □</p></li></ul></p></section>
<section><p>The following result is an extended version of a parallel result given in [
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
] for uniqueness of fixed points of (non-cyclic) self-mappings of a 
<span id="IEq852"><mml:math id="IEq852_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq852_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq852.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq853"><mml:math id="IEq853_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq853_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq853.gif"/></span>
-
<span id="IEq854"><mml:math id="IEq854_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq854_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq854.gif"/></span>
-type contraction on 
<span id="IEq855"><mml:math id="IEq855_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq855_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq855.gif"/></span>
. The result is concerned with (a) the uniqueness of best proximity points of 
<span id="IEq856"><mml:math id="IEq856_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq856_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq856.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq857"><mml:math id="IEq857_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq857_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq857.gif"/></span>
-
<span id="IEq858"><mml:math id="IEq858_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq858_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq858.gif"/></span>
-type contractions, being corresponding fixed points of the composite self-mappings restricted to each subset of the cyclic disposal, and (b) their confluence to a unique fixed point of the 
<span id="IEq859"><mml:math id="IEq859_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq859_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq859.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq860"><mml:math id="IEq860_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq860_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq860.gif"/></span>
-
<span id="IEq861"><mml:math id="IEq861_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq861_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq861.gif"/></span>
-type contraction if the subsets intersect.</p></section>
<section><h2>Theorem 2.2</h2>
<p><em>Assume all the hypotheses of Corollary 2.1 and the additional one which follow</em>
:</p>
<p><span id="IEq862"><mml:math id="IEq862_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>5</mml:mn></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>For all</mml:mtext></mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>there is</mml:mtext></mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mrow><mml:mtext>such that</mml:mtext></mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq862_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( 5\right){\text{ For all}}\;x,y \in \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {clA_{i} } ,{\text{ there is}}\;z \in \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {clA_{i} } \; {\text{such that}}\;\hbox{min} \,\left( {\alpha \left( {x,z,t} \right),\;\alpha \left( {y,z,t} \right)} \right) \ge 1,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } .$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq862.gif"/></span></p>
<p><em>Then, there is</em>
<span id="IEq863"><mml:math id="IEq863_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq863_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq863.gif"/></span>
, 
<em>such that</em>
<span id="IEq864"><mml:math id="IEq864_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq864_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq864.gif"/></span>
<em>if</em>
<span id="IEq865"><mml:math id="IEq865_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq865_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq865.gif"/></span>
<em>is closed</em>
, 
<span id="IEq866"><mml:math id="IEq866_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq866_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq866.gif"/></span>
, 
<em>which is the unique best proximity point of</em>
<span id="IEq867"><mml:math id="IEq867_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq867_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq867.gif"/></span>
<em>and the unique fixed point of</em>
<span id="IEq868"><mml:math id="IEq868_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq868_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq868.gif"/></span>
, 
<span id="IEq869"><mml:math id="IEq869_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq869_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq869.gif"/></span>
<em>. If</em>
<span id="IEq870"><mml:math id="IEq870_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq870_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq870.gif"/></span>
<em>with</em>
<span id="IEq871"><mml:math id="IEq871_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq871_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq871.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq872"><mml:math id="IEq872_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq872_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq872.gif"/></span>
<em>is nonempty and closed then there is a unique fixed point of</em>
<span id="IEq873"><mml:math id="IEq873_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq873_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq873.gif"/></span>
<em>and of the composite self-mappings</em>
<span id="IEq874"><mml:math id="IEq874_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq874_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{j} \to A_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq874.gif"/></span>
,
<span id="IEq875"><mml:math id="IEq875_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq875_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq875.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Let 
<span id="IEq876"><mml:math id="IEq876_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq876_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq876.gif"/></span>
, 
<span id="IEq877"><mml:math id="IEq877_Math"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq877_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v \in clA_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq877.gif"/></span>
 be best proximity points for any given 
<span id="IEq878"><mml:math id="IEq878_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq878_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i,j \in \bar{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq878.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq879"><mml:math id="IEq879_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq879_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u = T^{np} u = T^{p} u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq879.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq880"><mml:math id="IEq880_Math"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq880_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v = T^{np} v = T^{p} v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq880.gif"/></span>
, 
<span id="IEq881"><mml:math id="IEq881_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq881_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq881.gif"/></span>
 so that there is 
<span id="IEq882"><mml:math id="IEq882_Math"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq882_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$z \in \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {clA_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq882.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq883"><mml:math id="IEq883_Math"><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq883_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hbox{min} \,\left( {\alpha \left( {u,z,t} \right),\;\alpha \left( {v,z,t} \right)} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq883.gif"/></span>
, 
<span id="IEq884"><mml:math id="IEq884_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq884_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq884.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>Thus, there exist integers 
<span id="IEq885"><mml:math id="IEq885_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq885_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m = m\left( {i,u,z} \right) \in \overline{p - 1} \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq885.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq886"><mml:math id="IEq886_Math"><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq886_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ell = \ell \left( {j,v,z} \right) \in \overline{p - 1} \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq886.gif"/></span>
, such that 
<span id="IEq887"><mml:math id="IEq887_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq887_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{pn + m} z \in A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq887.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq888"><mml:math id="IEq888_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq888_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{pn + \ell } z \in A_{j + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq888.gif"/></span>
, and since 
<span id="IEq889"><mml:math id="IEq889_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq889_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq889.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq890"><mml:math id="IEq890_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq890_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq890.gif"/></span>
-admissible and 
<span id="IEq891"><mml:math id="IEq891_Math"><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq891_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hbox{min} \,\left( {\alpha \left( {x,z,t} \right),\;\alpha \left( {y,z,t} \right)} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq891.gif"/></span>
, 
<span id="IEq892"><mml:math id="IEq892_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq892_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq892.gif"/></span>
, one gets:</p></section>
<section><p><section id="Equ30"><mml:math display="block" id="Equ30_Math"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow/><mml:mrow/></mml:msup></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{1}{{F_{{u,\,T^{pn + m} z}} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1 \le \mathop {\sup }\limits_{{n \in {\mathbf{Z}}_{0 + } }} \,\left[ {\alpha^{ - 1} \left( {u,T^{np + m} z,t} \right)} \right]\;\,\psi^{np - 1} \left( {\frac{1}{{F_{{u,\,T^{m} z}} \left( {\varphi \left( {K^{{ - \left( {np + m} \right)}} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right)^{{^{{}} }} }}\; - 1} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ30.gif"/></section></p></section>
<section><p><section id="Equ31"><mml:math display="block" id="Equ31_Math"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow/><mml:mrow/></mml:msup></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{1}{{F_{{v,\,T^{pn + \ell } z}} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1 \le \,\alpha^{ - 1} \left( {v,z,t} \right)\,\psi^{np - 1} \left( {\frac{1}{{F_{{v,\,T^{\ell } z}} \left( {\varphi \left( {K^{{ - \left( {np + \ell } \right)}} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right)^{{^{{}} }} }}\; - 1} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } .$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ31.gif"/></section></p></section>
<section><p>Note that 
<span id="IEq893"><mml:math id="IEq893_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq893_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{np - 1} \left( {a_{np - 1} \left( {t,m,u,z} \right)} \right) \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq893.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq894"><mml:math id="IEq894_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq894_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_{np - 1} \left( {t,m,u,z} \right) \,=\, \frac{1}{{F_{{u,\,T^{m} z}} \left( {\varphi \left( {K^{{ - \left( {np + m} \right)}} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right)^{{}} }}\; - 1\, \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq894.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq895"><mml:math id="IEq895_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq895_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq895.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq896"><mml:math id="IEq896_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq896_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq896.gif"/></span>
 which holds since 
<span id="IEq897"><mml:math id="IEq897_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq897_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{m} z}} \left( {\varphi \left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right)^{{}} \to 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq897.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq898"><mml:math id="IEq898_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq898_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq898.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq899"><mml:math id="IEq899_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq899_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq899.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq900"><mml:math id="IEq900_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq900_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right) \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq900.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq901"><mml:math id="IEq901_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq901_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq901.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq902"><mml:math id="IEq902_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq902_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq902.gif"/></span>
 and since 
<span id="IEq903"><mml:math id="IEq903_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq903_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq903.gif"/></span>
 from (
<a href="#Equ30"><sup>2.21</sup></a>
), from the properties 
<span id="IEq904"><mml:math id="IEq904_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq904_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq904.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq905"><mml:math id="IEq905_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq905_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t < D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq905.gif"/></span>
, 
<span id="IEq906"><mml:math id="IEq906_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq906_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( D \right) \ge D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq906.gif"/></span>
, and 
<span id="IEq907"><mml:math id="IEq907_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq907_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq907.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq908"><mml:math id="IEq908_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq908_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq908.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq909"><mml:math id="IEq909_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq909_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \, :{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq909.gif"/></span>
 is strictly increasing in 
<span id="IEq910"><mml:math id="IEq910_Math"><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq910_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left[ {D,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq910.gif"/></span>
. In the same way, note that 
<span id="IEq911"><mml:math id="IEq911_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq911_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{np - 1} \left( {b_{np - 1} \left( {t,m,v,z} \right)} \right) \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq911.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq912"><mml:math id="IEq912_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq912_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b_{np - 1} \left( {t,m,v,z} \right) = \frac{1}{{F_{{u,\,T^{m} z}} \left( {\varphi \left( {K^{{ - \left( {np + m} \right)}} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right)^{{}} }}\; - 1\, \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq912.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq913"><mml:math id="IEq913_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq913_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq913.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq914"><mml:math id="IEq914_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq914_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq914.gif"/></span>
. As a result:
<section id="Equ32"><mml:math display="block" id="Equ32_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{pn + m} z}} \left( t \right) = F_{{v,\,T^{pn + \ell } z}} \left( t \right) = 1,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ32.gif"/></section>
<section id="Equ33"><mml:math display="block" id="Equ33_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{pn + m} z}} \left( t \right) = F_{{v,\,T^{pn + \ell } z}} \left( t \right) = 0,\quad \forall t\left( { \le D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ33.gif"/></section>
with 
<span id="IEq915"><mml:math id="IEq915_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq915_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq915.gif"/></span>
, 
<span id="IEq916"><mml:math id="IEq916_Math"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq916_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v \in A_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq916.gif"/></span>
, 
<span id="IEq917"><mml:math id="IEq917_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq917_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{pn + m} z \in A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq917.gif"/></span>
, 
<span id="IEq918"><mml:math id="IEq918_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq918_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{pn + \ell } z \in A_{j + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq918.gif"/></span>
 for any 
<span id="IEq919"><mml:math id="IEq919_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq919_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i,j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq919.gif"/></span>
. Thus, if 
<span id="IEq920"><mml:math id="IEq920_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq920_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i = j$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq920.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq921"><mml:math id="IEq921_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq921_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u,v \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq921.gif"/></span>
, 
<span id="IEq922"><mml:math id="IEq922_Math"><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq922_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ell = m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq922.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq923"><mml:math id="IEq923_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq923_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{pn + m} z \in clA_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq923.gif"/></span>
. Assume that 
<span id="IEq924"><mml:math id="IEq924_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq924_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u \ne v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq924.gif"/></span>
 are best proximity points in 
<span id="IEq925"><mml:math id="IEq925_Math"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq925_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq925.gif"/></span>
, then 
<span id="IEq926"><mml:math id="IEq926_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq926_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Tu,Tv \in A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq926.gif"/></span>
 are corresponding adjacent best proximity points and 
<span id="IEq927"><mml:math id="IEq927_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq927_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{pn + m} z} \right\} \to Tu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq927.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq928"><mml:math id="IEq928_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq928_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{pn + m} z} \right\} \to Tv$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq928.gif"/></span>
. Thus, 
<span id="IEq929"><mml:math id="IEq929_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq929_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Tu = Tv$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq929.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq930"><mml:math id="IEq930_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq930_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u = T^{p} u = T^{p} v = v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq930.gif"/></span>
 which contradicts 
<span id="IEq931"><mml:math id="IEq931_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq931_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u \ne v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq931.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq932"><mml:math id="IEq932_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq932_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq932.gif"/></span>
 is arbitrary then the set of adjacent best proximity points is unique.</p></section>
<section><p>In the particular case that 
<span id="IEq933"><mml:math id="IEq933_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq933_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq933.gif"/></span>
, one gets that 
<span id="IEq934"><mml:math id="IEq934_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq934_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u = v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq934.gif"/></span>
 is a unique fixed point of 
<span id="IEq935"><mml:math id="IEq935_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq935_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq935.gif"/></span>
, allocated in the nonempty set 
<span id="IEq936"><mml:math id="IEq936_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq936_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {cl\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq936.gif"/></span>
, and also a fixed point of each restricted composite self-mapping 
<span id="IEq937"><mml:math id="IEq937_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq937_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{j} \to A_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq937.gif"/></span>
,
<span id="IEq938"><mml:math id="IEq938_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq938_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq938.gif"/></span>
 since Eqs. (
<a href="#Equ32"><sup>2.23</sup></a>
) and (
<a href="#Equ33"><sup>2.24</sup></a>
) result to be for 
<span id="IEq939"><mml:math id="IEq939_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq939_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i = j$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq939.gif"/></span>
:
<section id="Equ34"><mml:math display="block" id="Equ34_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{pn + m} z}} \left( t \right) = F_{{v,\,T^{pn + m} z}} \left( t \right) = 1,\quad \forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ34.gif"/></section>
□</p></section>
<section><h2>Example 2.1</h2>
<p>Consider real intervals 
<span id="IEq940"><mml:math id="IEq940_Math"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq940_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A = - B = \left\{ {\,z \in {\mathbf{R}}\; :\,z \ge D/2} \right\} \subset {\mathbf{R}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq940.gif"/></span>
 so that 
<span id="IEq941"><mml:math id="IEq941_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq941_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {{\mathbf{R}},d} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq941.gif"/></span>
 is a complete metric space under some metric 
<span id="IEq942"><mml:math id="IEq942_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq942_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d :X \times X \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq942.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq943"><mml:math id="IEq943_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq943_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A,B} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq943.gif"/></span>
. The sequence 
<span id="IEq944"><mml:math id="IEq944_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq944_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {\,x_{n} } \right\} \subset A \cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq944.gif"/></span>
 is generated by 2-cyclic self-mapping 
<span id="IEq945"><mml:math id="IEq945_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq945_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq945.gif"/></span>
 on 
<span id="IEq946"><mml:math id="IEq946_Math"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq946_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A \cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq946.gif"/></span>
 for some real constant 
<span id="IEq947"><mml:math id="IEq947_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq947_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left[ {\,0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq947.gif"/></span>
 and any given initial 
<span id="IEq948"><mml:math id="IEq948_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq948_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in {\mathbf{R}} \equiv A \cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq948.gif"/></span>
, by
<section id="Equ35"><mml:math display="block" id="Equ35_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mtext>sgn</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{n + 1} = - K\,x_{n} - \left( {1 - K} \right)\left( {D/2} \right)\text{sgn} \left( {x_{n} } \right),\quad n \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ35.gif"/></section>
with the extended definition 
<span id="IEq949"><mml:math id="IEq949_Math"><mml:mrow><mml:mtext>sgn</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>x</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq949_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\text{sgn} \left( x \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq949.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq950"><mml:math id="IEq950_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq950_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq950.gif"/></span>
 for the case that 
<span id="IEq951"><mml:math id="IEq951_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq951_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq951.gif"/></span>
. The above sequence has the two following subsequences, in 
<span id="IEq952"><mml:math id="IEq952_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq952_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq952.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq953"><mml:math id="IEq953_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq953_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq953.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq954"><mml:math id="IEq954_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq954_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq954.gif"/></span>
, respectively, in 
<span id="IEq955"><mml:math id="IEq955_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq955_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq955.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq956"><mml:math id="IEq956_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq956_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq956.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq957"><mml:math id="IEq957_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq957_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq957.gif"/></span>
:
<section id="Equ36"><mml:math display="block" id="Equ36_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mtext>sgn</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{2n} = T^{2n} x_{0} = K^{2n} x_{0} + \left( {1 - K^{2n} } \right)\left( {D/2} \right)\text{sgn} \left( {x_{0} } \right),\quad n \in {\mathbf{Z}}_{ + } ,$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ36.gif"/></section>
<section id="Equ37"><mml:math display="block" id="Equ37_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mtext>sgn</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{2n + 1} = Tx_{2n} = T^{2n + 1} x_{0} = - K^{2n + 1} x_{0} - \left( {1 - K^{2n} } \right)\left( {D/2} \right)\text{sgn} \left( {x_{0} } \right),\quad n \in {\mathbf{Z}}_{ + } .$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ37.gif"/></section></p></section>
<section><p>Note that 
<span id="IEq958"><mml:math id="IEq958_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq958_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T\, :A \cup B \to A \cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq958.gif"/></span>
 is a 2-cyclic contraction, with the metric being the Euclidean norm, since</p></section>
<section><p><section id="Equ38"><mml:math display="block" id="Equ38_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="|" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="|" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>K</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>D</mml:mi><mml:mtext>sgn</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} d\left( {x_{n + 2} ,\;x_{n + 1} } \right) = \left| {x_{n + 2} \; - x_{n + 1} } \right| = \left| {\,K\left( {x_{n} - x_{n + 1} } \right) + \left( {1 - K} \right)D\text{sgn} \left( {x_{n} } \right)} \right| \hfill \\ \le Kd\left( {x_{n + 2} ,\;x_{n + 1} } \right) + \left( {1 - K} \right)D,\quad n \in {\mathbf{Z}}_{0 + } , \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ38.gif"/></section>
and it turns out that 
<span id="IEq959"><mml:math id="IEq959_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq959_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{2n} } \right\} \to D/2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq959.gif"/></span>
, 
<span id="IEq960"><mml:math id="IEq960_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq960_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{2n + 1} } \right\} \to - D/2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq960.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq961"><mml:math id="IEq961_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq961_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq961.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq962"><mml:math id="IEq962_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq962_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{2n} } \right\} \to - D/2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq962.gif"/></span>
, 
<span id="IEq963"><mml:math id="IEq963_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq963_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{2n + 1} } \right\} \to D/2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq963.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq964"><mml:math id="IEq964_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq964_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq964.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq965"><mml:math id="IEq965_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq965_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = \pm D/2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq965.gif"/></span>
 are the unique best proximity points in 
<span id="IEq966"><mml:math id="IEq966_Math"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq966_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq966.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq967"><mml:math id="IEq967_Math"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq967_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq967.gif"/></span>
, respectively, and unique fixed points of 
<span id="IEq968"><mml:math id="IEq968_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq968_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{2} :A \to A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq968.gif"/></span>
 and, respectively, of 
<span id="IEq969"><mml:math id="IEq969_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq969_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{2} :B \to B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq969.gif"/></span>
, which are confluent at 
<span id="IEq970"><mml:math id="IEq970_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq970_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq970.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq971"><mml:math id="IEq971_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq971_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq971.gif"/></span>
 and then a unique fixed point of 
<span id="IEq972"><mml:math id="IEq972_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq972_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T\, :\,A \cup B \to A \cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq972.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq973"><mml:math id="IEq973_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq973_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T\,^{2} :\,A \cup B \to A \cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq973.gif"/></span>
. Let 
<span id="IEq974"><mml:math id="IEq974_Math"><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq974_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{D}}_{D}^{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq974.gif"/></span>
 be the set of all generalized distance distribution functions of elements defined by 
<span id="IEq975"><mml:math id="IEq975_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq975_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$H_{D} \left( t \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq975.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq976"><mml:math id="IEq976_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq976_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \le D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq976.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq977"><mml:math id="IEq977_Math"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq977_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$H\left( t \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq977.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq978"><mml:math id="IEq978_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq978_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq978.gif"/></span>
. Now, define 
<span id="IEq979"><mml:math id="IEq979_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq979_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = \psi \left( t \right) = t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq979.gif"/></span>
, and:
<ul><li><p>a probability mapping 
<span id="IEq980"><mml:math id="IEq980_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq980_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F :{\mathbf{R}} \times {\mathbf{R}} \to {\mathbf{D}}_{D}^{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq980.gif"/></span>
, 
<span id="IEq981"><mml:math id="IEq981_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq981_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right) = \frac{{gt^{p} + D}}{{gt^{p} + d\left( {x,y} \right)}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq981.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq982"><mml:math id="IEq982_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq982_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { \in {\mathbf{R}}_{ + } } \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq982.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq983"><mml:math id="IEq983_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq983_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq983.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq984"><mml:math id="IEq984_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq984_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y \in B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq984.gif"/></span>
 or 
<span id="IEq985"><mml:math id="IEq985_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq985_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq985.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq986"><mml:math id="IEq986_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq986_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y \in A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq986.gif"/></span>
; 
<span id="IEq987"><mml:math id="IEq987_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq987_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right) = \frac{{gt^{p} }}{{gt^{p} + d\left( {x,y} \right)}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq987.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq988"><mml:math id="IEq988_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq988_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { \in {\mathbf{R}}_{ + } } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq988.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq989"><mml:math id="IEq989_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq989_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x,y \in A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq989.gif"/></span>
 or 
<span id="IEq990"><mml:math id="IEq990_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq990_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x,y \in B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq990.gif"/></span>
; 
<span id="IEq991"><mml:math id="IEq991_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq991_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,y} \left( t \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq991.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq992"><mml:math id="IEq992_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq992_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { \in {\mathbf{R}}} \right) \le D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq992.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq993"><mml:math id="IEq993_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq993_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {x,y} \right) \in A \times B \cup B \times A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq993.gif"/></span>
, for any given 
<span id="IEq994"><mml:math id="IEq994_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq994_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g,p \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq994.gif"/></span></p></li>
<li><p>a weighting function 
<span id="IEq995"><mml:math id="IEq995_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq995_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha :\,{\mathbf{R}} \times {\mathbf{R}} \times {\mathbf{R}}_{ + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq995.gif"/></span>
 by 
<span id="IEq996"><mml:math id="IEq996_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">δ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq996_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right) = \frac{{\delta t^{q} + d\left( {x,y} \right)}}{t + \lambda D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq996.gif"/></span>
 for some given real constants 
<span id="IEq997"><mml:math id="IEq997_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq997_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {\,0,\;1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq997.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq998"><mml:math id="IEq998_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">δ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq998_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\delta \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq998.gif"/></span>
.</p></li></ul></p></section>
<section><p>Note that 
<span id="IEq999"><mml:math id="IEq999_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq999_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {{\mathbf{R}},F,\Delta_{M} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq999.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq1000"><mml:math id="IEq1000_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1000_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1000.gif"/></span>
-complete generalized Menger PM-space since the distance distribution function is a generalized one, [
<a href="#CR12"><sup>12</sup></a>
]. It follows from Proposition 2.1 that</p></section>
<section><p><section id="Equ39"><mml:math display="block" id="Equ39_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{Tx_{n + 1} ,Tx_{n} }} \left( t \right) = F_{{T^{2} x_{n} ,Tx_{n} }} \left( t \right) = \frac{{gt^{p} + D}}{{gt^{p} + d\left( {T^{2} x_{n} ,Tx_{n} } \right)}} \hfill \\ \ge \,\frac{{gt^{p} + D}}{{gt^{p} + D + K\,\left( {d\left( {Tx_{n} ,x_{n} } \right) - D} \right)}} = \frac{1}{{1 + \left( {gt^{p} + D\,} \right)\,^{ - 1} K\,\left( {d\left( {Tx_{n} ,x_{n} } \right) - D} \right)}} \hfill \\ \ge \frac{1}{{1 + \alpha^{ - 1} \,\left( {x_{n} ,Tx_{n} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)\,\left( {gt^{p} + D\,} \right)\,^{ - 1} K\,\left( {F_{{x_{n} ,\;Tx_{n} }}^{ - 1} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) - 1} \right)\,\left( {g\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)^{p} + D\,} \right)}} \hfill \\ \ge \frac{1}{{1 + \,\left( {F_{{x_{n} ,\;Tx_{n} }}^{ - 1} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) - 1} \right)}} \ge F_{{x_{n} ,Tx_{n} }} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right),\quad n \in {\mathbf{Z}}_{0 + } ,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ39.gif"/></section>
since 
<span id="IEq1001"><mml:math id="IEq1001_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1001_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha^{ - 1} \,\left( {x_{n} ,Tx_{n} ,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) \le 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1001.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1002"><mml:math id="IEq1002_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1002_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1002.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1003"><mml:math id="IEq1003_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1003_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1003.gif"/></span>
. Then, note that 
<span id="IEq1004"><mml:math id="IEq1004_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1004_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1004.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq1005"><mml:math id="IEq1005_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1005_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1005.gif"/></span>
-admissible and since</p></section>
<section><p><section id="Equ40"><mml:math display="block" id="Equ40_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} d\left( {x_{n} ,\;Tx_{n} } \right) - D = \left( {F_{{x_{n} ,\;Tx_{n} }}^{ - 1} \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D - 1} \right)\,} \right)\left( {g\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)^{p} + D} \right) \hfill \\ = \left( {F_{{x_{n} ,\;Tx_{n} }}^{ - 1} K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D - 1} \right)\left( {g\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)^{p} + D} \right),\quad n \in {\mathbf{Z}}_{0 + } ,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ40.gif"/></section>
then, from Theorem 2.1, there exists the following limit</p></section>
<section><p><section id="Equ41"><mml:math display="block" id="Equ41_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} 1 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{Tx_{n + 1} ,Tx_{n} }} \left( t \right) \ge \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{0} , Tx_{0} }} \left( {K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) \hfill \\ = F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } K^{ - n} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) = F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( { + \infty } \right) = 1,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ41.gif"/></section>
so that 
<span id="IEq1006"><mml:math id="IEq1006_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1006_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = \pm D/2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1006.gif"/></span>
 are also best proximity points in the probabilistic sense. In addition, 
<span id="IEq1007"><mml:math id="IEq1007_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1007_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{2n} x_{0} ,\,T^{{2\left( {n + m} \right)}} x_{0} }} \left( t \right) > \,1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1007.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1008"><mml:math id="IEq1008_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1008_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{2n} x_{0} ,\,T^{{2\left( {n + m} \right) + 1}} x_{0} }} \left( {t + D} \right) > \,1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1008.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1009"><mml:math id="IEq1009_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∩</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1009_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \lambda \in \left( {0,1} \right) \cap {\mathbf{R}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1009.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1010"><mml:math id="IEq1010_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1010_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1010.gif"/></span>
 from Theorem 2.1[(
<a href="#Equ18"><sup>2.10</sup></a>
) and (
<a href="#Equ23"><sup>2.15</sup></a>
)] and 
<span id="IEq1011"><mml:math id="IEq1011_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1011_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{2n} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1011.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1012"><mml:math id="IEq1012_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1012_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{2n + 1} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1012.gif"/></span>
 are Cauchy, 
<span id="IEq1013"><mml:math id="IEq1013_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1013_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1013.gif"/></span>
-Cauchy and convergent to 
<span id="IEq1014"><mml:math id="IEq1014_Math"><mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1014_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\pm x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1014.gif"/></span>
, respectively. Note that for 
<span id="IEq1015"><mml:math id="IEq1015_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1015_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1015.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1016"><mml:math id="IEq1016_Math"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∩</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1016_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A \cap B = \left\{ {\,0} \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1016.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq1017"><mml:math id="IEq1017_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1017_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1017.gif"/></span>
 is the unique fixed point from Theorem 2.2 since 
<span id="IEq1018"><mml:math id="IEq1018_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1018_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {{\mathbf{R}},F,\Delta_{M} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1018.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq1019"><mml:math id="IEq1019_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1019_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1019.gif"/></span>
-complete Menger PM-space.</p></section></section>
<section><h2>Main results on best proximity points for generalized p\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}-cyclic α\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}-ψ\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}-type contractions</h2>
<section><p>We generalize the concept of 
<span id="IEq1023"><mml:math id="IEq1023_Math"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1023_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p\left( { \ge 2} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1023.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq1024"><mml:math id="IEq1024_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1024_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1024.gif"/></span>
-
<span id="IEq1025"><mml:math id="IEq1025_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1025_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1025.gif"/></span>
-type contractions as follows:</p></section>
<section><h2>Definition 3.1</h2>
<p>Let 
<span id="IEq1026"><mml:math id="IEq1026_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1026_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1026.gif"/></span>
 be a PM-space and let 
<span id="IEq1027"><mml:math id="IEq1027_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1027_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1027.gif"/></span>
 be nonempty subsets of 
<span id="IEq1028"><mml:math id="IEq1028_Math"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1028_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1028.gif"/></span>
,
<span id="IEq1029"><mml:math id="IEq1029_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1029_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1029.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq1030"><mml:math id="IEq1030_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1030_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\,A_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1030.gif"/></span>
 is the distance in-between adjacent subsets, 
<span id="IEq1031"><mml:math id="IEq1031_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1031_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1031.gif"/></span>
. Then, 
<span id="IEq1032"><mml:math id="IEq1032_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1032_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1032.gif"/></span>
 is a generalized 
<span id="IEq1033"><mml:math id="IEq1033_Math"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1033_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p\left( { \ge 2} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1033.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq1034"><mml:math id="IEq1034_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1034_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1034.gif"/></span>
-
<span id="IEq1035"><mml:math id="IEq1035_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1035_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1035.gif"/></span>
-type contraction if 
<span id="IEq1036"><mml:math id="IEq1036_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>⊆</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1036_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T\left( {A_{i} } \right) \subseteq A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1036.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1037"><mml:math id="IEq1037_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1037_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1037.gif"/></span>
 and there exist two functions 
<span id="IEq1038"><mml:math id="IEq1038_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1038_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha :\left( {\,\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right) \times \left( {\,\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right) \times {\mathbf{R}}_{ + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1038.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1039"><mml:math id="IEq1039_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">Ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1039_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \in \varPsi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1039.gif"/></span>
 satisfying the following inequality:</p>
<p><section id="Equ42"><mml:math display="block" id="Equ42_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right)\left( {\frac{1}{{F_{Tx,\,Ty} \left( {\varphi \left( {Kt + \left( {1 - K} \right)\,D} \right)} \right)}}\; - 1} \right) \le \,\psi_{0} \left( {x,y,Tx,\,Ty,\varphi \left( t \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ42.gif"/></section>
where</p>
<p><section id="Equ43"><mml:math display="block" id="Equ43_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfenced close=")" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi_{0} \left( {x,y,Tx,\,Ty,\varphi \left( t \right)} \right) = \hbox{max} \left( {\psi \left( {\frac{1}{{F_{x,\,y} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right),} \right.\;\psi \left( {\frac{1}{{F_{x,\,Tx} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right),\quad \left. {\psi \left( {\frac{1}{{F_{y,\,Ty} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right),\;\psi \left( {\frac{1}{{F_{x,\,Ty} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right),\;\psi \left( {\frac{1}{{F_{y,\,Tx} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right)} \right),$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ43.gif"/></section>
<span id="IEq1040"><mml:math id="IEq1040_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1040_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1040.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1041"><mml:math id="IEq1041_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1041_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1041.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1042"><mml:math id="IEq1042_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1042_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1042.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq1043"><mml:math id="IEq1043_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1043_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1043.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1044"><mml:math id="IEq1044_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1044_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1044.gif"/></span>
. □</p></section>
<section><p>An extension of Proposition 2.1 which can be proved under similar arguments follows:</p></section>
<section><h2>Proposition 3.1</h2>
<p><em>The constraint</em>
 (
<a href="#Equ42"><sup>3.1</sup></a>
)
<em>, subject to</em>
 (
<a href="#Equ43"><sup>3.2</sup></a>
)
<em>, is identical to:</em></p>
<p><section id="Equ44"><mml:math display="block" id="Equ44_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow/></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tx,Ty} \left( {\varphi \,\left( t \right)} \right) \ge \frac{{\alpha \,\left( {x,y,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)}}{{\alpha \,\left( {x,y,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) + \psi_{0} \left( {x,\,y,Tx,Ty,\,\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) - 1} \right)^{{}} }},$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ44.gif"/></section>
<span id="IEq1045"><mml:math id="IEq1045_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1045_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1045.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1046"><mml:math id="IEq1046_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1046_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1046.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1047"><mml:math id="IEq1047_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1047_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1047.gif"/></span>
<em>which is also identical, if</em>
<span id="IEq1048"><mml:math id="IEq1048_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1048_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right) \ne 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1048.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1049"><mml:math id="IEq1049_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1049_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \left( {x,y} \right) \in A_{i} \times A_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1049.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1050"><mml:math id="IEq1050_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1050_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1050.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1051"><mml:math id="IEq1051_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1051_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1051.gif"/></span>
, to</p>
<p><section id="Equ45"><mml:math display="block" id="Equ45_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tx,Ty}^{ - 1} \left( {\varphi \left( t \right)} \right) \le 1 + \alpha^{ - 1} \,\left( {x,y,\,K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)\psi_{0} \left( {x,\,y,Tx,Ty,\,\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) - 1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ45.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proposition 3.2</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq1052"><mml:math id="IEq1052_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1052_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1052.gif"/></span>
<em>be a PM-space and let</em>
<span id="IEq1053"><mml:math id="IEq1053_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1053_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1053.gif"/></span>
<em>be a generalized</em>
<span id="IEq1054"><mml:math id="IEq1054_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1054_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1054.gif"/></span>
-
<em>cyclic</em>
<span id="IEq1055"><mml:math id="IEq1055_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1055_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1055.gif"/></span>
-
<span id="IEq1056"><mml:math id="IEq1056_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1056_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1056.gif"/></span>
-
<em>type contraction with</em>
<span id="IEq1057"><mml:math id="IEq1057_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1057_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i} \subset X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1057.gif"/></span>
<em>being bounded with</em>
<span id="IEq1058"><mml:math id="IEq1058_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1058_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\,A_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1058.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1059"><mml:math id="IEq1059_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:munder><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1059_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{D} = \mathop {\hbox{max} }\limits_{{i \in \bar{p}}} {\text{diam}}\left( {A_{i} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1059.gif"/></span>
,
<span id="IEq1060"><mml:math id="IEq1060_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1060_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1060.gif"/></span>
<em>being the distance in-between adjacent subsets</em>
, 
<span id="IEq1061"><mml:math id="IEq1061_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1061_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1061.gif"/></span>
. 
<em>If</em>
<span id="IEq1062"><mml:math id="IEq1062_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1062_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1062.gif"/></span>
, 
<em>then Proposition 2.2 holds</em>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>It is direct since if 
<span id="IEq1063"><mml:math id="IEq1063_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1063_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1063.gif"/></span>
 be a PM-space, 
<span id="IEq1064"><mml:math id="IEq1064_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1064_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1064.gif"/></span>
 is a generalized 
<span id="IEq1065"><mml:math id="IEq1065_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1065_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1065.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq1066"><mml:math id="IEq1066_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1066_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1066.gif"/></span>
-
<span id="IEq1067"><mml:math id="IEq1067_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1067_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1067.gif"/></span>
-type contraction with 
<span id="IEq1068"><mml:math id="IEq1068_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1068_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i} \subset X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1068.gif"/></span>
 being bounded, 
<span id="IEq1069"><mml:math id="IEq1069_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1069_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\,A_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1069.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1070"><mml:math id="IEq1070_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:munder><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1070_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{D} = \mathop {\hbox{max} }\limits_{{i \in \bar{p}}} {\text{diam}}\left( {A_{i} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1070.gif"/></span>
 being the distance in-between adjacent subsets, 
<span id="IEq1071"><mml:math id="IEq1071_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1071_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1071.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1072"><mml:math id="IEq1072_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1072_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1072.gif"/></span>
, then:</p>
<p><section id="Equ46"><mml:math display="block" id="Equ46_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{x,y}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = F_{x,y} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1 \hfill \\ F_{x,Tx}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = F_{x,Tx} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1 \hfill \\ F_{y,Ty}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = F_{y,Ty} \left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1 \hfill \\ F_{x,Ty}^{ - 1} \left( {2\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = F_{x,Tx} \left( {2\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1 \hfill \\ F_{y,Tx}^{ - 1} \left( {2\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = F_{y,Ty} \left( {2\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1 \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ46.gif"/></section>
for 
<span id="IEq1073"><mml:math id="IEq1073_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1073_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1073.gif"/></span>
 so that it follows in a similar way as in the proof of Proposition 2.2 that</p>
<p><section id="Equ47"><mml:math display="block" id="Equ47_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi_{0} \left( {x,y,Tx,\,Ty,\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = \psi_{0} \left( {x,y,Tx,\,Ty,0} \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ47.gif"/></section>
for 
<span id="IEq1074"><mml:math id="IEq1074_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1074_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in \left( {D + 2\bar{D},\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1074.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq1075"><mml:math id="IEq1075_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1075_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1075.gif"/></span>
, the distance distribution function 
<span id="IEq1076"><mml:math id="IEq1076_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1076_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F :{\mathbf{R}} \to \left[ {\,0,1} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1076.gif"/></span>
 is non-decreasing and left-continuous, 
<span id="IEq1077"><mml:math id="IEq1077_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>⊆</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1077_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T\left( {A_{i} } \right) \subseteq T\left( {A_{i + 1} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1077.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1078"><mml:math id="IEq1078_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1078_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1078.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1079"><mml:math id="IEq1079_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1079_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D > 2\bar{D} + D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1079.gif"/></span>
, and</p>
<p><section id="Equ48"><mml:math display="block" id="Equ48_Math"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2\varphi \,\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right) > \varphi \,\left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right) > \varphi \left( {2\bar{D} + D} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ48.gif"/></section>
since 
<span id="IEq1080"><mml:math id="IEq1080_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1080_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1080.gif"/></span>
 is strictly increasing. □</p></section>
<section><p>The 
<span id="IEq1081"><mml:math id="IEq1081_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1081_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1081.gif"/></span>
-admissibility property has the same sense as in the case of 
<span id="IEq1082"><mml:math id="IEq1082_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1082_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1082.gif"/></span>
-
<span id="IEq1083"><mml:math id="IEq1083_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1083_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1083.gif"/></span>
-type contractions and cyclic contractions, that is:</p></section>
<section><h2>Definitions 3.2</h2>
<p>If 
<span id="IEq1084"><mml:math id="IEq1084_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1084_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1084.gif"/></span>
 a PM-space then an 
<span id="IEq1085"><mml:math id="IEq1085_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1085_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1085.gif"/></span>
-
<span id="IEq1086"><mml:math id="IEq1086_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1086_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1086.gif"/></span>
-type generalized contraction 
<span id="IEq1087"><mml:math id="IEq1087_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1087_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :X \to X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1087.gif"/></span>
 (respectively, a generalized 
<span id="IEq1088"><mml:math id="IEq1088_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1088_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1088.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq1089"><mml:math id="IEq1089_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1089_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1089.gif"/></span>
-
<span id="IEq1090"><mml:math id="IEq1090_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1090_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1090.gif"/></span>
-type contraction 
<span id="IEq1091"><mml:math id="IEq1091_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1091_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1091.gif"/></span>
) is 
<span id="IEq1092"><mml:math id="IEq1092_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1092_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1092.gif"/></span>
-admissible if 
<span id="IEq1093"><mml:math id="IEq1093_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1093_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha :X \times X \times {\mathbf{R}}_{ + } \to cl{\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1093.gif"/></span>
 satisfies Definition 2.2 (1) (respectively, Definition 2.2 (2)). □</p></section>
<section><p>Parallel results to those in Theorem 2.1 and Corollary 2.1 are stated in the following compacted result:</p></section>
<section><h2>Theorem 3.1</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq1094"><mml:math id="IEq1094_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1094_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1094.gif"/></span>
<em>be a</em>
<span id="IEq1095"><mml:math id="IEq1095_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1095_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1095.gif"/></span>
-
<em>complete PM-space and let</em>
<span id="IEq1096"><mml:math id="IEq1096_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1096_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1096.gif"/></span>
<em>be a generalized</em>
<span id="IEq1097"><mml:math id="IEq1097_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1097_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1097.gif"/></span>
-
<em>cyclic</em>
<span id="IEq1098"><mml:math id="IEq1098_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1098_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1098.gif"/></span>
-
<span id="IEq1099"><mml:math id="IEq1099_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1099_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1099.gif"/></span>
-
<em>type contraction satisfying the following conditions</em>
:
<ul><li><p><span id="IEq1100"><mml:math id="IEq1100_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\;A_{i + 1} } \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1100.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1101"><mml:math id="IEq1101_Math"><mml:mrow><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{diam}}\left( {A_{i} } \right) > \hat{D} - D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1101.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1102"><mml:math id="IEq1102_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1102.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><span id="IEq1103"><mml:math id="IEq1103_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1103.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq1104"><mml:math id="IEq1104_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1104.gif"/></span>
-
<em>admissible</em>
,</p></li>
<li><p><em>there exists</em>
<span id="IEq1105"><mml:math id="IEq1105_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1105.gif"/></span>
<em>such that</em>
<span id="IEq1106"><mml:math id="IEq1106_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1106.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1107"><mml:math id="IEq1107_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1107_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1107.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p>if 
<span id="IEq1108"><mml:math id="IEq1108_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1108_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}\left( { \subset X} \right) \to x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1108.gif"/></span>
<em>is a convergent sequence generated by the Picard iteration</em>
<span id="IEq1109"><mml:math id="IEq1109_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1109_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{n + 1} = Tx_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1109.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1110"><mml:math id="IEq1110_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1110_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1110.gif"/></span>
<em>for a given initial condition</em>
<span id="IEq1111"><mml:math id="IEq1111_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1111_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1111.gif"/></span>
, 
<em>such that</em>
<span id="IEq1112"><mml:math id="IEq1112_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1112_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1112.gif"/></span>
,
<span id="IEq1113"><mml:math id="IEq1113_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1113_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1113.gif"/></span>
,
<span id="IEq1114"><mml:math id="IEq1114_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1114_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1114.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq1115"><mml:math id="IEq1115_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1115_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;x,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1115.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1116"><mml:math id="IEq1116_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1116_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1116.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1117"><mml:math id="IEq1117_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1117_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1117.gif"/></span>
.</p></li></ul></p>
<p><em>Then, the following properties hold</em>
:
<ul><li><p><em>If</em>
<span id="IEq1118"><mml:math id="IEq1118_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1118_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1118.gif"/></span>
<em>for some</em>
<span id="IEq1119"><mml:math id="IEq1119_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1119_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D}\left( { \ge D} \right) \in {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1119.gif"/></span></p></li>
<li><p><em>If</em>
<span id="IEq1120"><mml:math id="IEq1120_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1120_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1120.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1121"><mml:math id="IEq1121_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1121_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } \ne \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1121.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq1122"><mml:math id="IEq1122_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1122_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\} \subset \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1122.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1123"><mml:math id="IEq1123_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1123_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\} \subset A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1123.gif"/></span>
<em>are both Cauchy and</em>
<span id="IEq1124"><mml:math id="IEq1124_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1124_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1124.gif"/></span>
-
<em>Cauchy convergent sequences to a limit point</em>
<span id="IEq1125"><mml:math id="IEq1125_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1125_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in \bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {cl\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1125.gif"/></span>
. 
<em>If</em>
<span id="IEq1126"><mml:math id="IEq1126_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1126_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1126.gif"/></span>
<em>are closed for</em>
<span id="IEq1127"><mml:math id="IEq1127_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1127_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1127.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq1128"><mml:math id="IEq1128_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1128_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = Tx = T^{p} x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1128.gif"/></span>
, 
<em>that is, it is a fixed point of the self-mappings</em>
<span id="IEq1129"><mml:math id="IEq1129_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1129_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1129.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1130"><mml:math id="IEq1130_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1130_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left. {T^{p} \left( { \equiv T \circ T^{p - 1} } \right) :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1130.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1131"><mml:math id="IEq1131_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1131_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1131.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1132"><mml:math id="IEq1132_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1132_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1132.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1133"><mml:math id="IEq1133_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1133_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1133.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1134"><mml:math id="IEq1134_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1134_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{p - 1} \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1134.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><em>If</em>
<span id="IEq1135"><mml:math id="IEq1135_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1135_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1135.gif"/></span>
<em>is closed,</em>
<span id="IEq1136"><mml:math id="IEq1136_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1136_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1136.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1137"><mml:math id="IEq1137_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1137_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } = \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1137.gif"/></span>
<em>then if</em>
<span id="IEq1138"><mml:math id="IEq1138_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1138_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1138.gif"/></span>
<em>for any</em>
<span id="IEq1139"><mml:math id="IEq1139_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1139_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1139.gif"/></span>
<em>then there is a limit cycle</em>
<span id="IEq1140"><mml:math id="IEq1140_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1140_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\bar{x}_{i} ,\,T\bar{x}_{i} ,\; \ldots ,T^{p - 1} \bar{x}_{i} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1140.gif"/></span>
<em>, to which the sequence</em>
<span id="IEq1141"><mml:math id="IEq1141_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1141_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1141.gif"/></span>
<em>converges, with</em>
<span id="IEq1142"><mml:math id="IEq1142_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1142_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} \bar{x}_{i} = \bar{x}_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1142.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1143"><mml:math id="IEq1143_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1143_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1143.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1144"><mml:math id="IEq1144_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1144_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i + j} = T^{j} \bar{x}_{i} \in A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1144.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1145"><mml:math id="IEq1145_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1145_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p},\forall j \in \overline{p - 1} \, \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1145.gif"/></span>
<em>being a fixed point of the composite self-mapping</em>
<span id="IEq1146"><mml:math id="IEq1146_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1146_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1146.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1147"><mml:math id="IEq1147_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1147_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1147.gif"/></span>
<em>, and also a quasi-best proximity point of</em>
<span id="IEq1148"><mml:math id="IEq1148_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1148_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1148.gif"/></span>
<em>. The subsequence</em>
<span id="IEq1149"><mml:math id="IEq1149_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1149_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1149.gif"/></span>
<em>in</em>
<span id="IEq1150"><mml:math id="IEq1150_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1150_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1150.gif"/></span>
<em>converges to</em>
<span id="IEq1151"><mml:math id="IEq1151_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1151_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{i + j} = T^{j} x_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1151.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1152"><mml:math id="IEq1152_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1152_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1152.gif"/></span>
<em>if</em>
<span id="IEq1153"><mml:math id="IEq1153_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1153_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1153.gif"/></span>
<em>for any given</em>
<span id="IEq1154"><mml:math id="IEq1154_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1154_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1154.gif"/></span>
. 
<em>Furthermore,</em></p></li></ul></p>
<p><section id="Equo"><mml:math display="block" id="Equo_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equo_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) = F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( \infty \right) = 1,\quad F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) > \,1 - \lambda \hfill \\ F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda ,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) = F_{{\bar{x}_{i + j} ,\bar{x}_{i + j + 1} }} = 1, \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equo.gif"/></section></p>
<p><em>for any given</em>
<span id="IEq1155"><mml:math id="IEq1155_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1155_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1155.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1156"><mml:math id="IEq1156_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1156_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {\;0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1156.gif"/></span>
<em>and some</em>
<span id="IEq1157"><mml:math id="IEq1157_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1157_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\,\lambda } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1157.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1158"><mml:math id="IEq1158_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1158_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1158.gif"/></span>
.</p>
<p><em>The following further properties hold if condition</em>
 (1) 
<em>is relaxed to</em>
<span id="IEq1159"><mml:math id="IEq1159_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1159_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\;A_{i + 1} } \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1159.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1160"><mml:math id="IEq1160_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1160_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1160.gif"/></span>
<em>and Conditions 2–4 still hold</em>
:
<ul><li><p><em>If</em>
<span id="IEq1161"><mml:math id="IEq1161_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1161_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1161.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1162"><mml:math id="IEq1162_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1162_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } \ne \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1162.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq1163"><mml:math id="IEq1163_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1163_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\} \subset \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1163.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1164"><mml:math id="IEq1164_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1164_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\} \subset A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1164.gif"/></span>
<em>are both Cauchy and</em>
<span id="IEq1165"><mml:math id="IEq1165_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1165_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1165.gif"/></span>
-
<em>Cauchy convergent sequences to a limit point</em>
<span id="IEq1166"><mml:math id="IEq1166_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1166_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in \bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {cl\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1166.gif"/></span>
, 
<em>with</em>
<span id="IEq1167"><mml:math id="IEq1167_Math"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1167_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$cl\,A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1167.gif"/></span>
<em>being the closure of</em>
<span id="IEq1168"><mml:math id="IEq1168_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1168_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1168.gif"/></span>
. 
<em>If</em>
<span id="IEq1169"><mml:math id="IEq1169_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1169_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1169.gif"/></span>
<em>are closed for</em>
<span id="IEq1170"><mml:math id="IEq1170_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1170_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1170.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq1171"><mml:math id="IEq1171_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1171_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = Tx = T^{p} x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1171.gif"/></span>
<em>, that is, it is a fixed point of the self-mappings</em>
<span id="IEq1172"><mml:math id="IEq1172_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1172_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1172.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1173"><mml:math id="IEq1173_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1173_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left. {T^{p} \left( { \equiv T \circ T^{p - 1} } \right) :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1173.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1174"><mml:math id="IEq1174_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1174_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1174.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1175"><mml:math id="IEq1175_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1175_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1175.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1176"><mml:math id="IEq1176_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1176_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1176.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1177"><mml:math id="IEq1177_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1177_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \overline{p - 1} \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1177.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><em>If</em>
<span id="IEq1178"><mml:math id="IEq1178_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1178_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1178.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1179"><mml:math id="IEq1179_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1179_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1179.gif"/></span>
<em>is closed</em>
<span id="IEq1180"><mml:math id="IEq1180_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1180_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1180.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq1181"><mml:math id="IEq1181_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1181_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } = \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1181.gif"/></span>
<em>then</em>
, 
<em>if</em>
<span id="IEq1182"><mml:math id="IEq1182_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1182_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1182.gif"/></span>
<em>for any</em>
<span id="IEq1183"><mml:math id="IEq1183_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1183_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1183.gif"/></span>
<em>, there is a limit cycle</em>
<span id="IEq1184"><mml:math id="IEq1184_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1184_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\bar{x}_{i} ,\,T\bar{x}_{i} , \ldots ,T^{p - 1} \bar{x}_{i} } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1184.gif"/></span>
, 
<em>to which the sequence</em>
<span id="IEq1185"><mml:math id="IEq1185_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1185_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1185.gif"/></span>
<em>converges, with</em>
<span id="IEq1186"><mml:math id="IEq1186_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1186_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} \bar{x}_{i} = \bar{x}_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1186.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1187"><mml:math id="IEq1187_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1187_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1187.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1188"><mml:math id="IEq1188_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1188_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i + j} = T^{j} \bar{x}_{i} \in A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1188.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1189"><mml:math id="IEq1189_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1189_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p},\forall j \in \overline{p - 1} \, \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1189.gif"/></span>
<em>being a fixed point of the composite self-mapping</em>
<span id="IEq1190"><mml:math id="IEq1190_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1190_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1190.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1191"><mml:math id="IEq1191_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1191_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1191.gif"/></span>
, 
<em>and being also a best proximity point of</em>
<span id="IEq1192"><mml:math id="IEq1192_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1192_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1192.gif"/></span>
<em>. The subsequence</em>
<span id="IEq1193"><mml:math id="IEq1193_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1193_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + j} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1193.gif"/></span>
 in 
<span id="IEq1194"><mml:math id="IEq1194_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1194_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1194.gif"/></span>
<em>converges to</em>
<span id="IEq1195"><mml:math id="IEq1195_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1195_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{i + j} = T^{j} x_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1195.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1196"><mml:math id="IEq1196_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1196_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1196.gif"/></span>
<em>if</em>
<span id="IEq1197"><mml:math id="IEq1197_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1197_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1197.gif"/></span>
<em>for some</em>
<span id="IEq1198"><mml:math id="IEq1198_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1198_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1198.gif"/></span>
. 
<em>Furthermore:</em></p></li></ul>
<section id="Equ49"><mml:math display="block" id="Equ49_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) = F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( \infty \right) = 1,\quad F_{{T^{np} x_{0} ,\,T^{{\left( {n + m} \right)p}} x_{0} }} \left( \varepsilon \right) > \,1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ49.gif"/></section>
<section id="Equ50"><mml:math display="block" id="Equ50_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda ,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) = F_{{\bar{x}_{i + j} ,\bar{x}_{i + j + 1} }} = 1$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ50.gif"/></section>
<em>for any given</em>
<span id="IEq1199"><mml:math id="IEq1199_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1199_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1199.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1200"><mml:math id="IEq1200_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1200_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,\;1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1200.gif"/></span>
<em>and some</em>
<span id="IEq1201"><mml:math id="IEq1201_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1201_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\,\lambda } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1201.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1202"><mml:math id="IEq1202_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1202_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1202.gif"/></span>
. □</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Since 
<span id="IEq1203"><mml:math id="IEq1203_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1203_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1203.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq1204"><mml:math id="IEq1204_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1204_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1204.gif"/></span>
-cyclic 
<span id="IEq1205"><mml:math id="IEq1205_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1205_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1205.gif"/></span>
-
<span id="IEq1206"><mml:math id="IEq1206_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1206_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1206.gif"/></span>
-type generalized contraction, 
<span id="IEq1207"><mml:math id="IEq1207_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1207_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1207.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1208"><mml:math id="IEq1208_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1208_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1208.gif"/></span>
, it is proved by complete induction as in Theorem 2.1 that 
<span id="IEq1209"><mml:math id="IEq1209_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1209_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1209.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1210"><mml:math id="IEq1210_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1210_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1210.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1211"><mml:math id="IEq1211_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1211_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1211.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq1212"><mml:math id="IEq1212_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1212_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1212.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1213"><mml:math id="IEq1213_Math"><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1213_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1213.gif"/></span>
 is strictly increasing in 
<span id="IEq1214"><mml:math id="IEq1214_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1214_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {D,\;\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1214.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq1215"><mml:math id="IEq1215_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1215_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( D \right) = \hat{D} \ge D > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1215.gif"/></span>
 and then there exists such that 
<span id="IEq1216"><mml:math id="IEq1216_Math"><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1216_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hbox{min} \left( {\,F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right),\;F_{{Tx_{0} ,T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right),\;F_{{x_{0} ,T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)} \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1216.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1217"><mml:math id="IEq1217_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1217_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1217.gif"/></span>
. Since the distance distribution function is non-decreasing and left-continuous and 
<span id="IEq1218"><mml:math id="IEq1218_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1218_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} > 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1218.gif"/></span>
,</p>
<p><section id="Equ51"><mml:math display="block" id="Equ51_Math"><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hbox{min} \left( {{\mkern 1mu} F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right),\;F_{{Tx_{0} ,T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right){\mkern 1mu} ,\;F_{{x_{0} ,T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)} \right) \ge \hbox{min} \left( {{\mkern 1mu} F_{{x_{0} ,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right),\;F_{{Tx_{0} ,T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right){\mkern 1mu} ,\;F_{{x_{0} ,T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)} \right) > 0$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ51.gif"/></section>
with 
<span id="IEq1219"><mml:math id="IEq1219_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1219_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t^{\prime } = K^{ - 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1219.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1220"><mml:math id="IEq1220_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1220_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1220.gif"/></span>
 and taking inverses in (
<a href="#Equ51"><sup>3.10</sup></a>
):</p>
<p><section id="Equ52"><mml:math display="block" id="Equ52_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0 \le \psi_{0} \left( {x_{0} ,Tx_{0} ,Tx_{0} ,T^{2} x_{0} ,\varphi \left( t \right)} \right) < + \infty ,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ52.gif"/></section></p></section>
<section><p>The cases a–c of the proof of Theorem 2.1 are re-addressed via the changes:
<section id="Equ53"><mml:math display="block" id="Equ53_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right) - 1} \right) \to \psi_{0}^{n} \left( {x_{0} {\mkern 1mu} ,Tx_{0} ,Tx_{0} ,{\mkern 1mu} T^{2} x_{0} ,\varphi {\mkern 1mu} \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ53.gif"/></section></p></section>
<section><p><section id="Equ54"><mml:math display="block" id="Equ54_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfenced close=")" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \psi_{0} \left( {T^{n - 1} x_{0} ,T^{n} x_{0} ,T^{n} x_{0} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} T^{n + 1} x_{0} {\mkern 1mu} ,\varphi \left( t \right)} \right) = \hbox{max} \left( {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n - 1} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right),} \right.\;\psi {\mkern 1mu} \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n - 1} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right), \hfill \\ \times \left. {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right),\;\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n - 1} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n + 1} x_{0} }} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right),\;\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n} x_{0} }} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right)} \right) \hfill \\ = \hbox{max} \left( {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n - 1} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right),} \right.\;\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right),\quad \left. {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n - 1} x_{0} ,\,T^{n + 1} x_{0} }} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1} \right)} \right), \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ54.gif"/></section></p></section>
<section><p><span id="IEq1221"><mml:math id="IEq1221_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1221_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1221.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1222"><mml:math id="IEq1222_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1222_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1222.gif"/></span>
, from (
<a href="#Equ43"><sup>3.2</sup></a>
), and also</p></section>
<section><p><section id="Equ55"><mml:math display="block" id="Equ55_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfenced close=")" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi_{0} \left( {x_{0} ,Tx_{0} ,T^{2} x_{0} ,\varphi \left( t \right)} \right) = \hbox{max} \left( {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{x_{0} ,{\kern 1pt} Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right),\quad \left. {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{Tx_{0} ,{\kern 1pt} T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right),\quad \psi \left( {\frac{1}{{F_{{x_{0} ,{\kern 1pt} T^{2} x_{0} }} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right)} \right)} \right.$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ55.gif"/></section>
since</p></section>
<section><p><section id="Equ56"><mml:math display="block" id="Equ56_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0pt"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n} x_{0} ,{\kern 1pt} T^{n} x_{0} }} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right) = \psi \left( {\frac{1}{{F_{{Tx_{0} ,{\kern 1pt} Tx_{0} }} \left( {2\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1} \right) = \psi \left( 0 \right) = 0,\quad \forall t \in {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ56.gif"/></section>
since 
<span id="IEq1223"><mml:math id="IEq1223_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1223_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{x,x} \left( t \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1223.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1224"><mml:math id="IEq1224_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1224_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1224.gif"/></span>
, since 
<span id="IEq1225"><mml:math id="IEq1225_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1225_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1225.gif"/></span>
 is a probabilistic metric space, and 
<span id="IEq1226"><mml:math id="IEq1226_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1226_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi :{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1226.gif"/></span>
 is nonzero, 
<span id="IEq1227"><mml:math id="IEq1227_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1227_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1227.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq1228"><mml:math id="IEq1228_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1228_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in X$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1228.gif"/></span>
 can be removed from the evaluation of the maximum in (
<a href="#Equ54"><sup>3.13</sup></a>
). Equations (
<a href="#Equ15"><sup>2.8a</sup></a>
)–(
<a href="#Equ16"><sup>2.8b</sup></a>
) are changed to:</p></section>
<section><p><section id="Equ57"><mml:math display="block" id="Equ57_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi {\mkern 1mu} \left( t \right)} \right) \le 1 + {\mkern 1mu} \psi_{0} \left( {T^{n - 1} x_{0} {\mkern 1mu} ,\;T^{n} x_{0} {\mkern 1mu} ,\;T^{n + 1} x_{0} ,\left( {\varphi \left( {K^{ - 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right) \hfill \\ \le 1 + {\mkern 1mu} \psi_{0}^{n} \left( {x_{0} {\mkern 1mu} ,\;Tx_{0} {\mkern 1mu} ,\;T^{2} x_{0} ,\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\quad \forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ57.gif"/></section>
using (
<a href="#Equ43"><sup>3.2</sup></a>
) with 
<span id="IEq1229"><mml:math id="IEq1229_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1229_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = T^{n - 1} x_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1229.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1230"><mml:math id="IEq1230_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1230_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y = Tx = T^{n} x_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1230.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1231"><mml:math id="IEq1231_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1231_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1231.gif"/></span>
, equivalently,</p></section>
<section><p><section id="Equ58"><mml:math display="block" id="Equ58_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.55542pt"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( t \right)} \right) \ge \frac{1}{{1 + {\mkern 1mu} \psi_{0}^{n} \left( {x_{0} {\mkern 1mu} ,\;Tx_{0} {\mkern 1mu} ,\;T^{2} x_{0} ,\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} D} \right)} \right)}},\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\quad \forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ58.gif"/></section></p></section>
<section><p>Since 
<span id="IEq1232"><mml:math id="IEq1232_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1232_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K^{ - 1} > 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1232.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1233"><mml:math id="IEq1233_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1233_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \varphi \left( t \right) = \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1233.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq1234"><mml:math id="IEq1234_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1234_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) = + \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1234.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1235"><mml:math id="IEq1235_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1235_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right) = + \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1235.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1236"><mml:math id="IEq1236_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1236_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1236.gif"/></span>
,
<span id="IEq1237"><mml:math id="IEq1237_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1237_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right)\, + \,D} \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1237.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1238"><mml:math id="IEq1238_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1238_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1238.gif"/></span>
. Thus, from (
<a href="#Equ56"><sup>3.15</sup></a>
),</p></section>
<section><p><section id="Equ59"><mml:math display="block" id="Equ59_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \psi_{0}^{n} \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\;T^{2} x_{0} ,\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) = 0,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ59.gif"/></section>
since</p></section>
<section><p><section id="Equ60"><mml:math display="block" id="Equ60_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) \to 1,\quad F_{{x_{0} ,\,T^{2} x_{0} }} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) \to 1,\quad F_{{T^{2} x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) \to 1$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ60.gif"/></section></p></section>
<section><p><section id="Equ61"><mml:math display="block" id="Equ61_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right) \to 0,\quad \psi^{n} \left( {F_{{x_{0} ,T^{2} x_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right) \to 0, \hfill \\ \psi^{n} \left( {F_{{T^{2} x_{0} ,Tx_{0} }}^{ - 1} \left( {\varphi \left( {K^{ - n + 1} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) - 1} \right) \to 0 \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ61.gif"/></section>
as 
<span id="IEq1239"><mml:math id="IEq1239_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1239_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1239.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1240"><mml:math id="IEq1240_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1240_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1240.gif"/></span>
, since 
<span id="IEq1241"><mml:math id="IEq1241_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1241_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{n} \left( {t_{n} } \right) \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1241.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq1242"><mml:math id="IEq1242_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1242_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {t_{n} } \right\} \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1242.gif"/></span>
. Since 
<span id="IEq1243"><mml:math id="IEq1243_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1243_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hat{D} = \varphi \left( {D^{ + } } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1243.gif"/></span>
, one has from Eqs. (
<a href="#Equ57"><sup>3.16a</sup></a>
) and (
<a href="#Equ58"><sup>3.16b</sup></a>
) that 
<span id="IEq1244"><mml:math id="IEq1244_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1244_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + t} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1244.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1245"><mml:math id="IEq1245_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1245_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1245.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq1246"><mml:math id="IEq1246_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1246_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{npj} x_{0} \in A_{i + j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1246.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1247"><mml:math id="IEq1247_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1247_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{npj + 1} x_{0} \in A_{i + j + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1247.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1248"><mml:math id="IEq1248_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1248_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1248.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq1249"><mml:math id="IEq1249_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1249_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1249.gif"/></span>
 for any given 
<span id="IEq1250"><mml:math id="IEq1250_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1250_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1250.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq1251"><mml:math id="IEq1251_Math"><mml:mrow><mml:mtext>diam</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1251_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{diam}}\left( {A_{i} } \right) > \hat{D} - D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1251.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1252"><mml:math id="IEq1252_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1252_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1252.gif"/></span>
. Then, for any given real constants 
<span id="IEq1253"><mml:math id="IEq1253_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1253_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1253.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1254"><mml:math id="IEq1254_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1254_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1254.gif"/></span>
, there is some 
<span id="IEq1255"><mml:math id="IEq1255_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1255_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1255.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq1256"><mml:math id="IEq1256_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1256_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{T^{npj} x_{0} ,\,T^{npj + 1} x_{0} }} \left( {\varphi \left( D \right) + \varepsilon } \right) > 1 - \lambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1256.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1257"><mml:math id="IEq1257_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1257_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \ge n_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1257.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1258"><mml:math id="IEq1258_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1258_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1258.gif"/></span>
 since the distance distribution function is non-decreasing and left-continuous. Thus, (2.10), for 
<span id="IEq1259"><mml:math id="IEq1259_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1259_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1259.gif"/></span>
, (
<a href="#Equ19"><sup>2.11</sup></a>
), for 
<span id="IEq1260"><mml:math id="IEq1260_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1260_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = \hat{D} = \varphi \left( 0 \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1260.gif"/></span>
, and (
<a href="#Equ20"><sup>2.12</sup></a>
), for 
<span id="IEq1261"><mml:math id="IEq1261_Math"><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1261_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ell \in \overline{k - 1} \cup \,\left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1261.gif"/></span>
, and (
<a href="#Equ21"><sup>2.13</sup></a>
 ) obtained in the proof of Theorem 2.1 also hold, for any 
<span id="IEq1262"><mml:math id="IEq1262_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1262_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varepsilon \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1262.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1263"><mml:math id="IEq1263_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1263_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \in \left( {0,1} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1263.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1264"><mml:math id="IEq1264_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1264_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1264.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1265"><mml:math id="IEq1265_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1265_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n\left( { \ge n_{0} } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1265.gif"/></span>
,
<span id="IEq1266"><mml:math id="IEq1266_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1266_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall m \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1266.gif"/></span>
 and some 
<span id="IEq1267"><mml:math id="IEq1267_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1267_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n_{0} = n_{0} \left( {\varepsilon ,\lambda } \right) \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1267.gif"/></span>
. Then, the 
<span id="IEq1268"><mml:math id="IEq1268_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1268_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1268.gif"/></span>
 sequences 
<span id="IEq1269"><mml:math id="IEq1269_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1269_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{np + i} x_{0} } \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1269.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1270"><mml:math id="IEq1270_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1270_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1270.gif"/></span>
 have a unique limit point in 
<span id="IEq1271"><mml:math id="IEq1271_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1271_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1271.gif"/></span>
 provided that such a set is nonempty and closed (otherwise, it is allocated in the intersection of the corresponding closures) and, from Assertion 1.1, they are both Cauchy and 
<span id="IEq1272"><mml:math id="IEq1272_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1272_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1272.gif"/></span>
-Cauchy sequences. The limit point is also proved to be a fixed point of 
<span id="IEq1273"><mml:math id="IEq1273_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1273_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1273.gif"/></span>
 and of 
<span id="IEq1274"><mml:math id="IEq1274_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1274_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left. {T^{p} :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{j} \to A_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1274.gif"/></span>
,
<span id="IEq1275"><mml:math id="IEq1275_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1275_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1275.gif"/></span>
. Hence, Property (2) has been proved. Property (3) is proved from the still valid formulas (
<a href="#Equ22"><sup>2.14</sup></a>
)–(
<a href="#Equ27"><sup>2.18</sup></a>
). Properties (4) and (5) follow from their still applicable counterparts of Corollary 2.1 for the cases when 
<span id="IEq1276"><mml:math id="IEq1276_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1276_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{{D\hat{D}}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1276.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1277"><mml:math id="IEq1277_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1277_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \ne \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1277.gif"/></span>
 and, respectively, 
<span id="IEq1278"><mml:math id="IEq1278_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1278_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{D}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1278.gif"/></span>
,
<span id="IEq1279"><mml:math id="IEq1279_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1279_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1279.gif"/></span>
 is closed,
<span id="IEq1280"><mml:math id="IEq1280_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1280_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1280.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1281"><mml:math id="IEq1281_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1281_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {\,A_{i} } = \,\emptyset$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1281.gif"/></span>
. □</p></section>
<section><h2>Theorem 3.2</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq1282"><mml:math id="IEq1282_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1282_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {X,F,\,\Delta } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1282.gif"/></span>
<em>a</em>
<span id="IEq1283"><mml:math id="IEq1283_Math"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1283_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1283.gif"/></span>
-
<em>complete PM-space and let</em>
<span id="IEq1284"><mml:math id="IEq1284_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1284_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1284.gif"/></span>
<em>be a</em>
<span id="IEq1285"><mml:math id="IEq1285_Math"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1285_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1285.gif"/></span>
-
<em>cyclic</em>
<span id="IEq1286"><mml:math id="IEq1286_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1286_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1286.gif"/></span>
-
<span id="IEq1287"><mml:math id="IEq1287_Math"><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1287_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1287.gif"/></span>
-
<em>type generalized contraction satisfying the following conditions:</em>
<ul><li><p><span id="IEq1288"><mml:math id="IEq1288_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1288_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = d\left( {A_{i} ,\;A_{i + 1} } \right) > 0,\quad \forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1288.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><span id="IEq1289"><mml:math id="IEq1289_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1289_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1289.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq1290"><mml:math id="IEq1290_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1290_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1290.gif"/></span>
-
<em>admissible</em>
,</p></li>
<li><p><em>there exists</em>
<span id="IEq1291"><mml:math id="IEq1291_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1291_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in \bigcup\nolimits_{{\,i \in \bar{p}}} {\,A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1291.gif"/></span>
<em>such that</em>
<span id="IEq1292"><mml:math id="IEq1292_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1292_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{0} ,\;Tx_{0} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1292.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1293"><mml:math id="IEq1293_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1293_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1293.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><em>if</em>
<span id="IEq1294"><mml:math id="IEq1294_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1294_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{n} } \right\}\left( { \subset X} \right) \to x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1294.gif"/></span>
<em>is a sequence generated as</em>
<span id="IEq1295"><mml:math id="IEq1295_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1295_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{n + 1} = Tx_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1295.gif"/></span>
, 
<em>such that</em>
<span id="IEq1296"><mml:math id="IEq1296_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1296_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;Tx_{n} ,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1296.gif"/></span>
,
<span id="IEq1297"><mml:math id="IEq1297_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1297_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1297.gif"/></span>
,
<span id="IEq1298"><mml:math id="IEq1298_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1298_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1298.gif"/></span>
<em>then</em>
<span id="IEq1299"><mml:math id="IEq1299_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1299_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x_{n} ,\;x,\,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1299.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1300"><mml:math id="IEq1300_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1300_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1300.gif"/></span>
,
<span id="IEq1301"><mml:math id="IEq1301_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1301_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1301.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><em>For all</em>
<span id="IEq1302"><mml:math id="IEq1302_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1302_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x,y \in \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {clA_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1302.gif"/></span>
, 
<em>there is</em>
<span id="IEq1303"><mml:math id="IEq1303_Math"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1303_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$z \in \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {clA_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1303.gif"/></span>
<em>such that</em>
<span id="IEq1304"><mml:math id="IEq1304_Math"><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1304_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hbox{min} \left( {\alpha \left( {x,T^{k} z,t} \right),\;\alpha \left( {y,T^{k} z,t} \right)} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1304.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1305"><mml:math id="IEq1305_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1305_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1305.gif"/></span>
<em>for some</em>
<span id="IEq1306"><mml:math id="IEq1306_Math"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1306_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k = k\left( {i,j} \right) \in \overline{p - 1} \, \cup \left\{ 0 \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1306.gif"/></span>
<em>if</em>
<span id="IEq1307"><mml:math id="IEq1307_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1307_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1307.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1308"><mml:math id="IEq1308_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1308_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y \in clA_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1308.gif"/></span>
<em>for any given</em>
<span id="IEq1309"><mml:math id="IEq1309_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1309_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i,j \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1309.gif"/></span>
.</p></li></ul></p></section>
<section><p>Then, there is 
<span id="IEq1310"><mml:math id="IEq1310_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1310_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1310.gif"/></span>
, such that 
<span id="IEq1311"><mml:math id="IEq1311_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1311_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}_{i} \in A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1311.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq1312"><mml:math id="IEq1312_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1312_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1312.gif"/></span>
 is closed, 
<span id="IEq1313"><mml:math id="IEq1313_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1313_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1313.gif"/></span>
, which is the unique best proximity point of 
<span id="IEq1314"><mml:math id="IEq1314_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1314_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1314.gif"/></span>
 and the unique fixed point of 
<span id="IEq1315"><mml:math id="IEq1315_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1315_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1315.gif"/></span>
,
<span id="IEq1316"><mml:math id="IEq1316_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1316_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1316.gif"/></span>
. If, in addition, 
<span id="IEq1317"><mml:math id="IEq1317_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">Φ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1317_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \in \varPhi_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1317.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq1318"><mml:math id="IEq1318_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1318_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1318.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1319"><mml:math id="IEq1319_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋂</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1319_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigcap\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1319.gif"/></span>
 is nonempty and closed then there is a unique fixed point of 
<span id="IEq1320"><mml:math id="IEq1320_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1320_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T :\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } \to \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1320.gif"/></span>
 and the composite self-mappings 
<span id="IEq1321"><mml:math id="IEq1321_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1321_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {A_{i} } } \right|A_{k} \to A_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1321.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1322"><mml:math id="IEq1322_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1322_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall k \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1322.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Let 
<span id="IEq1323"><mml:math id="IEq1323_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1323_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1323.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1324"><mml:math id="IEq1324_Math"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1324_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v \in clA_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1324.gif"/></span>
 be best proximity points for any given 
<span id="IEq1325"><mml:math id="IEq1325_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1325_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i,j \in \bar{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1325.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq1326"><mml:math id="IEq1326_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1326_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u = T^{np} u = T^{p} u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1326.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1327"><mml:math id="IEq1327_Math"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1327_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v = T^{np} v = T^{p} v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1327.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1328"><mml:math id="IEq1328_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1328_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall n \in {\mathbf{Z}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1328.gif"/></span>
 so that there is 
<span id="IEq1329"><mml:math id="IEq1329_Math"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1329_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$z \in \bigcup\nolimits_{{i \in \bar{p}}} {clA_{i} }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1329.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq1330"><mml:math id="IEq1330_Math"><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1330_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hbox{min} \left( {\alpha \left( {u,z,t} \right),\;\alpha \left( {v,z,t} \right)} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1330.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1331"><mml:math id="IEq1331_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1331_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1331.gif"/></span>
. Thus, note that 
<span id="IEq1332"><mml:math id="IEq1332_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∉</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1332_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{pn + k} z \notin clA_{i} \cup clA_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1332.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1333"><mml:math id="IEq1333_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∉</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1333_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{k + 1} z \notin A_{l}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1333.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq1334"><mml:math id="IEq1334_Math"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1334_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$z \in A_{l}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1334.gif"/></span>
 for any 
<span id="IEq1335"><mml:math id="IEq1335_Math"><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1335_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ell \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1335.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq1336"><mml:math id="IEq1336_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1336_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1336.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>Note that 
<span id="IEq1337"><mml:math id="IEq1337_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>k</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1337_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{np - 1} \left( {a_{np - 1} \left( k \right)} \right) \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1337.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1338"><mml:math id="IEq1338_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1338_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_{np - 1} \left( {t,k,u,z} \right) = \frac{1}{{F_{{u,\,T^{m} z}} \left( {\varphi \left( {K^{{ - \left( {np + k} \right)}} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right)}} - 1\, \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1338.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1339"><mml:math id="IEq1339_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1339_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1339.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq1340"><mml:math id="IEq1340_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1340_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1340.gif"/></span>
 which holds since 
<span id="IEq1341"><mml:math id="IEq1341_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1341_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{m} z}} \left( {\varphi \left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) \to 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1341.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1342"><mml:math id="IEq1342_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1342_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1342.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq1343"><mml:math id="IEq1343_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1343_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1343.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq1344"><mml:math id="IEq1344_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1344_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right) \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1344.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq1345"><mml:math id="IEq1345_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1345_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1345.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1346"><mml:math id="IEq1346_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1346_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1346.gif"/></span>
 and since 
<span id="IEq1347"><mml:math id="IEq1347_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1347_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1347.gif"/></span>
 from (
<a href="#Equ30"><sup>2.21</sup></a>
), from the properties 
<span id="IEq1348"><mml:math id="IEq1348_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1348_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1348.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq1349"><mml:math id="IEq1349_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1349_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t < D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1349.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1350"><mml:math id="IEq1350_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1350_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( D \right) \ge D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1350.gif"/></span>
, and 
<span id="IEq1351"><mml:math id="IEq1351_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1351_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1351.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq1352"><mml:math id="IEq1352_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1352_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1352.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq1353"><mml:math id="IEq1353_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1353_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \, :{\mathbf{R}}_{0 + } \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1353.gif"/></span>
 is strictly increasing in 
<span id="IEq1354"><mml:math id="IEq1354_Math"><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1354_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left[ { D,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1354.gif"/></span>
. As a result, 
<span id="IEq1355"><mml:math id="IEq1355_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1355_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{pn + m} z}} \left( t \right) = F_{{v,\,T^{pn + \ell } z}} \left( t \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1355.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1356"><mml:math id="IEq1356_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1356_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1356.gif"/></span>
. Let 
<span id="IEq1357"><mml:math id="IEq1357_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1357_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u,v \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1357.gif"/></span>
 be best proximity points for any given 
<span id="IEq1358"><mml:math id="IEq1358_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1358_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1358.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq1359"><mml:math id="IEq1359_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1359_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u = T^{p} u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1359.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1360"><mml:math id="IEq1360_Math"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1360_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v = T^{p} v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1360.gif"/></span>
. Then, one gets from (
<a href="#Equ62"><sup>3.19</sup></a>
) to (
<a href="#Equ63"><sup>3.20</sup></a>
) that, if 
<span id="IEq1361"><mml:math id="IEq1361_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1361_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {u,v,t} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1361.gif"/></span>
 for any 
<span id="IEq1362"><mml:math id="IEq1362_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1362_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1362.gif"/></span>
 then since and since 
<span id="IEq1363"><mml:math id="IEq1363_Math"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1363_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1363.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq1364"><mml:math id="IEq1364_Math"><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1364_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1364.gif"/></span>
-admissible and 
<span id="IEq1365"><mml:math id="IEq1365_Math"><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1365_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\hbox{min} \,\left( {\alpha \left( {x,T^{k} z,t} \right),\;\alpha \left( {y,T^{k} z,t} \right)} \right) \ge 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1365.gif"/></span>
,</p></section>
<section><p><section id="Equ62"><mml:math display="block" id="Equ62_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:munder><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{1}{{F_{{T^{np} u,\,T^{np} v}} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1 = \frac{1}{{F_{{T^{p} u,\,T^{p} v}} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}}\; - 1 = \frac{1}{{F_{u,\,v} \left( {\varphi \left( t \right)} \right)}} - 1 \hfill \\ \le \mathop {\sup }\limits_{{n \in Z_{0 + } }} \left[ {\alpha^{ - 1} \left( {u,T^{np + k} z,t} \right)} \right]\,\,\psi_{0}^{np - 1} \left( {u,T^{k} z,Tu,\,T^{k + 1} v,\varphi \left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } . \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ62.gif"/></section></p></section>
<section><p>Note also that</p></section>
<section><p><section id="Equ63"><mml:math display="block" id="Equ63_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="" separators=""><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathop {\lim \;\sup \;}\limits_{n \to \infty } \,\psi_{0}^{np - 1} \left( {u,z,Tu,\,T^{k} z,\varphi \left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) \hfill \\ = \hbox{max} \left[ {\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,z} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}}\; - 1} \right)\mathop {\lim \;\sup \;}\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,Tu} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right),\mathop {\,\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{z,\,Tz} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right),\;\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,Tz} \left( {2\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right),\;\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \,\psi \left( {\frac{1}{{F_{Tz,\,Tu} \left( {2\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right)} \right] \hfill \\ \le \hbox{max} \left[ {\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,z} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}}\; - 1} \right)\;\mathop {\lim \;\sup \;}\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,Tu} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}}\; - 1} \right),\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{z,\,Tz} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}}\; - 1} \right),\;\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,Tz} \left( {2\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right),\;\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \,\psi \left( {\frac{1}{{F_{Tz,\,Tu} \left( {2\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right)} \right] \hfill \\ \le \hbox{max} \left[ {\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,z} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right)\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{u,\,Tu} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right),\left. {\mathop {\lim \;\sup }\limits_{n \to \infty } \psi \left( {\frac{1}{{F_{z,\,Tz} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)}} - 1} \right)} \right]} \right] = \psi \left( 0 \right) = 0,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ63.gif"/></section>
where 
<span id="IEq1366"><mml:math id="IEq1366_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1366_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{n}^{\prime } = t_{n}^{\prime } \left( t \right) = K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1366.gif"/></span>
 since</p></section>
<section><p><section id="Equ64"><mml:math display="block" id="Equ64_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{u,\,Tz} \left( {2\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right) \ge \Delta_{M} \left( {F_{u,z} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right),\quad F_{Tz,z} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)} \right) \ge \hbox{min} \left( {F_{u,z} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right),\,F_{Tz,z} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ64.gif"/></section></p></section>
<section><p><section id="Equ65"><mml:math display="block" id="Equ65_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mtext>min</mml:mtext><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{Tu,\,Tz} \left( {2\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right) \ge \Delta_{M} \left( {F_{u,Tu} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right),\,F_{Tz,u} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)} \right) \ge \hbox{min} \left( {F_{u,Tu} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right),\,F_{Tz,u} \left( {\varphi \left( {t_{n}^{\prime } } \right)} \right)} \right)$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ65.gif"/></section>
and, in the same way,</p></section>
<section><p><section id="Equ66"><mml:math display="block" id="Equ66_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim \;\sup \;}\limits_{n \to \infty } \,\psi_{0}^{np - 1} \left( {v,z,Tv,\,T^{k} z,\varphi \left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) = 0,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ66.gif"/></section>
so that 
<span id="IEq1367"><mml:math id="IEq1367_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1367_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{n}^{\prime } \to + \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1367.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1368"><mml:math id="IEq1368_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1368_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1368.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1369"><mml:math id="IEq1369_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1369_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1369.gif"/></span>
.Then, it follows from (
<a href="#Equ62"><sup>3.19</sup></a>
) and (
<a href="#Equ63"><sup>3.20</sup></a>
) that</p></section>
<section><p><section id="Equ67"><mml:math display="block" id="Equ67_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{pn + k} z}} \left( t \right) = F_{{v,\,T^{pn + k} z}} \left( t \right) = 1,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ67.gif"/></section></p></section>
<section><p><section id="Equ68"><mml:math display="block" id="Equ68_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{pn + k} z}} \left( t \right) = F_{{v,\,T^{pn + k} z}} \left( t \right) = 0,\quad \forall t\left( { \le D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ68.gif"/></section>
since 
<span id="IEq1370"><mml:math id="IEq1370_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1370_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi^{np - 1} \left( {a_{np - 1} \left( {t,k,u,z} \right)} \right) \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1370.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1371"><mml:math id="IEq1371_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1371_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_{np - 1} \left( {t,k,u,z} \right) = \frac{1}{{F_{{u,\,T^{k} z}} \left( {\varphi \left( {K^{{ - \left( {np + k} \right)}} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right)}}\; - 1\, \to 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1371.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1372"><mml:math id="IEq1372_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1372_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1372.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq1373"><mml:math id="IEq1373_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1373_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in R_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1373.gif"/></span>
 which holds since 
<span id="IEq1374"><mml:math id="IEq1374_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1374_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{{u,\,T^{k} z}} \left( {\varphi \left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right)} \right) \to 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1374.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1375"><mml:math id="IEq1375_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1375_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1375.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq1376"><mml:math id="IEq1376_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1376_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1376.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq1377"><mml:math id="IEq1377_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1377_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {K^{ - np} \left( {t - D} \right) + D} \right) \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1377.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq1378"><mml:math id="IEq1378_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1378_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1378.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq1379"><mml:math id="IEq1379_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1379_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1379.gif"/></span>
 and since 
<span id="IEq1380"><mml:math id="IEq1380_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1380_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1380.gif"/></span>
 from (
<a href="#Equ30"><sup>2.21</sup></a>
), from the properties 
<span id="IEq1381"><mml:math id="IEq1381_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1381_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1381.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq1382"><mml:math id="IEq1382_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1382_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t < D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1382.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1383"><mml:math id="IEq1383_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>D</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1383_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( D \right) \ge D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1383.gif"/></span>
, and 
<span id="IEq1384"><mml:math id="IEq1384_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1384_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1384.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq1385"><mml:math id="IEq1385_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1385_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1385.gif"/></span>
 since 
<span id="IEq1386"><mml:math id="IEq1386_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1386_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \, :{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}_{0 + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1386.gif"/></span>
 is strictly increasing in 
<span id="IEq1387"><mml:math id="IEq1387_Math"><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq1387_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left[ { D,\infty } \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1387.gif"/></span>
. The same conclusion arises by replacing 
<span id="IEq1388"><mml:math id="IEq1388_Math"><mml:mi>u</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1388_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1388.gif"/></span>
 by 
<span id="IEq1389"><mml:math id="IEq1389_Math"><mml:mi>v</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq1389_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1389.gif"/></span>
. Thus, 
<span id="IEq1390"><mml:math id="IEq1390_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1390_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{u,\,v} \left( {\varphi \left( t \right)} \right) = F_{{T^{p} u,\,T^{p} v}} \left( {\varphi \left( t \right)} \right) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1390.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1391"><mml:math id="IEq1391_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1391_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t \in {\mathbf{R}}_{ + }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1391.gif"/></span>
 and then 
<span id="IEq1392"><mml:math id="IEq1392_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1392_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u = v$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1392.gif"/></span>
 is a unique fixed point of 
<span id="IEq1393"><mml:math id="IEq1393_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>⋃</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1393_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T^{p} :\left. {\bigcup\nolimits_{{j \in \bar{p}}} {A_{j} } } \right|A_{i} \to A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1393.gif"/></span>
 for any arbitrary given 
<span id="IEq1394"><mml:math id="IEq1394_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1394_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \in \bar{p}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1394.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1395"><mml:math id="IEq1395_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1395_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u \in clA_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1395.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1396"><mml:math id="IEq1396_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1396_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Tu \in clA_{i + 1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1396.gif"/></span>
 are unique adjacent best proximity points. If the intersection of the closures of the subsets 
<span id="IEq1397"><mml:math id="IEq1397_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1397_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A_{i}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1397.gif"/></span>
 is nonempty then the unique adjacent best proximity points coincide in a unique fixed point which follows in the same way as its counterpart in the proof of Theorem 2.2. □</p></section>
<section><h2>Example 3.1</h2>
<p>Example 2.1 is revisited under the constraint (
<a href="#Equ42"><sup>3.1</sup></a>
) subject to (
<a href="#Equ43"><sup>3.2</sup></a>
) with the same distance distribution function and identical 
<span id="IEq1398"><mml:math id="IEq1398_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1398_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \left( {x,y,t} \right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1398.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq1399"><mml:math id="IEq1399_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">φ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1399_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varphi \left( t \right) = \psi \left( t \right) = t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1399.gif"/></span>
 and making 
<span id="IEq1400"><mml:math id="IEq1400_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1400_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x \to x_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1400.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1401"><mml:math id="IEq1401_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1401_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y \to Tx_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1401.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1402"><mml:math id="IEq1402_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1402_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Ty \to Tx_{0}^{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1402.gif"/></span>
 for any arbitrary 
<span id="IEq1403"><mml:math id="IEq1403_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1403_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in {\mathbf{R}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1403.gif"/></span>
, we get 
<span id="IEq1404"><mml:math id="IEq1404_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1404_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{2n} = T^{2n} x_{0} } \right\} \to x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1404.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1405"><mml:math id="IEq1405_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1405_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {x_{2n + 1} = T^{2n + 1} x_{0} } \right\} \to - x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1405.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq1406"><mml:math id="IEq1406_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1406_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1406.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq1407"><mml:math id="IEq1407_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1407_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1407.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1408"><mml:math id="IEq1408_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1408_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x = - D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1408.gif"/></span>
 if 
<span id="IEq1409"><mml:math id="IEq1409_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1409_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{0} \in B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1409.gif"/></span>
, where
<section id="Equ69"><mml:math display="block" id="Equ69_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \psi _{0} \left( {x_{0} ,Tx_{0} ,Tx_{0} ,\,T^{2} x_{0} ,t} \right) = \max \left( {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{x_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( t \right)}}\; - 1} \right)\;} \right.,\psi \left( {\frac{1}{{F_{{Tx_{0} ,\,T^{2} x_{0} }} \left( t \right)}}\; - 1} \right), \hfill \\ \left. {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{x_{0} ,\,T^{2} x_{0} }} \left( {2t} \right)}}\; - 1} \right),\quad \psi \left( {\frac{1}{{F_{{Tx_{0} ,\,Tx_{0} }} \left( {2t} \right)}}\; - 1} \right)} \right),\quad \forall t\left( { > D} \right) \in R_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ69.gif"/></section>
<section id="Equ70"><mml:math display="block" id="Equ70_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \psi _{0} \left( {T^{n} x_{0} ,T^{{n + 1}} x_{0} ,T^{{n + 1}} x_{0} ,\,T^{{n + 2}} x_{0} ,t} \right) = \max \left( {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n} x_{0} ,\,T^{{n + 1}} x_{0} }} \left( t \right)}}\; - 1} \right)} \right.,\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{{n + 1}} x_{0} ,\,T^{{n + 2}} x_{0} }} \left( t \right)}}\; - 1} \right), \hfill \\ \left. {\psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{n} x_{0} ,\,T^{{n + 2}} x_{0} }} \left( {2t} \right)}}\; - 1} \right),\quad \psi \left( {\frac{1}{{F_{{T^{{n + 1}} x_{0} ,\,T^{{n + 1}} x_{0} }} \left( {2t} \right)}}\; - 1} \right)} \right),\quad \forall n \in {\mathbf{Z}}_{{0 + }} ,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ70.gif"/></section></p></section>
<section><p>Since 
<span id="IEq1410"><mml:math id="IEq1410_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1410_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n} x_{0} } \right\},\left\{ {T^{n + 2} x_{0} } \right\} \to \pm x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1410.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq1411"><mml:math id="IEq1411_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo>∓</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1411_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {T^{n + 1} x_{0} } \right\} \to \mp x$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1411.gif"/></span>
, 
<span id="IEq1412"><mml:math id="IEq1412_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1412_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \psi_{0} \left( {T^{n} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} ,T^{n + 1} x_{0} ,\,T^{n + 2} x_{0} ,t} \right) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1412.gif"/></span>
<span id="IEq1413"><mml:math id="IEq1413_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1413_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall t\left( { \in {\mathbf{R}}_{ + } } \right) > D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_IEq1413.gif"/></span>
, since</p></section>
<section><p><section id="Equ71"><mml:math display="block" id="Equ71_Math"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n} x_{0} ,\,T^{n + 1} x_{0} }} \left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n + 1} x_{0} ,\,T^{n + 2} x_{0} }} \left( t \right) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n + 1} x_{0} ,\,T^{n + 2} x_{0} }} \left( {t^{\prime } } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_{{T^{n + 1} x_{0} ,\,T^{n + 1} x_{0} }} \left( {t^{\prime } } \right) = 1,\quad \forall t\left( { > D} \right) \in {\mathbf{R}}_{ + } ,\quad \forall t^{\prime } \in {\mathbf{R}}_{ + } \hfill \\ \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2017_208_Article_Equ71.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Authors’ contributions</h2>
<p>Both authors contributed equally to all the parts of this manuscript.
</p></section></section><hr/><h2>Acknowledgements</h2>
<p>The first author is grateful to the Spanish Government for its support with Grant DPI2012-30651, and to the Basque Government for its support through Grant IT378-10.</p>
<hr/><h2>References</h2>
<ol><li>Schweizer and Sklar (1983) <em></em> North-Holland</li><li>Pap et al. (1996) <em>A fixed point theorem in probabilistic metric spaces and an application</em> (pp. 433-439) <a href="https://doi.org/10.1006/jmaa.1996.0325" target="_blank">10.1006/jmaa.1996.0325</a></li><li>Sehgal and Bharucha-Reid (1972) <em>Fixed points of contraction mappings on probabilistic metric spaces</em> 6(1) (pp. 97-102)</li><li>Schweizer and Sklar (1960) <em>Statistical metric spaces</em> (pp. 313-334) <a href="https://doi.org/10.2140/pjm.1960.10.313" target="_blank">10.2140/pjm.1960.10.313</a></li><li>Eldred and Veeramani (2006) <em>Existence and convergence of best proximity points</em> (pp. 1001-1006) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.10.081" target="_blank">10.1016/j.jmaa.2005.10.081</a></li><li>De la Sen (2010) <em>Linking contractive self-mappings and cyclic Meir-Keeler contractions with Kannan self-mappings</em> <a href="https://doi.org/10.1155/2010/572057" target="_blank">10.1155/2010/572057</a></li><li>Choudhury et al. (2011) <em>Fixed point theorem for mappings with cyclic contraction in Menger spaces</em> 4(1) (pp. 1-9)</li><li>Choudhury et al. (2012) <em>Cyclic contraction result in 2- Menger space</em> 2(1) (pp. 223-234)</li><li>Beg and Abbas (2005) <em>“Fixed point and best approximation in Menger convex metric spaces”, Archivum Mathematicum (BRNO)</em> (pp. 389-397)</li><li>Beg et al. (2001) <em>Coupled fixed points of mixed monotone operators on probabilistic Banach spaces</em> (pp. 1-8)</li><li>Mihet (2009) <em>Altering distances in probabilistic Menger spaces</em> (pp. 2734-2738) <a href="https://doi.org/10.1016/j.na.2009.01.107" target="_blank">10.1016/j.na.2009.01.107</a></li><li>Mihet (2004) <em>A Banach contraction theorem for fuzzy metric spaces</em> (pp. 431-439) <a href="https://doi.org/10.1016/S0165-0114(03)00305-1" target="_blank">10.1016/S0165-0114(03)00305-1</a></li><li>Sedghi et al. (2013) <em>Strong common coupled fixed point result in fuzzy metric spaces</em> (pp. 1-9)</li><li>Wairojjana et al. (2015) <em>An altering distance function in fuzzy metric fixed point theorems</em> <a href="https://doi.org/10.1186/s13663-015-0318-1" target="_blank">10.1186/s13663-015-0318-1</a></li><li>Choudhury and Das (2008) <em>A new contraction principle in Menger spaces</em> 24(8) (pp. 1379-1386) <a href="https://doi.org/10.1007/s10114-007-6509-x" target="_blank">10.1007/s10114-007-6509-x</a></li><li>Gopal et al. (2014) <em>Some new fixed point theorems in Menger PM-spaces with application to Volterra type integral equation</em> (pp. 955-967)</li><li>De la Sen et al. (2013) <em>“Non-expansive and potentially expansive properties of two modified p-cyclic self-maps in metric spaces</em> 14(4) (pp. 661-686)</li><li>De la Sen and Agarwal (2011) <em>Fixed point-type results for a class of extended cyclic self-mappings under three general weak contractive conditions of rational type</em> <a href="https://doi.org/10.1186/1687-1812-2011-102" target="_blank">10.1186/1687-1812-2011-102</a></li><li>De la Sen (2013) <em>On best proximity point theorems and fixed point theorems for p-cyclic hybrid self-mappings in Banach spaces</em> <a href="https://doi.org/10.1155/2013/1831747" target="_blank">10.1155/2013/1831747</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Suzuki (2006) <em>Some notes on Meir-Keeler contractions and L- functions</em> (pp. 12-13)</li><li>Di Bari et al. (2008) <em>Best proximity points for cyclic Meir-Keeler contractions</em> 69(11) (pp. 2790-3794)</li><li>Rezapour et al. (2011) <em>On the existence of best proximity points of cyclic contractions</em> 6(1) (pp. 33-40)</li><li>Derafshpour et al. (2010) <em>Best proximity points of cyclic φ-contractions on reflexive Banach spaces</em> (pp. 33-40)</li><li>Al-Thagafi and Shahzad (2009) <em>Convergence and existence results for best proximity points</em> 70(10) (pp. 3665-3671) <a href="https://doi.org/10.1016/j.na.2008.07.022" target="_blank">10.1016/j.na.2008.07.022</a></li><li>De la Sen (2010) <em>Stable iteration procedures in metric spaces which generalize a Picard-type iteration</em> <a href="https://doi.org/10.1155/2010/953091" target="_blank">10.1155/2010/953091</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Dutta et al. (2009) <em>Some fixed point results in Menger spaces using a control function</em> (pp. 41-52)</li><li>Chang et al. (2001) <em></em> Nova Science Publishers</li><li>De la Sen and Karapιnar (2015) <em>Some results on best proximity points of cyclic contractions in probabilistic metric spaces</em></li><li>Chen et al. (2012) <em>Common fixed point theorems for the stronger Meir-Keeler cone-type function in cone-ball metric spaces</em> 25(4) (pp. 692-697) <a href="https://doi.org/10.1016/j.aml.2011.09.047" target="_blank">10.1016/j.aml.2011.09.047</a></li><li>Chen (2012) <em>Common fixed point theorems in complete generalized metric spaces</em></li><li>Alotaibi et al. (2015) <em>Sequence spaces of fuzzy numbers defined by a Musielak-Orlicz function</em> 29(7) (pp. 1461-1468) <a href="https://doi.org/10.2298/FIL1507461A" target="_blank">10.2298/FIL1507461A</a></li><li>Wang (2015) <em>On φ-contractions in partially ordered fuzzy metric spaces</em> <a href="https://doi.org/10.1186/s13663-015-0485-0" target="_blank">10.1186/s13663-015-0485-0</a></li><li>Batool et al. (2016) <em>Generalized φ-weak contractive fuzzy mappings and related fixed point results on complete metric space</em> 21(4) (pp. 729-737)</li><li>Shen and Wang (2016) <em>A fixed point approach to the Ulam stability of fuzzy differential equations under generalized differentiability</em> 30(6) (pp. 3253-3260) <a href="https://doi.org/10.3233/IFS-152073" target="_blank">10.3233/IFS-152073</a></li><li>Alotaibi et al. (2015) <em>Some fixed point theorems for Meir-Keeler condensing operators with applications to integral equations</em> 22(4) (pp. 529-541)</li></ol>