<h1>A new numerical strategy for solving nonlinear singular Emden-Fowler delay differential models with variable order</h1>
			<ul class="item-list">
	        	        <li>
	            Hoda F. Ahmed	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Faculty of Science, Minia University, Minia, 61519, EG">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            Marina B. Melad	            	            <abbr title="This is the corresponding author for this article">*</abbr>
	            	            	                <a href="mailto:marina@sci.nvu.edu.eg" class="tiny-icon email-link mx-1" title="Email Marina B. Melad">
	                    Email
	                </a>
	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Faculty of Science, New-Valley University, El-Khargah, 72511, EG">
	                2	            </sup>
	            	        </li>
	        	    </ul>
	    	    <ol class="affiliations" aria-hidden="true">
	        <li>Department of Mathematics, Faculty of Science, Minia University, Minia, 61519, EG</li><li>Department of Mathematics, Faculty of Science, New-Valley University, El-Khargah, 72511, EG</li>	    </ol>
	    
<h2>Abstract</h2>
<p>The present study is related to the numerical solutions of new mathematical models based on the variable order Emden-Fowler delay differential equations. The shifted fractional Gegenbauer, 
<span id="IEq1"><mml:math id="IEq1_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(t),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq1.gif"/></span>
 operational matrices (OMs) of VO differentiation, in conjunction with the spectral collocation method are used to solve aforementioned models numerically. The VO operator of differentiation will be used in the Caputo sense. The proposed technique simplifies these models by reducing them to systems of algebraic equations that are easy to solve. To determine the effectiveness and accuracy of the sugested technique, the absolute errors and maximum absolute errors for four realistic models are studied and illustrated by several tables and graphs at different values of the VO and the SFG parameters; 
<span id="IEq2"><mml:math id="IEq2_Math"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq2.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq3"><mml:math id="IEq3_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq3.gif"/></span>
 Also numerical comparisons between the suggested technique with other numerical methods in the existing literature are held. The numerical results confirm that the suggested technique is accurate, computationally efficient and easy to implement.</p><hr/><section><h2>Introduction</h2>
<p>In recent years, many researchers have been interested in the study of initial value problems of some special second-order nonlinear singular ordinary differential equations (ODEs). One of these most important equations is the Emden-Fowler (EF) equation, which has a variety of applications in various fields. Robert Emden [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
] and Fowler [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
] have studied the EF equation in detail. The general mathematical model of EF is expressed as
<section id="Equ1"><mml:math display="block" id="Equ1_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>″</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y^{\prime \prime }(t)+\frac{r}{t}y^{\prime }(t)+\gamma g(t)f(y(t))=0,\quad r\ge 1, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ1.gif"/></section>
with the initial conditions (ICs)
<section id="Equ2"><mml:math display="block" id="Equ2_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(0)=\theta _{1},\quad y^{\prime }(0)=\theta _{2}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ2.gif"/></section>
where 
<em>g</em>
(
<em>t</em>
) and 
<em>f</em>
(
<em>y</em>
(
<em>t</em>
)) are functions of 
<em>t</em>
 and 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
), respectively, 
<span id="IEq4"><mml:math id="IEq4_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r, \gamma ,\theta _{1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq4.gif"/></span>
, and 
<span id="IEq5"><mml:math id="IEq5_Math"><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\theta _{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq5.gif"/></span>
 are constants. Solving differential equations with singularity behavior is a defy. In particular, the current EF equation problem, which involves a singularity at 
<span id="IEq6"><mml:math id="IEq6_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t=0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq6.gif"/></span>
, is crucial in practical applications. Analytically, solving this equation is difficult, so to solve this problem various numerical techniques were used [
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
, 
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
]. For 
<span id="IEq7"><mml:math id="IEq7_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g(t)=1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq7.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq8"><mml:math id="IEq8_Math"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\gamma =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq8.gif"/></span>
 Eq. (
<a href="#Equ1"><sup>1.1</sup></a>
) moderates to the Lane-Emden (LE) equation in its usual form. This equation has appeared in the work of Homer Lane and Robert Emden work. The inner construction of polytrophic stars, the gas cloud model, cluster galaxies, and radiative cooling are all represented by these models. No one can deny the usefulness and importance of these models, which have a wide range of applications in mathematical physics, astrophysics, and celestial mechanics such as isotropic continuous media, isothermal gas sphere models [
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
], dusty fluid models [
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
], oscillating magnetic systems [
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
], catalytic diffusion reactions [
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
], stellar structure models [
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
], electromagnetic theory [
<a href="#CR10"><sup>10</sup></a>
], gaseous star density [
<a href="#CR11"><sup>11</sup></a>
], and classical quantum mechanics [
<a href="#CR12"><sup>12</sup></a>
].</p>
<p>The nonlinear singular ODE (
<a href="#Equ1"><sup>1.1</sup></a>
) was first developed by Jonathan Homer Lane [
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
], a U.S. astrophysicist who was interested in estimating both the temperature and the density of mass on the surface and after 37 years was investigated in greater depth by Emden [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
]. This ODE in astrophysics is a dimensionless version of Poisson’s equation for a simple stellar model’s gravitational potential [
<a href="#CR14"><sup>14</sup></a>
]. Go back to [
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
] to get a sufficient explanation of deriving of the classic LE equation for modeling the thermal dynamics of a spherical cloud, which takes the following form:
<section id="Equ3"><mml:math display="block" id="Equ3_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>″</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y^{\prime \prime }(t)+\frac{2}{t}y^{\prime }(t)+y^{m}(t)=0,\quad t>0, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ3.gif"/></section>
with the ICs
<section id="Equ4"><mml:math display="block" id="Equ4_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(0)=1,\quad y^{\prime }(0)=0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ4.gif"/></section>
In quantum mechanics and astrophysics, the values of m physically lie in the interval [0,5]. In different literatures, the exact solutions of problem (
<a href="#Equ3"><sup>1.3</sup></a>
–
<a href="#Equ4"><sup>1.4</sup></a>
) have only been found at 
<span id="IEq9"><mml:math id="IEq9_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m = 0, 1, 5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq9.gif"/></span>
 [
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
], and for other values of m, several methods have been successfully used to approximate the solution of this problem [
<a href="#CR17"><sup>17</sup></a>
, 
<a href="#CR18"><sup>18</sup></a>
].</p>
<p>One of the most essential significant classes of the differential equations is the delay differential (DD) equations. Due to their contributions significantly to solve the real-life problems. These equations have numerous applications in many biological models, as well as scientific phenomena such as communication system models, dynamical population models, economic systems, engineering systems, and transport models, so they have attracted a lot of attention from the research community [
<a href="#CR19"><sup>19</sup></a>
, 
<a href="#CR20"><sup>20</sup></a>
], and various numerical/analytical techniques are introduced to solve them [
<a href="#CR21"><sup>21</sup></a>
, 
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
].</p>
<p>Fractional calculus is a new topic that appears as a generalization of integer calculus, in which the order will be non-integer (arbitrary). The dynamic behavior of various phenomena in engineering sciences, physics, and other disciplines of research can be explored more precisely using non-integer order differential equations. So, there are a growing number of applications of fractional-order calculus in different fields as e.g. Long electrical lines, electrochemical processes, dielectric polarization, colored noise, viscoelastic materials, chaos, control theory, and in many other areas. Recently, the VO differential equation in which the order is a function of space and/or time have been demonstrated their ability to accurately describe real world phenomena [
<a href="#CR23"><sup>23</sup></a>
]. In the VO model, the next state is influenced by all of its former states, not only upon its current state as in the case of integer-order derivatives. So, the VO derivative is more realistic and generalized than the standard and fractional ones. VO differential equations have gotten a lot of attention lately as a result of their suitability modeling a wide range of phenomena across many fields of science and engineering, such as anomalous diffusion [
<a href="#CR24"><sup>24</sup></a>
], viscoelastic mechanics [
<a href="#CR25"><sup>25</sup></a>
], control systems [
<a href="#CR26"><sup>26</sup></a>
], petroleum engineering [
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
], and many other branches of physics and engineering [
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
].</p>
<p>With this respect, the importance of the VO-EF-DDEs are quite clear, due to their massive applications in mathematical physics and engineering problems. For this significance, obtaining the numerical solutions of this type of equations are required since the exact solutions are usually not easy to claim, because of the kernel of the VO operators have a changing exponent. So, the main objective of the present work is to develop an efficient and accurate numerical technique for solving the following new classes of VO-EF-DDEs:
<ul><li><p>A class of variable order Emden-Fowler delay differential equations (VO-EF-DDEs) of the following form: 
<section id="Equ5"><mml:math display="block" id="Equ5_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}y(at+b)+\frac{\lambda }{t}y^{\prime }(ct+d)+g(t)y(et+f)=F(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ5.gif"/></section>
 with the ICs 
<section id="Equ6"><mml:math display="block" id="Equ6_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(0)=\gamma _{1}, \, y^{\prime }(0)=\gamma _{2}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ6.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq10"><mml:math id="IEq10_Math"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda \ge 1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq10.gif"/></span>
<span id="IEq11"><mml:math id="IEq11_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t),g(t),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq11.gif"/></span>
 and 
<em>F</em>
(
<em>t</em>
) are given functions, the parameters 
<span id="IEq12"><mml:math id="IEq12_Math"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b,c,d,e,f,\gamma _{1},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq12.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq13"><mml:math id="IEq13_Math"><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\gamma _{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq13.gif"/></span>
 are known constants also 
<span id="IEq14"><mml:math id="IEq14_Math"><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{t}^{\nu (t)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq14.gif"/></span>
 denotes the Caputo fractional derivative of variable order, 
<span id="IEq15"><mml:math id="IEq15_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1< \nu (t)\le 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq15.gif"/></span>
 and 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) is an unknown function. By taking 
<span id="IEq16"><mml:math id="IEq16_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g(t)=1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq16.gif"/></span>
 the EF model reduces to the Lane-Emden model. The description of problem (
<a href="#Equ5"><sup>1.5</sup></a>
) in the VO operator 
<span id="IEq17"><mml:math id="IEq17_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq17.gif"/></span>
 has many advantages one of them; it describes the behavior of the system and its properties in a more accurate manner. Also, it’s important to mention that the model (
<a href="#Equ5"><sup>1.5</sup></a>
–
<a href="#Equ6"><sup>1.6</sup></a>
) covers the classical and the constant fractional models when 
<span id="IEq18"><mml:math id="IEq18_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq18.gif"/></span>
 is constant.</p></li>
<li><p>A system of variable order Emden-Fowler delay of differential equations (VO-EF-DDEs) of the following form 
<section id="Equ7"><mml:math display="block" id="Equ7_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}y_{1}(at+b)+\frac{\lambda _{1}}{t}y_{1}^{\prime }(ct+d)+g_{1}(t)y_{1}(et+f)&=F_{1}(t),\\ D_{t}^{\nu (t)}y_{2}(at+b)+\frac{\lambda _{2}}{t}y_{2}^{\prime }(ct+d)+g_{2}(t)y_{2}(et+f)&=F_{2}(t), \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ7.gif"/></section>
 with the following ICs 
<section id="Equ8"><mml:math display="block" id="Equ8_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} y_{1}(0)&=\beta _{1}, \, y_{1}^{\prime }(0)=\beta _{2},\\ y_{2}(0)&=\beta _{3}, \, y_{2}^{\prime }(0)=\beta _{4}, \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ8.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq19"><mml:math id="IEq19_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda _{1},\lambda _{2} \ge 1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq19.gif"/></span>
<span id="IEq20"><mml:math id="IEq20_Math"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b,c,d,e,f,\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq20.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq21"><mml:math id="IEq21_Math"><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta _{4}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq21.gif"/></span>
 are known constants, the functions 
<span id="IEq22"><mml:math id="IEq22_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t),g_{1}(t),g_{2}(t),F_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq22.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq23"><mml:math id="IEq23_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq23.gif"/></span>
 are assumed to be known functions, and also 
<span id="IEq24"><mml:math id="IEq24_Math"><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{t}^{\nu (t)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq24.gif"/></span>
 is the Caputo fractional derivative of order 
<span id="IEq25"><mml:math id="IEq25_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1< \nu (x)\le 2.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq25.gif"/></span>
 By taking 
<span id="IEq26"><mml:math id="IEq26_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g_{1}(t)= g_{2}(t)=1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq26.gif"/></span>
 , the EF model reduces to the Lane-Emden model.</p></li></ul>
The suggested technique is based on the spectral collocation method with the OMs of variable/integer order differentiation of the SFGPs. To the best of our knowledge, the numerical treatments of VO-EF-DDEs and the system of VO-EF-DDEs have not been established by using SFGPs yet.</p>
<p>Spectral collocation methods are known to be one of the powerful numerical techniques for solving different kinds of differential equations due to their applicability in bounded and unbounded domains. The convergence speed is one of the major advantages of the spectral method. In general, spectral methods are promising candidates for solving fractional differential equations since their global nature fits well with the non-local definition of fractional operators [
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
, 
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
]. Spectral collocation methods have been widely used for solving problems with smooth solutions because of their efficiency, exponential rate of convergence, low computational cost, and high order of accuracy achieved using a minimal number of grid points. It is known that the accuracy of spectral methods increases with an increase in grid points but beyond a certain number of grid points, the accuracy rapidly deteriorates. Also, the limitation of spectral methods is that their accuracy deteriorates for complicated domains. OMs were restructured for solving numerous types of fractional differential equations (FDEs). The procedure of numerical methods in combining with OMs of some orthogonal polynomials for solving FDEs created extremely precise solutions for such equations. The essential step in the proposed technique is to represent the numerical solution of the problem as a finite sum using SFGPs as basis functions, then the OMs corresponding to VO/ integer order derivatives are derived. By using these OM in Eq. (
<a href="#Equ5"><sup>1.5</sup></a>
), and applying the collocation method which requires that the residual of VO-EF-DDEs is vanishing at 
<em>N</em>
 points that correspond to the Gauss quadrature nodes. When the obtained system of algebraic equations is completed with the initial conditions, 
<span id="IEq27"><mml:math id="IEq27_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq27.gif"/></span>
 algebraic equations are produced, which can be solved by utilizing any appropriate iterative technique.</p>
<p>The SFGPs have a number of characteristics that make them an ideal candidate for our suggested technique, like:
<ul><li><p>Due to the unique behavior of fractional differential and/or integral equations, the direct use of spectral methods using traditional orthogonal polynomials such as Legendre, Chebyshev, and Jacobi has low convergence rates. To remedy this difficulty, we employ SFGPs (see [
<a href="#CR31"><sup>31</sup></a>
]), in which the variable t in the SCPs is replaced by 
<span id="IEq28"><mml:math id="IEq28_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t^{\mu }, 0<\mu \le 1, t\in [0, L].$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq28.gif"/></span>
 One of the benefits of fractional-order polynomials is in dealing with problems with smooth solutions, where any choice of the fractional factor 
<span id="IEq29"><mml:math id="IEq29_Math"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq29.gif"/></span>
 yields a highly accurate approximate solution. The fractional-order polynomials can lessen the loss of the order of convergence of the non-smoothness problems by suitably chosen of the factor 
<em>μ</em>
.</p></li>
<li><p>For 
<span id="IEq30"><mml:math id="IEq30_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq30.gif"/></span>
 the SFGPS reduced to the SGPs. Numerous studies have shown that the Gegenbauer polynomials (GPs) are very effective in solving a wide range of issues [
<a href="#CR32"><sup>32</sup></a>
, 
<a href="#CR33"><sup>33</sup></a>
–
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
].</p></li>
<li><p>The parameter 
<span id="IEq31"><mml:math id="IEq31_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha >-0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq31.gif"/></span>
 distributes the Gegenbauer polynomials (GPs). Every time this parameter was altered, a new polynomial was formed. As a result, they involve a limitless number of orthogonal polynomials like the Chebyshev polynomials (CPs) of the first kind with the parameter 
<span id="IEq32"><mml:math id="IEq32_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq32.gif"/></span>
 the CPs of the second kind with the parameter 
<span id="IEq33"><mml:math id="IEq33_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq33.gif"/></span>
 and the shifted Legendre polynomials (LPs) with the parameter 
<span id="IEq34"><mml:math id="IEq34_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =\frac{1}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq34.gif"/></span>
. The same results are assumed for the SFGPs.</p></li></ul>
The main advantages of the proposed scheme are the low-cost computing, small CPU time, and the simple implementation. Also the present method has the ability to convert the given problem into a system of algebraic equations, which is easy to solve. Many numerical experiments are presented to measure the quality of the presented scheme. The obtained numerical results are compared with other methods in the existing literature.</p>
<p>The following is the contents of this paper: The preliminaries of VO-fractional calculus and SFGPs are presented in Sect. 
<a href="#Sec2"><sup>2</sup></a>
. The various types of shifted fractional Gegenbauer operational matrices (SFGOMs) are deduced in Sect. 
<a href="#Sec6"><sup>3</sup></a>
. In Sect. 
<a href="#Sec7"><sup>4</sup></a>
, the methodology of the proposed technique is explained. In Sect. 
<a href="#Sec8"><sup>5</sup></a>
, some applications of the proposed algorithm to some numerical problems are offered to demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm. At last, a conclusion is given in Sect. 
<a href="#Sec10"><sup>6</sup></a>
.</p></section>
<section><h2>Preliminaries and definitions</h2>
<section><h2>Variable-order fractional derivative definition [35]</h2>
<p>The Caputo fractional derivative of order 
<span id="IEq35"><mml:math id="IEq35_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq35.gif"/></span>
 for a continuously differentiable function 
<span id="IEq36"><mml:math id="IEq36_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y:[0,\infty ]\rightarrow R$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq36.gif"/></span>
 is defined as
<section id="Equ9"><mml:math display="block" id="Equ9_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}y(t)=\frac{1}{\Gamma {(m-\nu (t))}}\int _{0}^{t}(t-\xi )^{m-\nu (t)-1}y^{(m)}(\xi )d\xi {,} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ9.gif"/></section>
where 
<span id="IEq37"><mml:math id="IEq37_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq37.gif"/></span>
 is a positive continuous bounded function and 
<span id="IEq38"><mml:math id="IEq38_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m-1< \nu (t)\le m.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq38.gif"/></span></p>
<p>Because of the ICs for fractional differential equations with Caputo derivatives are the same as for integer order differential equations; the Caputo type definition is particularly useful in a wide range of applications. The results stated in definition (
<a href="#Equ9"><sup>2.1</sup></a>
) have the following characteristics:
<ul><li><p>Linearity property: 
<section id="Equ46"><mml:math display="block" id="Equ46_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>ℜ</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}\left( a f(t)+b g(t)\right) =a D_{t}^{\nu (t)}f(t)+b D_{t}^{\nu (t)}g(t),\quad a,b\in \Re . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ46.gif"/></section></p></li>
<li><p><span id="IEq39"><mml:math id="IEq39_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{t}^{\nu (t)} a=0,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq39.gif"/></span>
 a is constant.</p></li>
<li><p><span id="IEq40"><mml:math id="IEq40_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>where</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{t}^{\nu (t)}t^{k}=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\Gamma {(k+1)}}{\Gamma {(k+1-\nu (t))}}t^{k-\nu (t)},\quad \hbox {for} \, k\in N_{0}\, \hbox {and}\, k\ge m \hbox {,}\\ \\ 0,\quad \hbox {for} \, k\in N_{0} \, \hbox {and} \, k<m,\, \hbox {where} \, N_{0}=N\cup \{0\} \hbox {.} \end{array} \right.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq40.gif"/></span></p></li></ul></p></section>
<section><h2>Shifted fractional Gegenbauer polynomials and some of their properties</h2>
<section><h2>Gegenbauer polynomials</h2>
<p>The Gegenbauer polynomials 
<span id="IEq41"><mml:math id="IEq41_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{j}^{(\alpha )}(x),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq41.gif"/></span>
 of degree 
<span id="IEq42"><mml:math id="IEq42_Math"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$j\in Z^{+},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq42.gif"/></span>
 and associated with the parameter 
<span id="IEq43"><mml:math id="IEq43_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha >\frac{-1}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq43.gif"/></span>
 are a sequence of real polynomials in the finite domain 
<span id="IEq44"><mml:math id="IEq44_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[-1,1].$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq44.gif"/></span>
 They are a family of orthogonal polynomials which has many applications [
<a href="#CR32"><sup>32</sup></a>
].
<ul><li><p>A suitable standardization of the Gegenbauer polynomials 
<span id="IEq45"><mml:math id="IEq45_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{j}^{(\alpha )}(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq45.gif"/></span>
 of degree j and associated with the parameter 
<span id="IEq46"><mml:math id="IEq46_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha > \frac{-1}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq46.gif"/></span>
 dates back to Doha [
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
], where the Gegenbauer polynomials can be represented by 
<section id="Equ47"><mml:math display="block" id="Equ47_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C_{j}^{(\alpha )}(x)=\frac{j!\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }}{\Gamma {\left( j+\alpha +\frac{1}{2}\right) }}P_{j}^{\left( \alpha -\frac{1}{2}, \alpha -\frac{1}{2}\right) }(x),\quad j=0,1,2,\ldots , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ47.gif"/></section>
 or equivalently 
<section id="Equ48"><mml:math display="block" id="Equ48_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C_{j}^{(\alpha )}(1)=1,\quad j=0,1,2,\cdots , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ48.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq47"><mml:math id="IEq47_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{j}^{(\alpha -\frac{1}{2}, \alpha -\frac{1}{2})}(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq47.gif"/></span>
 is the Jacobi polynomial of degree j.</p></li>
<li><p>As a result of this standardized 
<span id="IEq48"><mml:math id="IEq48_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{j}^{(0)}(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq48.gif"/></span>
 becomes identical with the Chebyshev polynomials (CPs) of the first kind 
<span id="IEq49"><mml:math id="IEq49_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{j}(x).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq49.gif"/></span>
<span id="IEq50"><mml:math id="IEq50_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{j}^{(\frac{1}{2})}(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq50.gif"/></span>
 is the Legendre polynomials (LPs) 
<span id="IEq51"><mml:math id="IEq51_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$L_{j}(x).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq51.gif"/></span>
<span id="IEq52"><mml:math id="IEq52_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{j}^{(1)}(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq52.gif"/></span>
 is equal to 
<span id="IEq53"><mml:math id="IEq53_Math"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>U</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{1}{(j+1)}U_{j}(x),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq53.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq54"><mml:math id="IEq54_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>U</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$U_{j}(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq54.gif"/></span>
 is the CPs of the second type [
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
].</p></li>
<li><p>The analytical form of the GPs is given by, 
<section id="Equ10"><mml:math display="block" id="Equ10_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C_{j}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{j}(-1)^{j-k}\frac{j!\Gamma {(\alpha +\frac{1}{2})}\Gamma {(j+k+2\alpha )}}{\Gamma {(k+\alpha +\frac{1}{2})}\Gamma {(j+2\alpha )}(j-k)!k!}\left( \frac{x+1}{2}\right) ^{k}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ10.gif"/></section></p></li>
<li><p>The Gegenbauer polynomials can be generated using the following useful recurrence equation 
<section id="Equ11"><mml:math display="block" id="Equ11_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} (j+2\alpha )C_{j+1}^{(\alpha )}(x)=2(j+\alpha )xC_{j}^{(\alpha )}(x)-jC_{j-1}^{(\alpha )}(x),\quad j\ge 1. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ11.gif"/></section></p></li>
<li><p>The Gegenbauer polynomials satisfy the following orthogonality relation 
<section id="Equ49"><mml:math display="block" id="Equ49_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfenced close="〉" open="〈"><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left<C_{i}^{(\alpha )}(x),C_{j}^{(\alpha )}(x)\right>=\int _{-1}^{1}C_{i}^{(\alpha )}(x)C_{j}^{(\alpha )}(x)\omega ^{(\alpha )}(x)dx=\lambda _{j}^{(\alpha )}\delta _{i,j}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ49.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq55"><mml:math id="IEq55_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\omega ^{(\alpha )}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq55.gif"/></span>
 is the weight function, and it is an even function given by the relation 
<section id="Equ50"><mml:math display="block" id="Equ50_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \omega ^{(\alpha )}(x)=\left( 1-x^{2}\right) ^{\alpha -\frac{1}{2}}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ50.gif"/></section>
 and 
<section id="Equ51"><mml:math display="block" id="Equ51_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \lambda _{j}^{(\alpha )}=\Vert C_{j}^{(\alpha )}(x)\Vert ^{2}=\frac{2^{2\alpha -1}j!\Gamma ^{2}{\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }}{(j+\alpha )\Gamma {\left( j+2\alpha \right) }}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ51.gif"/></section>
 is the normalization factor, and 
<span id="IEq56"><mml:math id="IEq56_Math"><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\delta _{i,j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq56.gif"/></span>
 is the Kronecker delta function.</p></li>
<li><p>We denote the zeros of the Gegenbauer polynomials (Gegenbauer-Gauss nodes) 
<span id="IEq57"><mml:math id="IEq57_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{N+1}^{(\alpha )}(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq57.gif"/></span>
 by 
<span id="IEq58"><mml:math id="IEq58_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_{N,j}^{(\alpha )}, j=0,\cdots ,N.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq58.gif"/></span></p></li></ul></p></section>
<section><h2>Shifted Gegenbauer polynomials</h2>
<p><ul><li><p>For using Gegenbauer polynomials in the interval [0, 
<em>L</em>
],  the shifted Gegenbauer polynomials (SGPs) are formed by replacing the variable 
<em>x</em>
 with 
<span id="IEq59"><mml:math id="IEq59_Math"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$z=\frac{2x}{L}-1,\quad 0\le z\le L.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq59.gif"/></span>
 So, we can write SGPs as 
<section id="Equ52"><mml:math display="block" id="Equ52_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C_{S,j}^{(\alpha )}(z)=C_{j}^{(\alpha )}\left( \frac{2x}{L}-1\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ52.gif"/></section></p></li>
<li><p>The explicit analytical form of the SGPs is given as 
<section id="Equ12"><mml:math display="block" id="Equ12_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C_{S,j}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{j}(-1)^{j-k}\frac{j!\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( j+k+2\alpha \right) }}{\Gamma {\left( k+\alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( j+2\alpha \right) }(j-k)!k!L^{k}}z^{k}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ12.gif"/></section></p></li>
<li><p>These polynomials recover the shifted CPs of the first kind 
<span id="IEq60"><mml:math id="IEq60_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{S,j}(z)\equiv C_{S,j}^{(0)}(z),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq60.gif"/></span>
 the shifted LPs 
<span id="IEq61"><mml:math id="IEq61_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$L_{S,j}(z)\equiv C_{S,j}^{(\frac{1}{2})}(z),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq61.gif"/></span>
 and the shifted CPs of the second kind 
<span id="IEq62"><mml:math id="IEq62_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>U</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{S,j}^{(1)}(z)\equiv \frac{1}{j+1}U_{S,j}(z).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq62.gif"/></span></p></li>
<li><p>The orthogonal relation of SGPs is getting from 
<section id="Equ13"><mml:math display="block" id="Equ13_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfenced close="〉" open="〈"><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left<C_{S,i}^{(\alpha )}(z),C_{S,j}^{(\alpha )}(z)\right>=\int _{0}^{L}C_{S,i}^{(\alpha )}(z)C_{S,j}^{(\alpha )}(z)\omega _{S}^{(\alpha )}(z)dz=\lambda _{S,j}^{(\alpha )}\delta _{i,j}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ13.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq63"><mml:math id="IEq63_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\omega _{S}^{(\alpha )}(z)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq63.gif"/></span>
 is the weight function, it is an even function given by the relation 
<section id="Equ14"><mml:math display="block" id="Equ14_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>z</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \omega _{S}^{(\alpha )}(z)=\left( zL-z^{2}\right) ^{\alpha -\frac{1}{2}}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ14.gif"/></section>
 and 
<section id="Equ15"><mml:math display="block" id="Equ15_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \lambda _{S,j}^{(\alpha )}=\left( \frac{L}{2}\right) ^{2\alpha }\lambda _{j}^{(\alpha )}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ15.gif"/></section></p></li>
<li><p>We denote the zeros of the shifted Gegenbauer polynomial (shifted Gegenbauer-Gauss polynomial) 
<span id="IEq64"><mml:math id="IEq64_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{S,N+1}^{(\alpha )}(z)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq64.gif"/></span>
 by 
<span id="IEq65"><mml:math id="IEq65_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$z_{S,N,j}^{(\alpha )},j=0,\ldots ,N.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq65.gif"/></span>
<section id="Equ53"><mml:math display="block" id="Equ53_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} z_{S,N,j}^{(\alpha )}= \frac{L}{2}\left( x_{N,j}^{(\alpha )}+1\right) , j=0,\ldots ,N. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ53.gif"/></section></p></li>
<li><p>The 
<em>q</em>
-th derivative of 
<span id="IEq66"><mml:math id="IEq66_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{S,i}^{(\alpha )}(z),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq66.gif"/></span>
 is obtained by 
<section id="Equ16"><mml:math display="block" id="Equ16_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D^{q}C_{S,i}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{i-q}(-1)^{i-q-k}\frac{i!\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( k+i+2\alpha +q\right) }}{\Gamma {\left( k+\alpha +q+\frac{1}{2}\right) \Gamma {\left( i+2\alpha \right) }}(i-q-k)!k!L^{q+k}}z^{k}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ16.gif"/></section>
<section id="Equ54"><mml:math display="block" id="Equ54_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>5</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&DC_{S,i}^{(\alpha )}(0)=(-1)^{i-1}\frac{i!\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( i+2\alpha +1\right) }}{\Gamma {\left( \alpha +\frac{3}{2}\right) \Gamma {\left( i+2\alpha \right) }}(i-1)!L^{k+1}},\\&D^{2}C_{S,i}^{(\alpha )}(0)=(-1)^{i-2}\frac{i!\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( i+2\alpha +2\right) }}{\Gamma {\left( \alpha +\frac{5}{2}\right) \Gamma {\left( i+2\alpha \right) }}(i-2)!L^{k+2}}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ54.gif"/></section></p></li></ul></p></section>
<section><h2>Shifted fractional Gegenbauer polynomials</h2>
<p><ul><li><p>The SFGPs can be defined for 
<span id="IEq67"><mml:math id="IEq67_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\in [0,L]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq67.gif"/></span>
 by introducing the change of variable 
<span id="IEq68"><mml:math id="IEq68_Math"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$z=t^{\mu }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq68.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq69"><mml:math id="IEq69_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu >0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq69.gif"/></span>
 on SGPs. Let the SFGPs be denoted by 
<span id="IEq70"><mml:math id="IEq70_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{S,i}^{(\alpha ,\mu )}(t).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq70.gif"/></span></p></li>
<li><p>The explicit analytic form of SFGPs is given as 
<section id="Equ17"><mml:math display="block" id="Equ17_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(t)&=\sum _{k=0}^{j}(-1)^{j-k}\frac{j!\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( j+k+2\alpha \right) }}{\Gamma {\left( k+\alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {(j+2\alpha )}(j-k)!k!L^{k}}t^{\mu k},\\&=\sum _{k=0}^{j}\Omega _{j,k}t^{\mu k}. \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ17.gif"/></section></p></li>
<li><p>Also, the orthogonal relation of SFGPs 
<section id="Equ18"><mml:math display="block" id="Equ18_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \int _{0}^{L}C_{S,i}^{(\alpha ,\mu )}(t)C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(t)\omega _{S}^{(\alpha ,\mu )}(t)dt=\lambda _{S,j}^{(\alpha )}\delta _{i,j}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ18.gif"/></section>
 where 
<section id="Equ19"><mml:math display="block" id="Equ19_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \omega _{S}^{(\alpha ,\mu )}(t)=\mu t^{\mu \left( \alpha +\frac{1}{2}\right) -1}(1-t^{\mu })^{\alpha -\frac{1}{2}}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ19.gif"/></section>
 and 
<span id="IEq71"><mml:math id="IEq71_Math"><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda _{S,j}^{(\alpha )}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq71.gif"/></span>
 are defined by Eq. (
<a href="#Equ15"><sup>2.7</sup></a>
).</p></li>
<li><p>The SFGPs comprise unlimited number of orthogonal polynomials, among them the shifted fractional-order CPs of the first kind 
<span id="IEq72"><mml:math id="IEq72_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{S,j}^{(\mu )}(t)\equiv C_{S,j}^{(0,\mu )}(t),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq72.gif"/></span>
 the shifted fractional-order CPs of the second kind 
<span id="IEq73"><mml:math id="IEq73_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>U</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$U_{S,j}^{(\mu )}(t)\equiv (j+1)C_{S,j}^{(1,\mu )}(t),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq73.gif"/></span>
 and the shifted fractional-order LPs 
<span id="IEq74"><mml:math id="IEq74_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$L_{S,j}^{(\mu )}(t)\equiv C_{S,j}^{(\frac{1}{2},\mu )}(t).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq74.gif"/></span></p></li>
<li><p>We denote the zeros of the SFGPs (shifted fractional Gegenbauer-Gauss polynomial) 
<span id="IEq75"><mml:math id="IEq75_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{S,N+1}^{(\alpha ,\mu )}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq75.gif"/></span>
 by 
<span id="IEq76"><mml:math id="IEq76_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{S,N,j}^{(\mu )},j=0,\ldots ,N.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq76.gif"/></span>
<section id="Equ55"><mml:math display="block" id="Equ55_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mfrac></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} t_{S,N,j}^{(\mu )}=\left(\frac{t_{N,j}+1}{2}\right)^{\frac{1}{\mu }}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ55.gif"/></section>
 The fractional Gegenbauer-Gauss quadrature rule. Due to the property of the standard Gegenbauer-Gauss quadrature, it follows that for any 
<span id="IEq77"><mml:math id="IEq77_Math"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mfrac></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f((\frac{t+1}{2})^{\frac{1}{\mu }})\in P_{2N+1}(0,L)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq77.gif"/></span>
<section id="Equ56"><mml:math display="block" id="Equ56_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mfrac></mml:msup></mml:mfenced><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mi>ϖ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mfrac></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mi>ϖ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:msubsup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \int _{0}^{L}w_{S}^{(\alpha ,\mu )}(t)f(t)dt&=\left(\frac{L}{2}\right)^{2\alpha }\int _{-1}^{1}w^{(\alpha )}(t)f\left( \left(\frac{t+1}{2}\right)^{\frac{1}{\mu }}\right) dt, \\ &=\left(\frac{L}{2}\right)^{2\alpha }\sum _{j=0}^{N}\varpi _{N,j}^{(\alpha )}f\left( \left(\frac{t_{N,j}+1}{2}\right)^{\frac{1}{\mu }}\right) ,\\ &=\sum _{j=0}^{N}\varpi _{S,N,j}^{(\alpha ,\mu )}f\left( t_{S,N,j}^{(\mu )}\right) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ56.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq78"><mml:math id="IEq78_Math"><mml:msubsup><mml:mi>ϖ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varpi _{S,N,j}^{(\alpha ,\mu )}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq78.gif"/></span>
 are the Christoffel numbers of the SFGPs that are given by 
<section id="Equ57"><mml:math display="block" id="Equ57_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ϖ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>ϖ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varpi _{S,N,j}^{(\alpha ,\mu )}=\left(\frac{L}{2}\right)^{2\alpha } \varpi _{N,j}^{(\alpha )},j=0,\ldots ,N. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ57.gif"/></section></p></li>
<li><p>The square integrable function 
<span id="IEq79"><mml:math id="IEq79_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(t)\in [0,L]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq79.gif"/></span>
 can be approximated by SFGPs as 
<section id="Equ58"><mml:math display="block" id="Equ58_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(t)=\sum _{j=0}^{\infty }\tilde{y}_{S,j}C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ58.gif"/></section>
 where the coefficients 
<span id="IEq80"><mml:math id="IEq80_Math"><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tilde{y}_{S,j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq80.gif"/></span>
 are computed by 
<section id="Equ20"><mml:math display="block" id="Equ20_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \tilde{y}_{S,j}=(\lambda _{S,j}^{(\alpha ,\mu )})^{-1}\int _{0}^{L}y(t)\omega _{S}^{(\alpha ,\mu )}(t)C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(t)dt,\quad j=0,1,\cdots {.} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ20.gif"/></section>
 If we approximate 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) by the first (N+1)-terms as follows 
<section id="Equ21"><mml:math display="block" id="Equ21_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(t)=\sum _{j=0}^{N}\tilde{y}_{S,j}C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(t). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ21.gif"/></section>
 The approximation of the function 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) can be written in the vector form as 
<section id="Equ22"><mml:math display="block" id="Equ22_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(t)=Y^{T}\Phi _{\mu }(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ22.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq81"><mml:math id="IEq81_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Y^{T}=[Y_{0},Y_{1},...,Y_{N}]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq81.gif"/></span>
 is the shifted fractional Gegenbauer (SFG) coefficient vector, and 
<section id="Equ23"><mml:math display="block" id="Equ23_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Phi _{\mu }(t)=\left[ C_{S,0}^{(\alpha ,\mu )}(t),C_{S,1}^{(\alpha ,\mu )}(t),\ldots ,C_{S,N}^{(\alpha ,\mu )}(t)\right] ^{T}=AT_{N,\mu }(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ23.gif"/></section>
 is the SFG vector and 
<em>A</em>
 is a lower triangular matrix of order 
<span id="IEq82"><mml:math id="IEq82_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)\times (N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq82.gif"/></span>
<section id="Equ24"><mml:math display="block" id="Equ24_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} A =\left( \begin{array}{ccccc} \tilde{a}_{S,0,0}^{(\alpha )} &{}\quad 0 &{}\quad \cdots &{}\quad 0\\ \tilde{a}_{S,1,0}^{(\alpha )} &{}\quad \tilde{a}_{S,1,1}^{(\alpha )} &{}\quad \cdots &{}\quad 0 \\ \vdots &{}\quad \vdots &{}\quad \ddots &{}\quad \vdots \\ \tilde{a}_{S,N,0}^{(\alpha )} &{}\quad \tilde{a}_{S,N,1}^{(\alpha )} &{}\quad \cdots &{}\quad \tilde{a}_{S,N,N}^{(\alpha )} \\ \end{array} \right) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ24.gif"/></section>
 where 
<section id="Equ59"><mml:math display="block" id="Equ59_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \tilde{a}_{S,j,k}^{(\alpha )}=(-1)^{j-k}\frac{j!\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( j+k+2\alpha \right) }}{\Gamma {\left( k+\alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {(j+2\alpha )}(j-k)!k!L^{k}}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ59.gif"/></section>
 and 
<section id="Equ60"><mml:math display="block" id="Equ60_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} T_{N,\mu }(t)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ t^{\mu } \\ t^{2\mu } \\ \vdots \\ t^{N\mu } \\ \end{array} \right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ60.gif"/></section></p></li></ul></p></section></section>
<section><h2>Error estimation and convergence</h2>
<section><p>Let 
<span id="IEq83"><mml:math id="IEq83_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>Span</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {C}_{S,N}^{(\alpha ,\mu )}=\hbox {Span}\{C_{S,0}^{(\alpha ,\mu )}(t),C_{S,1}^{(\alpha ,\mu )}(t),\cdots ,C_{S,N}^{(\alpha ,\mu )}(t)\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq83.gif"/></span>
 and 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) be an arbitrary element in 
<span id="IEq84"><mml:math id="IEq84_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$L_{\omega _{S}^{(\alpha ,\mu )}}^{2}[0,L].$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq84.gif"/></span>
 Since 
<span id="IEq85"><mml:math id="IEq85_Math"><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {C}_{S,N}^{(\alpha ,\mu )}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq85.gif"/></span>
 is a finite dimensional vector space, 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) has the unique best approximation out of 
<span id="IEq86"><mml:math id="IEq86_Math"><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><tex-math id="IEq86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {C}_{S,N}^{(\alpha ,\mu )}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq86.gif"/></span>
 like 
<span id="IEq87"><mml:math id="IEq87_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N}(t)\in \mathbf {C}_{S,N}^{(\alpha ,\mu )},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq87.gif"/></span>
 such that
<section id="Equ61"><mml:math display="block" id="Equ61_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \forall g(t)\in \mathbf {C}_{S,N}^{(\alpha ,\mu )},\quad \Vert y(t)-y_{N}(t)\Vert _{2}\le \Vert y(t)-g(t)\Vert _{2}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ61.gif"/></section>
where 
<span id="IEq88"><mml:math id="IEq88_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Vert y(t)\Vert =\sqrt{<y(t),y(t)>}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq88.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Theorem 2.1</h2>
<p><em>Suppose that the function</em>
<span id="IEq89"><mml:math id="IEq89_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq89_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D^{k\mu }y(t)\in C[0,1]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq89.gif"/></span>
, 
<em>for</em>
<span id="IEq90"><mml:math id="IEq90_Math"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq90_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k=0,1,\ldots ,N-1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq90.gif"/></span>
<span id="IEq91"><mml:math id="IEq91_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq91_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${Re(\mu )> 0,}\quad {\alpha >\frac{-1}{2},}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq91.gif"/></span>
    
<span id="IEq92"><mml:math id="IEq92_Math"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>5</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq92_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${Re(\alpha +2N+\frac{5}{2})\mu >0.}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq92.gif"/></span>
<em>If</em>
<span id="IEq93"><mml:math id="IEq93_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq93_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq93.gif"/></span>
<em>is the best approximation to</em>
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) from 
<span id="IEq94"><mml:math id="IEq94_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq94_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {C}_{S,N}^{(\alpha ,\mu )},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq94.gif"/></span>
<em>then the error bound is presented as</em>
<section id="Equ25"><mml:math display="block" id="Equ25_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>5</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:msqrt><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Vert y(t)-y_{N}(t)\Vert _{2}\le \frac{H_{\mu }}{\Gamma {\left( (N+1)\mu +1\right) }}\sqrt{\frac{\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {\left( \alpha +2N+\frac{5}{2}\right) }}{\Gamma {\left( 2\alpha +2N+3\right) }}}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ25.gif"/></section>
<em>where</em>
<span id="IEq95"><mml:math id="IEq95_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq95_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Vert D^{(N+1)\mu }y(t)\Vert \le H_{\mu }, t\in [0,1].$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq95.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Consider the generalized Taylor formula [
<a href="#CR36"><sup>36</sup></a>
]
<section id="Equ62"><mml:math display="block" id="Equ62_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(t)=\sum _{i=0}^{N}\frac{t^{i\mu }}{\Gamma {(i\mu +1)}}D^{i\mu }y(0)+\frac{D^{(N+1)\mu }y(\xi )}{\Gamma {((N+1)\mu +1)}}t^{(N+1)\mu }, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ62.gif"/></section>
with 
<span id="IEq96"><mml:math id="IEq96_Math"><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq96_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\xi \in [0,t], \forall t\in [0,1].$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq96.gif"/></span>
 Let
<section id="Equ63"><mml:math display="block" id="Equ63_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{N}(t)=\sum _{i=0}^{N}\frac{t^{i\mu }}{\Gamma {(i\mu +1)}}D^{i\mu }y(0). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ63.gif"/></section>
Then,
<section id="Equ64"><mml:math display="block" id="Equ64_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |y(t)-P_{N}(t)|=|\frac{D^{(N+1)\mu }y(\xi )}{\Gamma {((N+1)\mu +1)}}t^{(N+1)\mu }|. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ64.gif"/></section>
Since 
<span id="IEq97"><mml:math id="IEq97_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq97_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq97.gif"/></span>
 is the best square approximation function of 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
),  then
<section id="Equ65"><mml:math display="block" id="Equ65_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>5</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} \bigg \Vert y(t)-y_{N}(t)\bigg \Vert _{2}^{2}&\le \bigg \Vert y(t)-P_{N}(t)\bigg \Vert _{2}^{2},\\&=\int _{0}^{1}\omega _{S}^{(\alpha ,\mu )}(t)(y(t)-p_{N}(t))^{2}dt,\\&=\int _{0}^{1}\omega _{S}^{(\alpha ,\mu )}(t)\bigg (\frac{D^{(N+1)\mu }y(\xi )}{\Gamma {((N+1)\mu +1)}}t^{(N+1)\mu }\bigg )^{2}dt,\\&=\frac{\left( D^{(N+1)\mu }y(\xi )\right) ^{2}}{\Gamma ^{2}{\left( (N+1)\mu +1\right) }}\int _{0}^{1}\mu t^{\mu \left( \alpha +\frac{1}{2}\right) -1}\left( 1-t^{\mu }\right) ^{\alpha -\frac{1}{2}}t^{2(N+1)\mu }dt,\\&\le \frac{H_{\mu }^{2}}{\Gamma ^{2}{\left( (N+1)\mu +1\right) }}\frac{\Gamma {\left( \alpha +\frac{1}{2}\right) }\Gamma {(\alpha +2N+\frac{5}{2})}}{\Gamma {(2\alpha +2N+3)}}.\\ \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ65.gif"/></section>
By taking the square roots, the proof is completed. 
<span id="IEq98"><mml:math id="IEq98_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq98_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq98.gif"/></span></p></section></section></section>
<section><h2>SFGOMs of VO fractional differentiation</h2>
<section><h2>Theorem 3.1</h2>
<p><em>The first order derivative of the SFG vector</em>
<span id="IEq99"><mml:math id="IEq99_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq99_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Phi _{\mu }(at+b)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq99.gif"/></span>
<em>is approximated as</em>
<section id="Equ26"><mml:math display="block" id="Equ26_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\Phi _{\mu }(at+b)\simeq \Psi \Phi _{1}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ26.gif"/></section>
<em>where the OM</em>
<span id="IEq100"><mml:math id="IEq100_Math"><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq100.gif"/></span>
<em>is a square matrix of order</em>
<span id="IEq101"><mml:math id="IEq101_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)\times (N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq101.gif"/></span>
<em>that takes the following form</em>
,
<section id="Equ66"><mml:math display="block" id="Equ66_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Psi \simeq A \Upsilon _{N} \Theta _{N} A^{-1}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ66.gif"/></section>
<em>where</em>
<em>A</em>
<em>is defined in</em>
 (
<a href="#Equ24"><sup>2.16</sup></a>
), 
<span id="IEq102"><mml:math id="IEq102_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Upsilon _{N}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq102.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq103"><mml:math id="IEq103_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Theta _{N}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq103.gif"/></span>
<em>are</em>
<span id="IEq104"><mml:math id="IEq104_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)\times (N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq104.gif"/></span>
<em>matrices, and their elements</em>
<span id="IEq105"><mml:math id="IEq105_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\upsilon _{ij},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq105.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq106"><mml:math id="IEq106_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\theta _{ij}, 0\le i,j \le N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq106.gif"/></span>
<em>are given, respectively, as follows</em>
<section id="Equ67"><mml:math display="block" id="Equ67_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\upsilon _{ij}=\left( {\begin{array}{c}\mu i\\ j\end{array}}\right) a^{j}b^{\mu i-j},\quad i,j=0,1,\ldots ,N,\\&\theta _{ij}=\left\{ \begin{array}{ll} j+1, \hbox {for} \quad i=j+1,\quad j=0,1, \ldots ,N \hbox {,} \\ \\ 0,\quad o.w. &{} \hbox {.} \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ67.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>From Eq. (
<a href="#Equ23"><sup>2.15</sup></a>
), we can write
<section id="Equ27"><mml:math display="block" id="Equ27_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mi>A</mml:mi><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\Phi _{\mu }(at+b)&= {} \frac{d}{dt}\bigg [C_{S,0}^{(\alpha ,\mu )}(at+b),C_{S,1}^{(\alpha ,\mu )}(at+b),\ldots ,C_{S,N}^{(\alpha ,\mu )}(at+b)\bigg ]^{T} \\ &=\frac{d}{dt}(AT_{N,\mu }(at+b)),\nonumber \\&= {} A\frac{d}{dt}T_{N,\mu }(at+b). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ27.gif"/></section>
Since
<section id="Equ28"><mml:math display="block" id="Equ28_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}T_{N,\mu }(at+b)=\frac{d}{dt}\left( \begin{array}{c} 1 \\ (at+b)^{\mu } \\ (at+b)^{2\mu } \\ \vdots \\ (at+b)^{N\mu } \\ \end{array} \right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ28.gif"/></section>
By using Newton’s generalized binomial theorem, we can write
<section id="Equ29"><mml:math display="block" id="Equ29_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:munderover><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} {(at+b)^{i \mu }}&{=\sum _{k=0}^{\infty } \left( {\begin{array}{c}\mu i\\ k\end{array}}\right) a^{k}b^{\mu i-k} t^{k},}\\&{=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(i \mu )(i \mu -1)\cdots (i \mu -k+1)}{k!}a^{k}b^{\mu i-k} t^{k},\quad i=0,1,\ldots ,N,} \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ29.gif"/></section>
this series converges for 
<span id="IEq107"><mml:math id="IEq107_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq107_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \mu \in Z^{+}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq107.gif"/></span>
 or 
<span id="IEq108"><mml:math id="IEq108_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">at</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq108_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|\frac{at}{b}|<1.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq108.gif"/></span>
<span id="IEq109"><mml:math id="IEq109_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq109_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq109.gif"/></span></p></section>
<section><p>By approximating the series (
<a href="#Equ29"><sup>3.4</sup></a>
) by using the first (N+1) terms, the relation (
<a href="#Equ28"><sup>3.3</sup></a>
) can be written as
<section id="Equ30"><mml:math display="block" id="Equ30_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>N</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}T_{N,\mu }(at+b)=\frac{d}{dt}\left( \begin{array}{c} 1 \\ (at+b)^{\mu } \\ (at+b)^{2\mu } \\ \vdots \\ (at+b)^{N\mu } \\ \end{array} \right) =\Upsilon _{N,\mu }\frac{d}{dt}\left( \begin{array}{c} 1 \\ t \\ t^{2} \\ \vdots \\ t^{N} \\ \end{array} \right) \simeq \Upsilon _{N,\mu }\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2t \\ \vdots \\ N t^{N-1} \end{array}\right) \simeq \Upsilon _{N,\mu } \Theta _{N}T_{N,1}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ30.gif"/></section>
where 
<span id="IEq110"><mml:math id="IEq110_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq110_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Upsilon _{N,\mu }, \Theta _{N}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq110.gif"/></span>
 are 
<span id="IEq111"><mml:math id="IEq111_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq111_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)\times (N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq111.gif"/></span>
 matrices, and their elements have the following forms, respectively,
<section id="Equ68"><mml:math display="block" id="Equ68_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\upsilon _{ij}=\left( {\begin{array}{c}\mu i\\ j\end{array}}\right) a^{j}b^{\mu i-j},\quad i,j=0,1,\ldots ,N,\\&\theta _{ij}=\left\{ \begin{array}{ll} j+1,for \quad i=j+1,\quad j=0,1,\ldots ,N \hbox {,} \\ \\ 0,\quad o.w. &{} \hbox {.} \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ68.gif"/></section>
By substituting Eq. (
<a href="#Equ30"><sup>3.5</sup></a>
) into Eq. (
<a href="#Equ27"><sup>3.2</sup></a>
), the following relation is obtained
<section id="Equ69"><mml:math display="block" id="Equ69_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\Phi _{\mu }(at+b)\simeq A\Upsilon _{N,\mu } \Theta _{N}T_{N,1}(t). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ69.gif"/></section>
Since 
<em>A</em>
 is invertible, then
<section id="Equ31"><mml:math display="block" id="Equ31_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\Phi _{\mu }(at+b)\simeq A\Upsilon _{N,\mu } \Theta _{N}A^{-1}\Phi _{1}(t)\simeq \Psi \Phi _{1}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ31.gif"/></section>
where 
<span id="IEq112"><mml:math id="IEq112_Math"><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq112_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Psi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq112.gif"/></span>
 is a square matrix, and this finishes the proof.</p></section>
<section><h2>Theorem 3.2</h2>
<p><em>The VO Caputo fractional derivative of the SFG vector</em>
<span id="IEq113"><mml:math id="IEq113_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq113_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Phi _{\mu }(at+b)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq113.gif"/></span>
<em>can be approximated as</em>
<section id="Equ32"><mml:math display="block" id="Equ32_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}\Phi _{\mu }(at+b)\simeq \Xi \Phi _{1}(t),\quad \nu (t)>0, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ32.gif"/></section>
<em>where the OM</em>
<span id="IEq114"><mml:math id="IEq114_Math"><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq114_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Xi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq114.gif"/></span>
<em>is a square matrix of order</em>
<span id="IEq115"><mml:math id="IEq115_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq115_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)\times (N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq115.gif"/></span>
<em>takes the following form</em>
,
<section id="Equ70"><mml:math display="block" id="Equ70_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Xi \simeq A \Upsilon _{N} \Lambda _{N} A^{-1}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ70.gif"/></section>
<em>where</em>
<em>A</em>
<em>is defined in</em>
 (
<a href="#Equ24"><sup>2.16</sup></a>
), 
<span id="IEq116"><mml:math id="IEq116_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq116_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Upsilon _{N}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq116.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq117"><mml:math id="IEq117_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq117_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Lambda _{N}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq117.gif"/></span>
<em>are</em>
<span id="IEq118"><mml:math id="IEq118_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq118_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)\times (N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq118.gif"/></span>
<em>matrices, and their elements</em>
<span id="IEq119"><mml:math id="IEq119_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq119_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\upsilon _{ij},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq119.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq120"><mml:math id="IEq120_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq120_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda _{ij}, 0\le i,j \le N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq120.gif"/></span>
 , 
<em>respectively, are given as follows</em>
<section id="Equ71"><mml:math display="block" id="Equ71_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\upsilon _{ij}=\left( {\begin{array}{c}\mu i\\ j\end{array}}\right) a^{j}b^{\mu i-j},\quad i,j=0,1,\ldots ,N,\\&\lambda _{ij}=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\Gamma {(i+1)}}{\Gamma {(i+1-\nu (t))}}t^{-\nu (t)}, \quad for \quad i=j,\quad j=n,n+1,\ldots ,N \hbox {,} \\ \\ 0,\quad o.w. &{} \hbox {.} \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ71.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>From Eq. (
<a href="#Equ23"><sup>2.15</sup></a>
), we can write
<section id="Equ33"><mml:math display="block" id="Equ33_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}D_{t}^{\nu (t)}\Phi _{\mu }(at+b)&=D_{t}^{\nu (t)}\bigg [C_{S,0}^{(\alpha ,\mu )}(at+b),C_{S,1}^{(\alpha ,\mu )}(at+b),\ldots ,C_{S,N}^{(\alpha ,\mu )}(at+b)\bigg ]^{T}=D_{t}^{\nu (t)}(AT_{N,\mu }(at+b)),\nonumber \\& =AD_{t}^{\nu (t)}T_{N,\mu }(at+b). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ33.gif"/></section>
Since
<section id="Equ34"><mml:math display="block" id="Equ34_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}T_{N,\mu }(at+b)=D_{t}^{\nu (t)}\left( \begin{array}{c} 1 \\ (at+b)^{\mu } \\ (at+b)^{2\mu } \\ \vdots \\ (at+b)^{N\mu } \\ \end{array} \right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ34.gif"/></section>
By using Newton
<span id="IEq121"><mml:math id="IEq121_Math"><mml:msup><mml:mrow/><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq121_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$'$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq121.gif"/></span>
s generalized binomial theorem, we can write
<section id="Equ35"><mml:math display="block" id="Equ35_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:munderover><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} {(at+b)^{i \mu }}&{=\sum _{k=0}^{\infty } \left( {\begin{array}{c}\mu i\\ k\end{array}}\right) a^{k}b^{\mu i-k} t^{k},}\\&{=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(i \mu )(i \mu -1)\cdots (i \mu -k+1)}{k!}a^{k}b^{\mu i-k} t^{k},\quad i=0,1,\ldots ,N,} \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ35.gif"/></section>
this series converges for 
<span id="IEq122"><mml:math id="IEq122_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq122_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i \mu \in Z^{+}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq122.gif"/></span>
 or 
<span id="IEq123"><mml:math id="IEq123_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">at</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq123_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|\frac{at}{b}|<1.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq123.gif"/></span></p>
<p>By approximating the series (
<a href="#Equ35"><sup>3.10</sup></a>
) by using the first (N+1) terms, the relation (
<a href="#Equ34"><sup>3.9</sup></a>
) can be written as
<section id="Equ36"><mml:math display="block" id="Equ36_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}T_{N,\mu }(at+b)=D_{t}^{\nu (t)}\left( \begin{array}{c} 1 \\ (at+b)^{\mu } \\ (at+b)^{2\mu } \\ \vdots \\ (at+b)^{N\mu } \\ \end{array} \right) \simeq \Upsilon _{N,\mu }D_{t}^{\nu (t)}\left( \begin{array}{c} 1 \\ t \\ t^{2} \\ \vdots \\ t^{N} \\ \end{array} \right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ36.gif"/></section>
By using the definition (2.1) of the VO fractional derivative in the Caputo sense, then Eq. (
<a href="#Equ36"><sup>3.11</sup></a>
) can be obtained as the below form:
<section id="Equ37"><mml:math display="block" id="Equ37_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}T_{N,\mu }(at+b)\simeq \Upsilon _{N,\mu }\left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ \frac{\Gamma {(n+1)}}{\Gamma {(n+1-\nu (t))}}t^{n-\nu (t)} \\ \frac{\Gamma {(n+2)}}{\Gamma {(n+2-\nu (t))}}t^{n+1-\nu (t)} \\ \vdots \\ \frac{\Gamma {(N+1)}}{\Gamma {(N+1-\nu (t))}}t^{N-\nu (t)} \end{array}\right) \simeq \Upsilon _{N,\mu } \Lambda _{N}T_{N,1}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ37.gif"/></section>
where 
<span id="IEq124"><mml:math id="IEq124_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq124_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Upsilon _{N,\mu }, \Theta _{N}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq124.gif"/></span>
 are 
<span id="IEq125"><mml:math id="IEq125_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq125_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(N+1)\times (N+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq125.gif"/></span>
 matrices, and their elements have the following forms, respectively,
<section id="Equ72"><mml:math display="block" id="Equ72_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\upsilon _{ij}=\left( {\begin{array}{c}\mu i\\ j\end{array}}\right) a^{j}b^{\mu i-j},\quad i,j=0,1,\ldots ,N,\\&\quad \lambda _{ij}=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\Gamma {(i+1)}}{\Gamma {(i+1-\nu (t))}}t^{-\nu (t)},\quad for \quad i=j,\quad j=n,n+1,\ldots ,N \hbox {,} \\ \\ 0,\quad o.w. &{} \hbox {.} \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ72.gif"/></section>
By substituting from Eq. (
<a href="#Equ37"><sup>3.12</sup></a>
) into Eq. (
<a href="#Equ33"><sup>3.8</sup></a>
), the following relation is obtained
<section id="Equ73"><mml:math display="block" id="Equ73_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}\Phi _{\mu }(at+b)\simeq A\Upsilon _{N,\mu } \Lambda _{N}T_{N,1}(t). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ73.gif"/></section>
Since 
<em>A</em>
 is invertible, then
<section id="Equ38"><mml:math display="block" id="Equ38_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}\Phi _{\mu }(at+b)\simeq A\Upsilon _{N,\mu } \Lambda _{N} A^{-1}\Phi (t)\simeq \Xi \Phi _{1}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ38.gif"/></section>
where 
<span id="IEq126"><mml:math id="IEq126_Math"><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq126_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Xi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq126.gif"/></span>
 is a square matrix, and this finishes the proof. 
<span id="IEq127"><mml:math id="IEq127_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq127_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq127.gif"/></span></p></section></section>
<section><h2>The methodology</h2>
<p>In this section, we will discuss how to use the SFG-OMs to solve the problem Eqs. (
<a href="#Equ5"><sup>1.5</sup></a>
–
<a href="#Equ6"><sup>1.6</sup></a>
) numerically. As a result, the problem will be converted into an algebraic system of equations that can be solved easily by any iteration method. By using the properties of the SFGPs which are mentioned in the definition (2.2), the solution can be approximated as
<section id="Equ39"><mml:math display="block" id="Equ39_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y_{N}(at+b)=\sum _{j=0}^{N}\tilde{y}_{S,j}C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(at+b)=Y^{T}\Phi _{\mu }(at+b), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ39.gif"/></section>
by the same way, the terms 
<span id="IEq128"><mml:math id="IEq128_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq128_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(ct+d),\quad y(et+f)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq128.gif"/></span>
 are approximated.</p>
<p>Moreover, the Caputo fractional derivative of order 
<span id="IEq129"><mml:math id="IEq129_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq129_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq129.gif"/></span>
 of 
<span id="IEq130"><mml:math id="IEq130_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq130_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N}(at+b)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq130.gif"/></span>
 is estimated as
<section id="Equ74"><mml:math display="block" id="Equ74_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo></mml:mrow><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&D_{t}^{(\nu (t))}y_{N}(at+b)=D_{t}^{(\nu (t))}\bigg (\sum _{j=0}^{N}\tilde{y}_{S,j}C_{S,j}^{(\alpha ,\mu )}(at+b)\bigg )\\&\quad =Y^{T}D_{t}^{(\nu (t))}\bigg (\Phi _{\mu }(at+b)\bigg ). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ74.gif"/></section>
By using Theorem (3.2)
<section id="Equ40"><mml:math display="block" id="Equ40_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{(\nu (t))}y_{N}(at+b)\simeq Y^{T}\Xi \Phi _{1}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ40.gif"/></section>
and by using Theorem (3.1)
<section id="Equ41"><mml:math display="block" id="Equ41_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{(1)}y_{N}(ct+d)\simeq Y^{T}\Psi \Phi _{1}(t). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ41.gif"/></section>
Substitute from Eqs. (
<a href="#Equ39"><sup>4.1</sup></a>
)–(
<a href="#Equ41"><sup>4.3</sup></a>
) into Eqs. (
<a href="#Equ5"><sup>1.5</sup></a>
–
<a href="#Equ6"><sup>1.6</sup></a>
), we get
<section id="Equ42"><mml:math display="block" id="Equ42_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} Y^{T}\Xi \Phi _{1}(t)+\frac{\lambda }{t}Y^{T}\Psi \Phi _{1}(t)+g(t)Y^{T}\Phi _{\mu }(t)=F(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ42.gif"/></section>
and the ICs will be
<section id="Equ43"><mml:math display="block" id="Equ43_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} Y^{T}\Phi _{\mu }(0)=\gamma _{1},\quad Y^{T}\Psi \Phi _{\mu }(0)=\gamma _{2}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ43.gif"/></section>
Suppose the nodes 
<span id="IEq131"><mml:math id="IEq131_Math"><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq131_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq131.gif"/></span>
 which are the roots of the SFGPs. By substituting these nodes in Eqs. (
<a href="#Equ42"><sup>4.4</sup></a>
)–(
<a href="#Equ43"><sup>4.5</sup></a>
); therefore the collocation scheme can be written as
<section id="Equ44"><mml:math display="block" id="Equ44_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ξ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} Y^{T}\Xi \Phi _{1}(t_{k})+\frac{\lambda }{t_{k}}Y^{T}\Psi \Phi _{1}(t_{k})+g(t_{k})Y^{T}\Phi _{\mu }(t_{k})=F(t_{k}), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ44.gif"/></section>
with the ICs
<section id="Equ45"><mml:math display="block" id="Equ45_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} Y^{T}\Phi _{\mu }(0)=\gamma _{1},\quad Y^{T}\Psi \Phi _{\mu }(0)=\gamma _{2}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ45.gif"/></section>
This yields a set of (N+1) algebraic equations with the required SFG coefficients 
<span id="IEq132"><mml:math id="IEq132_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq132_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tilde{y}_{S,j},\quad j=0,1,\ldots ,N,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq132.gif"/></span>
 which may be solved using an appropriate iterative procedure. As a result, the approximate solution 
<span id="IEq133"><mml:math id="IEq133_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq133_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq133.gif"/></span>
 of the system (
<a href="#Equ7"><sup>1.7</sup></a>
–
<a href="#Equ8"><sup>1.8</sup></a>
) can be obtained.</p></section>
<section><h2>Numerical applications</h2>
<p>In this section, we’ll introduce four applications to evaluate the applicability of our approach. By using a Dell laptop with an Intel(R) Core(TM) i3 CPU M 370@ 2.40 GHz and 3.00GB RAM configuration, the software was written in Mathematica version 12. The results obtained by our approach are compared to those obtained in literature using other numerical methods. The results constructed in this paper are measured by means of:
<ul><li><p>The absolute errors (AEs) given by 
<section id="Equ75"><mml:math display="block" id="Equ75_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} E(t_{i})=|y(t_{i})-y_{N}(t_{i})|,\quad 1\le i\le N{,} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ75.gif"/></section>
 where 
<span id="IEq134"><mml:math id="IEq134_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq134_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(t_{i})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq134.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq135"><mml:math id="IEq135_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq135_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N}(t_{i})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq135.gif"/></span>
 are the exact solution (ES) and the approximate solution (AS), respectively.</p></li>
<li><p>The maximum absolute errors (MAEs) 
<section id="Equ76"><mml:math display="block" id="Equ76_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} L_{\infty }=\max _{1\le i\le N}\{E(t_{i}):\forall t_{i}\in [0,L]\}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ76.gif"/></section></p></li>
<li><p>The order of convergence (OC) 
<section id="Equ77"><mml:math display="block" id="Equ77_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>log</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>log</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {OC=\frac{\log {(\frac{error(N1)}{error(N2)})}}{\log {(\frac{N2}{N1})}},} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ77.gif"/></section>
 where error(N) denotes the error corresponding to polynomial degree N.</p></li></ul></p>
<section><h2>Applications of EF-DDEs-VO</h2>
<p><strong>Application (1)</strong></p>
<p>Consider the following VO-EF-DDEs [
<a href="#CR37"><sup>37</sup></a>
],
<section id="Equ78"><mml:math display="block" id="Equ78_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>6</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}y(2t-1)+\frac{2}{t}\frac{d}{dt}y(3t)+ty(t+1)=4e^{2t-1}+\frac{6}{t}e^{3t}+te^{t+1}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ78.gif"/></section>
with the ICs
<section id="Equ79"><mml:math display="block" id="Equ79_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(0)=1,\quad \frac{d}{dt}y(0)=1{,} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ79.gif"/></section>
where the ES at 
<span id="IEq136"><mml:math id="IEq136_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq136_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)=2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq136.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq137"><mml:math id="IEq137_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq137_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(t)=e^{t}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq137.gif"/></span>
<figure id="Fig1"><h3>Fig. 1</h3>
<figcaption><p>The numerical results of SFGOM technique on application (1) at 
<span id="IEq138"><mml:math id="IEq138_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>14</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq138_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=14,\quad \mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq138.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq139"><mml:math id="IEq139_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq139_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq139.gif"/></span>
<strong>a</strong>
 The AEs graph of 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
). 
<strong>b</strong>
 The graphs of the ASs at different values of 
<span id="IEq140"><mml:math id="IEq140_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq140_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq140.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2022_459_Fig1_HTML.png" /></figure></p>
<p>In Figure 
<a href="#Fig1"><sup>1</sup></a>
a, the AE function with 
<span id="IEq141"><mml:math id="IEq141_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>14</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq141_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=14, \mu =1, \alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq141.gif"/></span>
 displays highly accuracy, and the numerical outcomes at different values of VOs are shown in Fig. 
<a href="#Fig1"><sup>1</sup></a>
b.</p>
<p><strong>Application (2)</strong></p>
<p>Consider the following VO-EF-DDEs- [
<a href="#CR37"><sup>37</sup></a>
],
<section id="Equ80"><mml:math display="block" id="Equ80_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}y(3t-1)+\frac{2}{t}\frac{d}{dt}y(2t)+ty(t+1)=F(t),\quad 1< \nu (t)\le 2, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ80.gif"/></section>
with the ICs
<section id="Equ81"><mml:math display="block" id="Equ81_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(0)=1,\quad \frac{d}{dt}y(0)=0{,} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ81.gif"/></section>
where
<section id="Equ82"><mml:math display="block" id="Equ82_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>27</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>27</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>48</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F(t)=\frac{27\Gamma {(4)}t^{3-\nu (t)}}{\Gamma {(4-\nu (t))}}-\frac{27\Gamma {(3)}t^{2-\nu (t)}}{\Gamma {(3-\nu (t))}}+48t+t(1+(t+1)^{3}), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ82.gif"/></section>
and the ES is 
<span id="IEq142"><mml:math id="IEq142_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq142_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(t)=t^{3}+1.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq142.gif"/></span>
<figure id="Fig2"><h3>Fig. 2</h3>
<figcaption><p>The numerical results of SFGOM technique on application (2) at 
<span id="IEq143"><mml:math id="IEq143_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq143_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3,\quad \mu =1,\quad \alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq143.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq144"><mml:math id="IEq144_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq144_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)=1+\frac{t}{2}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq144.gif"/></span>
<strong>a</strong>
 The AEs graph of 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
). 
<strong>b</strong>
 The graph of ES and AS in [0,1]</p></figcaption>
<img src="40096_2022_459_Fig2_HTML.png" /></figure>
<figure id="Tab1"><h3>Table 1</h3>
<figcaption><p>The MAEs of application (2) at 
<span id="IEq145"><mml:math id="IEq145_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq145_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5, \nu (t)=1+\frac{t}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq145.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq146"><mml:math id="IEq146_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq146_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N,\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq146.gif"/></span>
 and CPU time (second) at 
<span id="IEq147"><mml:math id="IEq147_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq147_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq147.gif"/></span></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"><p>N</p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq148"><alternatives><mml:math id="IEq148_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq148_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq148.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p>CPU time <inline-formula id="IEq149"><alternatives><mml:math id="IEq149_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq149_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq149.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p>OC (<inline-formula id="IEq150"><alternatives><mml:math id="IEq150_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq150_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq150.gif"/></alternatives></inline-formula>)</p></th><th align="left"><p><italic>N</italic></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq151"><alternatives><mml:math id="IEq151_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq151_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =\frac{1}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq151.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><italic>N</italic></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq152"><alternatives><mml:math id="IEq152_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq152_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =\frac{1}{3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq152.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>2</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq153"><alternatives><mml:math id="IEq153_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.68717</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq153_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.68717\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq153.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0.0312002</p></td><td align="left"/><td align="left"><p>5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq154"><alternatives><mml:math id="IEq154_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.31867</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq154_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.31867\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq154.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>8</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq155"><alternatives><mml:math id="IEq155_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.82913</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq155_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.82913\times 10^{-2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq155.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq156"><alternatives><mml:math id="IEq156_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.88178</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq156_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.88178\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq156.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0.0624004</p></td><td align="left"><p>85.1285</p></td><td align="left"><p>6</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq157"><alternatives><mml:math id="IEq157_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.84462</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>14</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq157_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.84462\times 10^{-14}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq157.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq158"><alternatives><mml:math id="IEq158_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.22044</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq158_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.22044\times 10^{-12}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq158.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure>
<figure id="Tab2"><h3>Table 2</h3>
<figcaption><p>The AEs of application (2) at 
<span id="IEq159"><mml:math id="IEq159_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq159_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3, \nu (t)=1+\frac{t}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq159.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq160"><mml:math id="IEq160_Math"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq160_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq160.gif"/></span></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"><p><italic>t</italic></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq161"><alternatives><mml:math id="IEq161_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq161_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =-0.3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq161.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq162"><alternatives><mml:math id="IEq162_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq162_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq162.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq163"><alternatives><mml:math id="IEq163_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq163_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq163.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq164"><alternatives><mml:math id="IEq164_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq164_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq164.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq165"><alternatives><mml:math id="IEq165_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq165_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq165.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq166"><alternatives><mml:math id="IEq166_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.88178</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq166_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.88178\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq166.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq167"><alternatives><mml:math id="IEq167_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq167_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq167.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq168"><alternatives><mml:math id="IEq168_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq168_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq168.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq169"><alternatives><mml:math id="IEq169_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq169_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq169.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq170"><alternatives><mml:math id="IEq170_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq170_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq170.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq171"><alternatives><mml:math id="IEq171_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq171_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq171.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq172"><alternatives><mml:math id="IEq172_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq172_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq172.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq173"><alternatives><mml:math id="IEq173_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq173_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq173.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq174"><alternatives><mml:math id="IEq174_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq174_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq174.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq175"><alternatives><mml:math id="IEq175_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq175_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq175.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq176"><alternatives><mml:math id="IEq176_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq176_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq176.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq177"><alternatives><mml:math id="IEq177_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq177_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq177.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq178"><alternatives><mml:math id="IEq178_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq178_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq178.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq179"><alternatives><mml:math id="IEq179_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq179_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq179.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq180"><alternatives><mml:math id="IEq180_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.88178</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq180_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.88178\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq180.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq181"><alternatives><mml:math id="IEq181_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq181_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq181.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td></tr></tbody></table></figure></p>
<p>The numerical results of application (2) are given in Tables  
<a href="#Tab1"><sup>1</sup></a>
 and 
<a href="#Tab2"><sup>2</sup></a>
 and are plotted in Fig. 
<a href="#Fig2"><sup>2</sup></a>
a–b. Table 
<a href="#Tab1"><sup>1</sup></a>
 introduces the computational time at 
<span id="IEq182"><mml:math id="IEq182_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq182_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq182.gif"/></span>
 the MAEs at different values of 
<span id="IEq183"><mml:math id="IEq183_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq183_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N,\mu,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq183.gif"/></span>
 and the order of convergence at 
<span id="IEq184"><mml:math id="IEq184_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq184_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq184.gif"/></span>
 Additionally, Table 
<a href="#Tab2"><sup>2</sup></a>
 presents the AEs at 
<span id="IEq185"><mml:math id="IEq185_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq185_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3,\quad \mu =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq185.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq186"><mml:math id="IEq186_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq186_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq186.gif"/></span>
 In Fig. 
<a href="#Fig2"><sup>2</sup></a>
a the AEs graph is displayed, while Fig. 
<a href="#Fig2"><sup>2</sup></a>
b depicts the agreement between the ES and the AS graphs of 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) for 
<span id="IEq187"><mml:math id="IEq187_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq187_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3,\mu =1,\alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq187.gif"/></span>
 at 
<span id="IEq188"><mml:math id="IEq188_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq188_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)=1+\frac{t}{2}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq188.gif"/></span></p>
<p><strong>Application (3)</strong></p>
<p>Consider the following VO-EF-DDEs [
<a href="#CR38"><sup>38</sup></a>
],
<section id="Equ83"><mml:math display="block" id="Equ83_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>y</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{1}{2}D_{t}^{\nu (t)}y\left(\frac{t}{2}\right)+\frac{3}{t}\frac{d}{dt}y\left(\frac{t}{2}\right)+y^{2}(t)=F(t),\quad 1<\nu (t)\le 2{,} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ83.gif"/></section>
with the ICs
<section id="Equ84"><mml:math display="block" id="Equ84_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y(0)=1,\quad \frac{d}{dt}y(0)=0{,} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ84.gif"/></section>
where
<section id="Equ85"><mml:math display="block" id="Equ85_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>32</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F(t)=\frac{\Gamma {(5)}t^{4-\nu (t)}}{32\Gamma {(5-\nu (t))}}+\frac{3t^{2}}{4}+(1+t^{4})^{2}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ85.gif"/></section>
and the ES is 
<span id="IEq189"><mml:math id="IEq189_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq189_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(t)=t^{4}+1.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq189.gif"/></span>
<figure id="Fig3"><h3>Fig. 3</h3>
<figcaption><p>The numerical results of SFGOM technique on application (3) at 
<span id="IEq190"><mml:math id="IEq190_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq190_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=4,\quad \mu =1,\quad \alpha =0.5,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq190.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq191"><mml:math id="IEq191_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>sin</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq191_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)=1+\frac{\sin {(t)}}{2}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq191.gif"/></span>
<strong>a</strong>
 The AEs graph of 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
). 
<strong>b</strong>
 The graph of ES and AS in [0,1]</p></figcaption>
<img src="40096_2022_459_Fig3_HTML.png" /></figure>
<figure id="Tab3"><h3>Table 3</h3>
<figcaption><p>The MAEs of application (3) at 
<span id="IEq192"><mml:math id="IEq192_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>sin</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq192_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5, \nu (t)=1+\frac{\sin {(t)}}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq192.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq193"><mml:math id="IEq193_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq193_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N,\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq193.gif"/></span>
 and the CPU time (second) at 
<span id="IEq194"><mml:math id="IEq194_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq194_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq194.gif"/></span></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"><p><italic>N</italic></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq195"><alternatives><mml:math id="IEq195_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq195_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq195.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p>CPU Time <inline-formula id="IEq196"><alternatives><mml:math id="IEq196_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq196_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq196.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p>OC (<inline-formula id="IEq197"><alternatives><mml:math id="IEq197_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq197_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq197.gif"/></alternatives></inline-formula>)</p></th><th align="left"><p><italic>N</italic></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq198"><alternatives><mml:math id="IEq198_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq198_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =\frac{1}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq198.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><italic>N</italic></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq199"><alternatives><mml:math id="IEq199_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq199_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =\frac{1}{3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq199.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>2</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq200"><alternatives><mml:math id="IEq200_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.74192</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq200_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.74192\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq200.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0.0312002</p></td><td char="." align="char"/><td align="left"><p>4</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq201"><alternatives><mml:math id="IEq201_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.13406</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq201_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.13406\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq201.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td char="." align="char"><p>8</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq202"><alternatives><mml:math id="IEq202_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.48657</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq202_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.48657\times 10^{-3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq202.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq203"><alternatives><mml:math id="IEq203_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.92054</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq203_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.92054\times 10^{-3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq203.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0.0424004</p></td><td char="." align="char"><p>8.18621</p></td><td align="left"><p>6</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq204"><alternatives><mml:math id="IEq204_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.96059</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq204_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.96059\times 10^{-3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq204.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td char="." align="char"><p>10</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq205"><alternatives><mml:math id="IEq205_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.55323</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq205_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.55323\times 10^{-4}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq205.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>4</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq206"><alternatives><mml:math id="IEq206_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq206_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq206.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0.0624004</p></td><td char="." align="char"><p>109.254</p></td><td align="left"><p>8</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq207"><alternatives><mml:math id="IEq207_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.61693</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>14</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq207_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.61693\times 10^{-14}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq207.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td char="." align="char"><p>12</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq208"><alternatives><mml:math id="IEq208_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.35434</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq208_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.35434\times 10^{-10}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq208.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure>
<figure id="Tab4"><h3>Table 4</h3>
<figcaption><p>The AEs of application (3) at 
<span id="IEq209"><mml:math id="IEq209_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>sin</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq209_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=4, \nu (t)=1+\frac{\sin {(t)}}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq209.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq210"><mml:math id="IEq210_Math"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq210_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq210.gif"/></span></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"><p><italic>t</italic></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq211"><alternatives><mml:math id="IEq211_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq211_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =-0.3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq211.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq212"><alternatives><mml:math id="IEq212_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq212_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq212.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq213"><alternatives><mml:math id="IEq213_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq213_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq213.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq214"><alternatives><mml:math id="IEq214_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq214_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq214.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq215"><alternatives><mml:math id="IEq215_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq215_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq215.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq216"><alternatives><mml:math id="IEq216_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq216_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq216.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq217"><alternatives><mml:math id="IEq217_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq217_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq217.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq218"><alternatives><mml:math id="IEq218_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.88178</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq218_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.88178\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq218.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq219"><alternatives><mml:math id="IEq219_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq219_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq219.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq220"><alternatives><mml:math id="IEq220_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq220_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq220.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq221"><alternatives><mml:math id="IEq221_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.66454</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq221_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.66454\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq221.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure>
<figure id="Tab5"><h3>Table 5</h3>
<figcaption><p>Comparison of the AEs for 
<span id="IEq222"><mml:math id="IEq222_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq222_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1,\quad \nu (t)=2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq222.gif"/></span>
 of application (3)</p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" rowspan="2"><p><italic>t</italic></p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq223"><alternatives><mml:math id="IEq223_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq223_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq223.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left" colspan="2"><p>N=6</p></th></tr><tr><th align="left"><p>Our method</p></th><th align="left"><p>Ref. [<xref ref-type="bibr" rid="CR38">38</xref>]</p></th><th align="left"><p>Our method</p></th><th align="left"><p>Ref. [<xref ref-type="bibr" rid="CR38">38</xref>]</p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq224"><alternatives><mml:math id="IEq224_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.1070</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>14</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq224_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.1070\times 10^{-14}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq224.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq225"><alternatives><mml:math id="IEq225_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.2204</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq225_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.2204\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq225.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq226"><alternatives><mml:math id="IEq226_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.6875</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>13</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq226_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.6875\times 10^{-13}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq226.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq227"><alternatives><mml:math id="IEq227_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq227_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq227.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq228"><alternatives><mml:math id="IEq228_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.9968</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq228_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.9968\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq228.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq229"><alternatives><mml:math id="IEq229_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq229_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq229.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq230"><alternatives><mml:math id="IEq230_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.6268</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>13</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq230_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.6268\times 10^{-13}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq230.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq231"><alternatives><mml:math id="IEq231_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq231_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq231.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq232"><alternatives><mml:math id="IEq232_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.3275</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq232_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.3275\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq232.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq233"><alternatives><mml:math id="IEq233_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq233_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq233.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq234"><alternatives><mml:math id="IEq234_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.2870</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq234_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.2870\times 10^{-12}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq234.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq235"><alternatives><mml:math id="IEq235_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq235_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq235.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq236"><alternatives><mml:math id="IEq236_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.3411</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>13</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq236_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.3411\times 10^{-13}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq236.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq237"><alternatives><mml:math id="IEq237_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq237_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq237.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq238"><alternatives><mml:math id="IEq238_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.3457</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq238_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.3457\times 10^{-12}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq238.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq239"><alternatives><mml:math id="IEq239_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.33227</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq239_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.33227\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq239.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq240"><alternatives><mml:math id="IEq240_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.2814</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq240_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.2814\times 10^{-12}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq240.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure></p>
<p>The numerical results of application (3) are given in Tables 
<a href="#Tab3"><sup>3</sup></a>
, 
<a href="#Tab4"><sup>4</sup></a>
, and 
<a href="#Tab5"><sup>5</sup></a>
 and are plotted in Fig. 
<a href="#Fig3"><sup>3</sup></a>
a–b. Table 
<a href="#Tab3"><sup>3</sup></a>
 introduces the computational time at 
<span id="IEq241"><mml:math id="IEq241_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq241_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq241.gif"/></span>
 the MAEs at 
<span id="IEq242"><mml:math id="IEq242_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq242_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq242.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq243"><mml:math id="IEq243_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq243_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N,\mu,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq243.gif"/></span>
 and the order of convergence at 
<span id="IEq244"><mml:math id="IEq244_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq244_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq244.gif"/></span>
 Additionally, Table 
<a href="#Tab4"><sup>4</sup></a>
 presents the AEs at 
<span id="IEq245"><mml:math id="IEq245_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq245_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=4,\quad \mu =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq245.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq246"><mml:math id="IEq246_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq246_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq246.gif"/></span>
 Table 
<a href="#Tab5"><sup>5</sup></a>
 displays the efficiency and effectiveness of our method by comparing it to the method in Ref. [
<a href="#CR38"><sup>38</sup></a>
] at 
<span id="IEq247"><mml:math id="IEq247_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq247_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)=2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq247.gif"/></span>
. In Fig. 
<a href="#Fig3"><sup>3</sup></a>
a we describe the AEs graph, while Fig. 
<a href="#Fig3"><sup>3</sup></a>
b plots the ES and the AS graphs of 
<em>y</em>
(
<em>t</em>
) for 
<span id="IEq248"><mml:math id="IEq248_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq248_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=4,\mu =1,\alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq248.gif"/></span>
 at 
<span id="IEq249"><mml:math id="IEq249_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>sin</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq249_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)=1+\frac{\sin {(t)}}{2}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq249.gif"/></span></p>
<p><strong>Application (4)</strong></p>
<p>Consider the following system of EF-DDEs-VO [
<a href="#CR39"><sup>39</sup></a>
],
<section id="Equ86"><mml:math display="block" id="Equ86_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} D_{t}^{\nu (t)}y_{1}(2t-1)+\frac{3}{t}\frac{d}{dt}y_{1}(3t)+y_{2}(t)y_{1}(t+1)&=F_{1}(t),\\ D_{t}^{\nu (t)}y_{2}(2t-1)+\frac{2}{t}\frac{d}{dt}y_{2}(3t)+y_{1}(t)y_{2}(t+1)&=F_{2}(t),\quad 1<\nu (t)\le 2, \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ86.gif"/></section>
with the initial conditions,
<section id="Equ87"><mml:math display="block" id="Equ87_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y_{1}(1)=2,\quad \frac{d}{dt}y_{1}(0)=0,\quad y_{2}(1)=0,\quad \frac{d}{dt}y_{2}(0)=0, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ87.gif"/></section>
where
<section id="Equ88"><mml:math display="block" id="Equ88_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>243</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>162</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F_{1}(t)&=\frac{8\Gamma {(4)}t^{3-\nu (t)}}{\Gamma {(4-\nu (t))}}-\frac{12\Gamma {(3)}t^{2-\nu (t)}}{\Gamma {(3-\nu (t))}}+243t+(1-t^{3})(1+(t+1)^{3}){,} \\ F_{2}(t)&=\frac{12\Gamma {(3)}t^{2-\nu (t)}}{\Gamma {(3-\nu (t))}}-\frac{8\Gamma {(4)}t^{3-\nu (t)}}{\Gamma {(4-\nu (t))}}-162t+(1+t^{3})(1-(t+1)^{3}) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_Equ88.gif"/></section>
 and the ESs are 
<span id="IEq250"><mml:math id="IEq250_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq250_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)=1+t^{3},\quad y_{2}(t)=1-t^{3}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq250.gif"/></span>
<figure id="Fig4"><h3>Fig. 4</h3>
<figcaption><p>The numerical behavior of the proposed method on application (4). 
<strong>a</strong>
 shows the AEs of 
<span id="IEq251"><mml:math id="IEq251_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq251_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq251.gif"/></span>
 at 
<span id="IEq252"><mml:math id="IEq252_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq252_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq252.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq253"><mml:math id="IEq253_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq253_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5,\quad \nu (t)=1+\frac{t}{2}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq253.gif"/></span>
<strong>b</strong>
 shows the graph of the ES and AS 
<span id="IEq254"><mml:math id="IEq254_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq254_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq254.gif"/></span>
 on [0,1]. 
<strong>c</strong>
 shows the AEs of 
<span id="IEq255"><mml:math id="IEq255_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq255_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq255.gif"/></span>
 at 
<span id="IEq256"><mml:math id="IEq256_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq256_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq256.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq257"><mml:math id="IEq257_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq257_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5,\quad \nu (t)=1+\frac{t}{2}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq257.gif"/></span>
 (
<strong>d</strong>
) shows the graph of the ES and AS 
<span id="IEq258"><mml:math id="IEq258_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq258_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq258.gif"/></span>
 on [0,1]</p></figcaption>
<img src="40096_2022_459_Fig4_HTML.png" /></figure>
<figure id="Tab6"><h3>Table 6</h3>
<figcaption><p>MAEs of application (4) for 
<span id="IEq259"><mml:math id="IEq259_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq259_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5,\quad \nu (t)=1+\frac{t}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq259.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq260"><mml:math id="IEq260_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq260_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N,\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq260.gif"/></span>
 and CPU time (seconds) at 
<span id="IEq261"><mml:math id="IEq261_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq261_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq261.gif"/></span></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" rowspan="2"><p><italic>N</italic></p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq262"><alternatives><mml:math id="IEq262_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq262_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =\frac{1}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq262.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p>N</p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq263"><alternatives><mml:math id="IEq263_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq263_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =\frac{1}{3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq263.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr><tr><th align="left"><p><inline-formula id="IEq264"><alternatives><mml:math id="IEq264_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq264_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq264.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq265"><alternatives><mml:math id="IEq265_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq265_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq265.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"/><th align="left"><p><inline-formula id="IEq266"><alternatives><mml:math id="IEq266_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq266_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq266.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq267"><alternatives><mml:math id="IEq267_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq267_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq267.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>4</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq268"><alternatives><mml:math id="IEq268_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.60719</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq268_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.60719\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq268.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq269"><alternatives><mml:math id="IEq269_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.06883</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq269_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.06883\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq269.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq270"><alternatives><mml:math id="IEq270_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.64448</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq270_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.64448\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq270.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq271"><alternatives><mml:math id="IEq271_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.37767</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq271_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.37767\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq271.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq272"><alternatives><mml:math id="IEq272_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.07018</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq272_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.07018\times 10^{-2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq272.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq273"><alternatives><mml:math id="IEq273_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.32008</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq273_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.32008\times 10^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq273.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>8</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq274"><alternatives><mml:math id="IEq274_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.35157</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq274_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.35157\times 10^{-2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq274.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq275"><alternatives><mml:math id="IEq275_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.10954</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq275_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.10954\times 10^{-2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq275.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>6</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq276"><alternatives><mml:math id="IEq276_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.04156</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq276_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.04156\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq276.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq277"><alternatives><mml:math id="IEq277_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.52355</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq277_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.52355\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq277.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq278"><alternatives><mml:math id="IEq278_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.10661</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq278_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.10661\times 10^{-12}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq278.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq279"><alternatives><mml:math id="IEq279_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.97204</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq279_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.97204\times 10^{-12}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq279.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left" rowspan="2"><p><italic>N</italic></p></td><td align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq280"><alternatives><mml:math id="IEq280_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq280_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq280.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left" colspan="3"><p>CPU time (<inline-formula id="IEq281"><alternatives><mml:math id="IEq281_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq281_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq281.gif"/></alternatives></inline-formula>)</p></td></tr><tr><td align="left"><p><inline-formula id="IEq282"><alternatives><mml:math id="IEq282_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq282_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq282.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq283"><alternatives><mml:math id="IEq283_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq283_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq283.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left" colspan="3"/></tr><tr><td align="left"><p>3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq284"><alternatives><mml:math id="IEq284_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq284_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq284.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq285"><alternatives><mml:math id="IEq285_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq285_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq285.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left" colspan="3"><p>0.0624004</p></td></tr></tbody></table></figure>
<figure id="Tab7"><h3>Table 7</h3>
<figcaption><p>The AEs of application (4) at 
<span id="IEq286"><mml:math id="IEq286_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq286_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq286.gif"/></span>
 and different values of 
<span id="IEq287"><mml:math id="IEq287_Math"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq287_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq287.gif"/></span></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" colspan="5"><p><inline-formula id="IEq288"><alternatives><mml:math id="IEq288_Math"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq288_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\nu (t)=1+\frac{t}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq288.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr><tr><th align="left"><p><italic>t</italic></p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq289"><alternatives><mml:math id="IEq289_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq289_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =-0.3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq289.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq290"><alternatives><mml:math id="IEq290_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq290_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq290.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr><tr><th align="left"/><th align="left"><p><inline-formula id="IEq291"><alternatives><mml:math id="IEq291_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq291_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq291.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq292"><alternatives><mml:math id="IEq292_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq292_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq292.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq293"><alternatives><mml:math id="IEq293_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq293_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq293.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq294"><alternatives><mml:math id="IEq294_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq294_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq294.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq295"><alternatives><mml:math id="IEq295_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq295_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq295.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq296"><alternatives><mml:math id="IEq296_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.99201</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq296_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.99201\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq296.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq297"><alternatives><mml:math id="IEq297_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq297_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq297.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq298"><alternatives><mml:math id="IEq298_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq298_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq298.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq299"><alternatives><mml:math id="IEq299_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq299_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq299.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq300"><alternatives><mml:math id="IEq300_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.77156</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq300_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.77156\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq300.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq301"><alternatives><mml:math id="IEq301_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq301_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq301.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq302"><alternatives><mml:math id="IEq302_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.11022</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq302_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.11022\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq302.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq303"><alternatives><mml:math id="IEq303_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.88178</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq303_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.88178\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq303.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq304"><alternatives><mml:math id="IEq304_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq304_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq304.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq305"><alternatives><mml:math id="IEq305_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq305_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq305.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq306"><alternatives><mml:math id="IEq306_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.88178</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq306_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.88178\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq306.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq307"><alternatives><mml:math id="IEq307_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq307_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq307.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq308"><alternatives><mml:math id="IEq308_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.77156</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq308_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.77156\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq308.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq309"><alternatives><mml:math id="IEq309_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.11022</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq309_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.11022\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq309.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq310"><alternatives><mml:math id="IEq310_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq310_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq310.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq311"><alternatives><mml:math id="IEq311_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq311_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq311.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq312"><alternatives><mml:math id="IEq312_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.88178</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq312_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.88178\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq312.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"><p><italic>t</italic></p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq313"><alternatives><mml:math id="IEq313_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq313_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq313.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq314"><alternatives><mml:math id="IEq314_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq314_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq314.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr><tr><th align="left"/><th align="left"><p><inline-formula id="IEq315"><alternatives><mml:math id="IEq315_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq315_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq315.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq316"><alternatives><mml:math id="IEq316_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq316_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq316.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq317"><alternatives><mml:math id="IEq317_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq317_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq317.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq318"><alternatives><mml:math id="IEq318_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq318_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq318.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq319"><alternatives><mml:math id="IEq319_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq319_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq319.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq320"><alternatives><mml:math id="IEq320_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq320_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq320.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq321"><alternatives><mml:math id="IEq321_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.55112</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq321_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.55112\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq321.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq322"><alternatives><mml:math id="IEq322_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq322_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq322.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq323"><alternatives><mml:math id="IEq323_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq323_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq323.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq324"><alternatives><mml:math id="IEq324_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.55112</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq324_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.55112\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq324.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq325"><alternatives><mml:math id="IEq325_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.33067</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq325_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.33067\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq325.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq326"><alternatives><mml:math id="IEq326_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq326_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq326.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq327"><alternatives><mml:math id="IEq327_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.33067</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq327_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.33067\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq327.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq328"><alternatives><mml:math id="IEq328_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq328_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq328.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq329"><alternatives><mml:math id="IEq329_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.55112</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq329_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.55112\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq329.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq330"><alternatives><mml:math id="IEq330_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.11022</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq330_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.11022\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq330.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq331"><alternatives><mml:math id="IEq331_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq331_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq331.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq332"><alternatives><mml:math id="IEq332_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq332_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq332.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq333"><alternatives><mml:math id="IEq333_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq333_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq333.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq334"><alternatives><mml:math id="IEq334_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.55112</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>17</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq334_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.55112\times 10^{-17}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq334.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure>
<figure id="Tab8"><h3>Table 8</h3>
<figcaption><p>Comparison of the AEs for 
<span id="IEq335"><mml:math id="IEq335_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq335_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3,\quad \mu =1,\quad \nu (t)=2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq335.gif"/></span>
 of application (4)</p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" rowspan="2"><p><italic>t</italic></p></th><th align="left" colspan="2"><p><inline-formula id="IEq336"><alternatives><mml:math id="IEq336_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq336_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =-0.3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq336.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left" colspan="2"><p>Ref. [<xref ref-type="bibr" rid="CR39">39</xref>]</p></th></tr><tr><th align="left"><p><inline-formula id="IEq337"><alternatives><mml:math id="IEq337_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq337_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq337.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq338"><alternatives><mml:math id="IEq338_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq338_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq338.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq339"><alternatives><mml:math id="IEq339_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq339_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq339.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq340"><alternatives><mml:math id="IEq340_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq340_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq340.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq341"><alternatives><mml:math id="IEq341_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.77636</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq341_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.77636\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq341.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq342"><alternatives><mml:math id="IEq342_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq342_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq342.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq343"><alternatives><mml:math id="IEq343_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq343_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq343.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq344"><alternatives><mml:math id="IEq344_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.11022</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq344_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.11022\times 10^{-15}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq344.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq345"><alternatives><mml:math id="IEq345_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq345_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq345.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq346"><alternatives><mml:math id="IEq346_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.66134</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq346_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.66134\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq346.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq347"><alternatives><mml:math id="IEq347_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq347_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq347.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq348"><alternatives><mml:math id="IEq348_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq348_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq348.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq349"><alternatives><mml:math id="IEq349_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.11022</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq349_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.11022\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq349.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq350"><alternatives><mml:math id="IEq350_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq350_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq350.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq351"><alternatives><mml:math id="IEq351_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.55112</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq351_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.55112\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq351.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq352"><alternatives><mml:math id="IEq352_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq352_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq352.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq353"><alternatives><mml:math id="IEq353_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.33067</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq353_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.33067\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq353.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq354"><alternatives><mml:math id="IEq354_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq354_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq354.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq355"><alternatives><mml:math id="IEq355_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.77156</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq355_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.77156\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq355.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq356"><alternatives><mml:math id="IEq356_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.22045</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq356_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.22045\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq356.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq357"><alternatives><mml:math id="IEq357_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.44089</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq357_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.44089\times 10^{-16}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq357.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure></p>
<p>The numerical results of application (4) are listed in Tables 
<a href="#Tab6"><sup>6</sup></a>
, 
<a href="#Tab7"><sup>7,</sup></a>
 and 
<a href="#Tab8"><sup>8</sup></a>
 and graphically illustrated in Fig. 
<a href="#Fig4"><sup>4</sup></a>
a–d. We tabulate the computational time at 
<span id="IEq358"><mml:math id="IEq358_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq358_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq358.gif"/></span>
 and the MAEs in Table 
<a href="#Tab6"><sup>6</sup></a>
 using the SFGOMs method with different choices of 
<span id="IEq359"><mml:math id="IEq359_Math"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq359_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq359.gif"/></span>
 at different values of 
<em>N</em>
. In addition, Table 
<a href="#Tab7"><sup>7</sup></a>
 lists the AEs for various values of 
<span id="IEq360"><mml:math id="IEq360_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq360_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq360.gif"/></span>
 The author of Ref. [
<a href="#CR39"><sup>39</sup></a>
] estimated the AS of 
<span id="IEq361"><mml:math id="IEq361_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq361_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq361.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq362"><mml:math id="IEq362_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq362_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq362.gif"/></span>
, and at Table 
<a href="#Tab8"><sup>8,</sup></a>
 we calculated the AEs from these results and compared them with the AEs of our technique to demonstrate the effective and precise of our method. To illustrate the convergence of the proposed technique, we plot the AEs between the ES and the AS of 
<span id="IEq363"><mml:math id="IEq363_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq363_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq363.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq364"><mml:math id="IEq364_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq364_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq364.gif"/></span>
 with 
<span id="IEq365"><mml:math id="IEq365_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq365_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=3, \mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq365.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq366"><mml:math id="IEq366_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq366_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq366.gif"/></span>
 in Fig. 
<a href="#Fig4"><sup>4</sup></a>
a and c, respectively. The agreement between the ES and AS of 
<span id="IEq367"><mml:math id="IEq367_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq367_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq367.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq368"><mml:math id="IEq368_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq368_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{2}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq368.gif"/></span>
 is depicted in Fig. 
<a href="#Fig4"><sup>4</sup></a>
b and d.</p></section></section>
<section><h2>Conclusion</h2>
<p>In this article, an effective and accurate numerical technique was used to find the approximate solutions of the VO-EF-DDEs and the system of VO-EF-DDEs. The numerical technique depended on the OMs of variable and integer-order derivatives of SFGPs in conjunction with the spectral collocation method. The used technique has the ability to transform the aforementioned problems into systems of algebraic equations which are easy to solve. Numerical studies for four applications are provided to demonstrate the accuracy, efficiency, and applicability of the used technique. The obtained numerical results indicated that satisfactory results are obtained by using a few terms of the SFGPs, also the efficiency of the estimated technique is increased by using more terms of SFGPs. The SFGPs are simple to compute, as well as they have a fast convergence rate. Another benefit of SFGPs is that for every choice of the SFG parameters 
<span id="IEq369"><mml:math id="IEq369_Math"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq369_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq369.gif"/></span>
 a good numerical solution is obtained. Also the computational results of Sect. 
<a href="#Sec8"><sup>5</sup></a>
 showed that the value of the parameter 
<span id="IEq370"><mml:math id="IEq370_Math"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq370_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq370.gif"/></span>
 affected on the numerical solutions as follows; when 
<span id="IEq371"><mml:math id="IEq371_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq371_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq371.gif"/></span>
, good solutions are obtained by using few terms of SFGPs while for non-integer values of 
<span id="IEq372"><mml:math id="IEq372_Math"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq372_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2022_459_Article_IEq372.gif"/></span>
 more terms of SFGPs are needed to obtain good results. So, we can conclude that the SGPs which are considered as a special case of SFGPs are more flexible and effective than SFGPs in the solved applications. Also, the obtained solutions do not require much CPU time. Finally, the material studied in this paper is novel, and the proposed technique can be extended to solve other fractional delay-differential equations.</p></section><hr/><h2>Acknowledgements</h2>
<p>The authors are very grateful to the referees, for their careful reading of the manuscript and insightful comments, which help to improve the quality of the paper.</p><hr/><h2>Publisher's Note</h2>
<p>Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</p>
<hr/><h2>References</h2>
<ol><li>Unknown () <em></em></li><li>Fowler (1931) <em>Further studies of Emden’s and similar differential equations</em> <a href="https://doi.org/10.1093/qmath/os-2.1.259" target="_blank">10.1093/qmath/os-2.1.259</a></li><li>Guirao et al. (2020) <em>Design and numerical solutions of a novel third-order nonlinear Emden-Fowler delay differential model</em> <a href="https://doi.org/10.1155/2020/7359242" target="_blank">10.1155/2020/7359242</a></li><li>Mall and Chakraverty (2015) <em>Numerical solution of nonlinear singular initial value problems of Emden-Fowler type using Chebyshev Neural Network method</em> <a href="https://doi.org/10.1016/j.neucom.2014.07.036" target="_blank">10.1016/j.neucom.2014.07.036</a></li><li>Boubaker and Van Gorder (2012) <em>Application of the BPES to Lane-Emden equations governing polytropic and isothermal gas spheres</em> <a href="https://doi.org/10.1016/j.newast.2012.02.003" target="_blank">10.1016/j.newast.2012.02.003</a></li><li>Flockerzi and Sundmacher (2011) <em>On coupled Lane-Emden equations arising in dusty fluid models</em> <a href="https://doi.org/10.1088/1742-6596/268/1/012006" target="_blank">10.1088/1742-6596/268/1/012006</a></li><li>Dehghan and Shakeri (2008) <em>Solution of an integro-differential equation arising in oscillating magnetic fields using He’s homotopy perturbation method</em> <a href="https://doi.org/10.2528/PIER07090403" target="_blank">10.2528/PIER07090403</a></li><li>Rach et al. (2014) <em>Solving coupled Lane-Emden boundary value problems in catalytic diffusion reactions by the Adomian decomposition method</em> <a href="https://doi.org/10.1007/s10910-013-0260-6" target="_blank">10.1007/s10910-013-0260-6</a></li><li>Taghavi and Pearce (2013) <em>A solution to the Lane-Emden equation in the theory of stellar structure utilizing the Tau method</em> <a href="https://doi.org/10.1002/mma.2676" target="_blank">10.1002/mma.2676</a></li><li>Khan et al. (2015) <em>Nature-inspired computing approach for solving non-linear singular Emden-Fowler problem arising in electromagnetic theory</em> <a href="https://doi.org/10.1080/09540091.2015.1092499" target="_blank">10.1080/09540091.2015.1092499</a></li><li>Luo et al. (2016) <em>Nonlinear asymptotic stability of the Lane-Emden solutions for the viscous gaseous star problem with degenerate density dependent viscosities</em> <a href="https://doi.org/10.1007/s00220-016-2753-1" target="_blank">10.1007/s00220-016-2753-1</a></li><li>Ramos (2003) <em>Linearization methods in classical and quantum mechanics</em> 153(2) (pp. 199-208) <a href="https://doi.org/10.1016/S0010-4655(03)00226-1" target="_blank">10.1016/S0010-4655(03)00226-1</a></li><li>Lane (1870) <em>ART. IX.-on the theoretical temperature of the sun; under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment</em> 50(148)</li><li>Momoniat and Harley (2006) <em>Approximate implicit solution of a Lane-Emden equation</em> <a href="https://doi.org/10.1016/j.newast.2006.02.004" target="_blank">10.1016/j.newast.2006.02.004</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Parand et al. (2010) <em>An approximation algorithm for the solution of the nonlinear Lane-Emden type equations arising in astrophysics using Hermite functions collocation method</em> <a href="https://doi.org/10.1016/j.cpc.2010.02.018" target="_blank">10.1016/j.cpc.2010.02.018</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Abd-Elhameed et al. (2014) <em>New solutions for singular Lane-Emden equations arising in astrophysics based on shifted ultraspherical operational matrices of derivatives</em> 2(3) (pp. 171-185)</li><li>Zhao (1995) <em>Global periodic-solutions for a differential delay system modeling a microbial population in the chemostat</em> <a href="https://doi.org/10.1006/jmaa.1995.1239" target="_blank">10.1006/jmaa.1995.1239</a></li><li>Niculescu (2001) <em></em> Springer</li><li>Erdogan et al. (2020) <em>A finite difference method on layer-adapted mesh for singularly perturbed delay differential equations</em> <a href="https://doi.org/10.2478/AMNS.2020.1.00040" target="_blank">10.2478/AMNS.2020.1.00040</a></li><li>Brunner et al. (2010) <em>Discontinuous Galerkin methods for delay differential equations of pantograph type</em> <a href="https://doi.org/10.1137/090771922" target="_blank">10.1137/090771922</a></li><li>Bhrawy and Zaky (2015) <em>Numerical simulation for two-dimensional variable-order fractional nonlinear cable equation</em> <a href="https://doi.org/10.1007/s11071-014-1854-7" target="_blank">10.1007/s11071-014-1854-7</a></li><li>Zhuang et al. (2009) <em>Numerical methods for the variable-order fractional advection-diffusion equation with a nonlinear source term</em> <a href="https://doi.org/10.1137/080730597" target="_blank">10.1137/080730597</a></li><li>Coimbra (2003) <em>Mechanics with variable-order differential operators</em> <a href="https://doi.org/10.1002/andp.200310032" target="_blank">10.1002/andp.200310032</a></li><li>Kumar and Chaudhary (2017) <em>Analysis of fractional order control system with performance and stability</em> (pp. 408-416)</li><li>Obembe et al. (2017) <em>Variable-order derivative time fractional diffusion model for heterogeneous porous media</em> <a href="https://doi.org/10.1016/j.petrol.2017.03.015" target="_blank">10.1016/j.petrol.2017.03.015</a></li><li>Cai et al. (2018) <em>A survey on fractional derivative modeling of power-law frequency-dependent viscous dissipative and scattering attenuation in acoustic wave propagation</em> <a href="https://doi.org/10.1115/1.4040402" target="_blank">10.1115/1.4040402</a></li><li>Ahmed and Melad (2018) <em>New numerical approach for solving fractional differential-algebraic equations</em> 9(2) (pp. 141-162)</li><li>Unknown () <em></em></li><li>El-Kalaawy et al. (2018) <em>A computationally efficient method for a class of fractional variational and optimal control problems using fractional Gegenbauer functions</em> 70(2)</li><li>El-Gindy et al. (2018) <em>Shifted Gegenbauer operational matrix and its applications for solving fractional differential equations</em> <a href="https://doi.org/10.21608/JOMES.2018.9463" target="_blank">10.21608/JOMES.2018.9463</a></li><li>Ahmed (2019) <em>Gegenbauer collocation algorithm for solving two-dimensional time-space fractional diffusion equations</em> <a href="https://doi.org/10.7546/CRABS.2019.08.04" target="_blank">10.7546/CRABS.2019.08.04</a></li><li>Doha (1991) <em>The coefficients of differentiated expansions and derivatives of ultraspherical polynomials</em> <a href="https://doi.org/10.1016/0898-1221(91)90089-M" target="_blank">10.1016/0898-1221(91)90089-M</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Sabir et al. (2020) <em>Neuro-swarm intelligent computing to solve the second-order singular functional differential model</em> <a href="https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-020-00440-6" target="_blank">10.1140/epjp/s13360-020-00440-6</a></li><li>Adel and Sabir (2020) <em>Solving a new design of nonlinear second-order Lane-Emden pantograph delay differential model via Bernoulli collocation method</em> <a href="https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-020-00449-x" target="_blank">10.1140/epjp/s13360-020-00449-x</a></li><li>Abdelkawy et al. (2020) <em>Numerical investigations of a new singular second-order nonlinear coupled functional Lane-Emden model</em> <a href="https://doi.org/10.1515/phys-2020-0185" target="_blank">10.1515/phys-2020-0185</a></li></ol>