<h1>A numerical scheme for the solution of neutral integro-differential equations including variable delay</h1>
			<ul class="item-list">
	        	        <li>
	            Burcu Gürbüz	            	            <abbr title="This is the corresponding author for this article">*</abbr>
	            	            	                <a href="mailto:burcu.gurbuz@uni-mainz.de" class="tiny-icon email-link mx-1" title="Email Burcu Gürbüz">
	                    Email
	                </a>
	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Johannes Gutenberg - University of Mainz, Mainz, DE andInstitute of Mathematics, Johannes Gutenberg-University Mainz, İMainz, DE">
	                1, 2	            </sup>
	            	        </li>
	        	    </ul>
	    	    <ol class="affiliations" aria-hidden="true">
	        <li>Johannes Gutenberg - University of Mainz, Mainz, DE</li><li>Institute of Mathematics, Johannes Gutenberg-University Mainz, İMainz, DE</li>	    </ol>
	    
<h2>Abstract</h2>
<p>In this study, an effective numerical technique has been introduced for finding the solutions of the first-order integro-differential equations including neutral terms with variable delays. The problem has been defined by using the neutral integro-differential equations with initial value. Then, an alternative numerical method has been introduced for solving these type of problems. The method is expressed by fundamental matrices, Laguerre polynomials with their matrix forms. Besides, the solution has been obtained by using the collocation points with regard to the reduced system of algebraic equations and Laguerre series.</p><hr/><section><h2>Introduction</h2>
<p>Delay differential equations in neutral type and integro-differential equations are of an attractive interest in many applications in science and engineering. In applied mathematics, they have an increasing enthusiasm by their implementation in dynamical systems, electrodynamics and mechanics as well. In recent years, numerical treatment of the neutral type integro-differential equations has been arised [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
]. These type of equations occur in mechanics, physics, technical problems such as progress for showing cutting and infeed grinding. Besides, they describe some procedures in chemistry and physics for reactors. Moreover, some well-known biological processes growth, death and birth are determined by neutral type equations. In ecological phenomena, some models with respect to the neutral type integro-differential equations are used for evolution equations of single species [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
]. Furthermore, many applications of these types of equations exist in medicine. For instance, sugar quantity in blood is modeled by using them; immunology, epidemiology, cancer chemotherapy may explain different aspects of human body interaction with diseases. As another example, in Fig. 
<a href="#Fig1"><sup>1</sup></a>
 model of pressure regulation of model of arterial blood is represented by the formulation of functional differential equations. In this figure, arterial vessels are shown by 
<em>A</em>
 and 
<em>B</em>
. These arterial vessels have connections to each other, blood flow from 
<em>A</em>
 to 
<em>B</em>
 has a rate which is shown by 
<em>Q</em>
, 
<em>R</em>
 represents peripheral resistance, and the heart productivity is denoted by 
<span id="IEq1"><mml:math id="IEq1_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">h</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${Q}_{\mathrm{h}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq1.gif"/></span>
. The incoming liquid rate is 
<span id="IEq2"><mml:math id="IEq2_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">in</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${Q}_{\mathrm{in}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq2.gif"/></span>
 while the outcoming rate is 
<span id="IEq3"><mml:math id="IEq3_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">out</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${Q}_{\mathrm{out}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq3.gif"/></span>
 [
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
]. Furthermore, epidemic of the human immunodeficiency virus (HIV) is modeled by the system of functional integro-differential equations. Besides, fishing process, river pollution control can be described and these examples are ecological applications in the ecology field.
<figure id="Fig1"><h3>Fig. 1</h3>
<figcaption><p>A diagram to describe the cardiovascular system</p></figcaption>
<img src="40096_2021_388_Fig1_HTML.png" /></figure></p>
<p>Neutral type delay integro-differential equations under the initial condition are of numerical solutions which have been reached by many authors. Such problems have difficulties in motivation but also often appear at numerical investigations. Functional integro-differential equations including Volterra type integrals have been searched with regard to numerical analysis aspect by Brunner [
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
]. Collocation methods have been applied for solving Volterra functional integral equations including non-vanishing delays [
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
]. Besides, in the literature, continuous spline collocation methods [
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
], Lagrange interpolation and Chebyshev interpolation [
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
], Adams–Moulton method [
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
], backward substitution method [
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
], continuous Runge–Kutta method [
<a href="#CR10"><sup>10</sup></a>
, 
<a href="#CR11"><sup>11</sup></a>
–
<a href="#CR12"><sup>12</sup></a>
], Spectral method [
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
] have been implemented in order to find the solutions of neutral type integro-differential equations including variable delays.</p>
<p>In this work, the following first-order integro-differential equation including neutral terms and variable delays is considered as
<section id="Equ1"><mml:math display="block" id="Equ1_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y^{\prime}(t) + P_{1} (t)y^{\prime}(t - \tau (t)) = P_{0} (t)y(t) + \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {K(t,s)y(s){\text{d}}s} + g(t),\quad 0 \le t,s \le b, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ1.gif"/></section>
under the initial condition
<section id="Equ2"><mml:math display="block" id="Equ2_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y^{\prime}(0) = \lambda_{0} , $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ2.gif"/></section>
where 
<span id="IEq4"><mml:math id="IEq4_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${P}_{0}\left(t\right), {P}_{1}\left(t\right), u\left(t\right), v\left(t\right), g(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq4.gif"/></span>
 and the delay term 
<span id="IEq5"><mml:math id="IEq5_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq5.gif"/></span>
 are defined as continuous functions for 
<span id="IEq6"><mml:math id="IEq6_Math"><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\infty > b > t \ge 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq6.gif"/></span>
. Here the aim is about finding a numerical solution 
<span id="IEq7"><mml:math id="IEq7_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq7.gif"/></span>
 by using the truncated Laguerre series of given problem (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
)–(
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
):
<section id="Equ3"><mml:math display="block" id="Equ3_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y_{N} (t) = \sum\limits_{n = 0}^{N} {a_{n} } L_{n} (t), $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ3.gif"/></section>
where 
<span id="IEq8"><mml:math id="IEq8_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_{n} ,\,n = 0,1,...,N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq8.gif"/></span>
 are unknown coefficients; 
<span id="IEq9"><mml:math id="IEq9_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$L_{n} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq9.gif"/></span>
 are the Laguerre polynomials for 
<span id="IEq10"><mml:math id="IEq10_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n = 0,1,...,N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq10.gif"/></span>
 and defined as
<section id="Equ4"><mml:math display="block" id="Equ4_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ L_{n} (t) = \sum\limits_{r = 0}^{n} {\frac{{( - 1)^{r} }}{r!}\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ r \\ \end{array} } \right)t^{r} } . $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ4.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Numerical method</h2>
<p>In this section, the numerical method based on Laguerre polynomials is introduced. The main advantage of the method lies in its straightforwardness since it has no aim for discretization as a reliable tool. On the other hand, Laguerre polynomials give powerful solutions, especially on the positive interval since its applications in several fields with these types of properties.</p>
<section><h2>Fundamental relations</h2>
<p>In here, the matrix forms of Eq. (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) are composed. First of all, it is organized as
<section id="Equ5"><mml:math display="block" id="Equ5_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ D_{3} + D_{2} = D_{1} + I + G, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ5.gif"/></section>
where
<section id="Equa"><mml:math display="block" id="Equa_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equa_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ D_{1} = P_{0} (t)y(t);\,\,\,\,D_{2} = P_{1} (t)y^{\prime}(t - \tau (t));\,\,\,D_{3} = y^{\prime}(t)\,;\,\,\,\,I = \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {K(t,s)y(s){\text{d}}s} ;\quad G = g(t). $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equa.gif"/></section></p>
<p>Then, the matrix form of the numerical solution (
<a href="#Equ3"><sup>3</sup></a>
) is considered as
<section id="Equ6"><mml:math display="block" id="Equ6_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left[ {y(t)} \right] = {\mathbf{L}}(t){\mathbf{A}}, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ6.gif"/></section>
where
<section id="Equb"><mml:math display="block" id="Equb_Math"><mml:mrow><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equb_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \;{\mathbf{L}}(t) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {L_{0} (t)} & {L_{1} (t)} & {L_{2} (t)} & \ldots & {L_{N} (t)} \\ \end{array} } \right]\;{\text{and}}\;{\mathbf{A}} = [a_{0} \;a_{1} \;...\;a_{N} ]^{T} . $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equb.gif"/></section>
here 
<span id="IEq11"><mml:math id="IEq11_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{L}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq11.gif"/></span>
 is defined as in the matrix form:
<section id="Equ7"><mml:math display="block" id="Equ7_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{L}}(t) = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{H}} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ7.gif"/></section>
where
<section id="Equc"><mml:math display="block" id="Equc_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>t</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equc_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{X}}(t) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & t & {t^{2} } & \ldots & {t^{N} } \\ \end{array} } \right], $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equc.gif"/></section>
<section id="Equd"><mml:math display="block" id="Equd_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equd_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{( - 1)^{0} }}{0!}\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)} & {\frac{{( - 1)^{0} }}{0!}\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)} & {\frac{{( - 1)^{0} }}{0!}\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ \end{array} } \right)} & \cdots & {\frac{{( - 1)^{0} }}{0!}\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 0 \\ \end{array} } \right)} \\ 0 & {\frac{{( - 1)^{1} }}{1!}\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right)} & {\frac{{( - 1)^{1} }}{1!}\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right)} & \cdots & {\frac{{( - 1)^{1} }}{1!}\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 1 \\ \end{array} } \right)} \\ 0 & 0 & {\frac{{( - 1)^{2} }}{2!}\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 2 \\ \end{array} } \right)} & \cdots & {\frac{{( - 1)^{2} }}{2!}\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 2 \\ \end{array} } \right)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & {\frac{{( - 1)^{N} }}{N!}\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ N \\ \end{array} } \right)} \\ \end{array} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equd.gif"/></section></p>
<p>Thus, the connection between 
<span id="IEq12"><mml:math id="IEq12_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{X}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq12.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq13"><mml:math id="IEq13_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{X^{\prime}}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq13.gif"/></span>
 is defined as
<section id="Equ8"><mml:math display="block" id="Equ8_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{X^{\prime}}}(t) = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{B}} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ8.gif"/></section>
in which
<section id="Eque"><mml:math display="block" id="Eque_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Eque_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & N & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Eque.gif"/></section></p>
<p>Therefore, the matrix relations (
<a href="#Equ7"><sup>7</sup></a>
) and (
<a href="#Equ8"><sup>8</sup></a>
) are used and 
<span id="IEq14"><mml:math id="IEq14_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{L^{\prime}}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq14.gif"/></span>
 is defined as follows
<section id="Equ9"><mml:math display="block" id="Equ9_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">BH</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{L^{\prime}}}(t) = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{BH}} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ9.gif"/></section></p>
<p>So that, from (
<a href="#Equ7"><sup>7</sup></a>
) and (
<a href="#Equ9"><sup>9</sup></a>
)
<section id="Equ10"><mml:math display="block" id="Equ10_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{X}}(t) = {\mathbf{L}}(t){\mathbf{H}}^{ - 1} ;\,\,\,{\mathbf{L^{\prime}}}(t) = {\mathbf{L}}(t){\mathbf{C}}, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ10.gif"/></section>
is obtained in which 
<span id="IEq15"><mml:math id="IEq15_Math"><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{C}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq15.gif"/></span>
 is described as
<section id="Equf"><mml:math display="block" id="Equf_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">pq</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">pq</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equf_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{C}} = \left[ {c_{pq} } \right],\,\,\,\,\,\,c_{pq} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - 1,\,\,p < q} \\ {0,\,\,\,p \ge q} \\ \end{array} } \right.. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equf.gif"/></section></p>
<p>Thus, from (
<a href="#Equ6"><sup>6</sup></a>
), (
<a href="#Equ7"><sup>7</sup></a>
), and (
<a href="#Equ10"><sup>10</sup></a>
) [
<a href="#CR14"><sup>14</sup></a>
]:
<section id="Equ11"><mml:math display="block" id="Equ11_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">CA</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left[ {y^{\prime}(t)} \right] = {\mathbf{L}}(t){\mathbf{CA}} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ11.gif"/></section></p>
<p>By replacing 
<span id="IEq16"><mml:math id="IEq16_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \to t - \tau (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq16.gif"/></span>
 into (11) and by using (9), we obtain
<section id="Equ12"><mml:math display="block" id="Equ12_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">CA</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">BHA</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">BHA</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left[ {y^{\prime}(t - \tau (t))} \right] = {\mathbf{L}}(t - \tau (t)){\mathbf{CA}} = {\mathbf{X}}(t - \tau (t)){\mathbf{BHA}} = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{T}}(t - \tau (t)){\mathbf{BHA}} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ12.gif"/></section>
where
<section id="Equg"><mml:math display="block" id="Equg_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equg_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{T}}\left( { - \tau (t)} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)\left( { - \tau (t)} \right)^{0} } & {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)\left( { - \tau (t)} \right)^{1} } & \ldots & {\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 0 \\ \end{array} } \right)\left( { - \tau (t)} \right)^{N} } \\ 0 & {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right)\left( { - \tau (t)} \right)^{0} } & \ldots & {\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 1 \\ \end{array} } \right)\left( { - \tau (t)} \right)^{N - 1} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ N \\ \end{array} } \right)\left( { - \tau (t)} \right)^{0} } \\ \end{array} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equg.gif"/></section></p>
<p>Diversely, the kernel function 
<span id="IEq17"><mml:math id="IEq17_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K(t,s)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq17.gif"/></span>
 is obtained by using the Taylor series as
<section id="Equh"><mml:math display="block" id="Equh_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equh_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ K(t,s) = \sum\limits_{i,j = 0}^{N} {k_{ij} t^{i} s^{j} \,} \,,\,\,\,k_{ij} = \frac{1}{i!j!}\frac{{\partial^{i + j} K(0,0)}}{{\partial t^{i} \partial s^{j} }},\,\,K = \left[ {k_{ij} } \right],\,\,i,j = 0,1,...,N. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equh.gif"/></section></p>
<p>Then, its matrix form is written as
<section id="Equ13"><mml:math display="block" id="Equ13_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">KX</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{K}}(t,s) = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{KX}}^{T} (s). $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ13.gif"/></section></p>
<p>By means of the relations (
<a href="#Equ9"><sup>9</sup></a>
) and (
<a href="#Equ13"><sup>13</sup></a>
), the integral part of Eq. (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) has a matrix form as
<section id="Equ14"><mml:math display="block" id="Equ14_Math"><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">KX</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">K</mml:mi><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">HA</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">KQ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">HA</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {{\mathbf{X}}(t){\mathbf{KX}}^{T} (s){\mathbf{L}}(s){\mathbf{A}}ds} = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{K}}\int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {{\mathbf{X}}^{T} (s){\mathbf{X}}(s)ds} {\mathbf{HA}} = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{KQ}}(t){\mathbf{HA}}, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ14.gif"/></section>
where
<section id="Equi"><mml:math display="block" id="Equi_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msup><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equi_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{Q}}(t) = \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {{\mathbf{X}}^{T} (s){\mathbf{X}}(s)ds} = \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {[s^{i + j} ]ds} = [q_{ij} (t)], $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equi.gif"/></section>
and
<section id="Equj"><mml:math display="block" id="Equj_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equj_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ q_{ij} (t) = \frac{{(t - v(t))^{i + j + 1} - (t - u(t))^{i + j + 1} }}{i + j + 1},\quad i,j = 0,1, \ldots ,N. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equj.gif"/></section></p>
<p>Similarly, from (
<a href="#Equ11"><sup>11</sup></a>
), the initial condition in Eq. (
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
) has the matrix form as
<section id="Equ15"><mml:math display="block" id="Equ15_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">CA</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left[ {y^{\prime}(0)} \right] = {\mathbf{L}}(0){\mathbf{CA}} = \left[ {\lambda_{0} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ15.gif"/></section></p>
<p>Therefore, we obtain the matrix forms of 
<span id="IEq18"><mml:math id="IEq18_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{1} ,\,D_{2} ,\,D_{3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq18.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq19"><mml:math id="IEq19_Math"><mml:mi>I</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$I$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq19.gif"/></span>
 in Eq. (
<a href="#Equ5"><sup>5</sup></a>
), from (
<a href="#Equ6"><sup>6</sup></a>
), (
<a href="#Equ12"><sup>12</sup></a>
), (
<a href="#Equ11"><sup>11</sup></a>
), and (
<a href="#Equ14"><sup>14</sup></a>
), respectively, as
<section id="Equk"><mml:math display="block" id="Equk_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">BHA</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">CA</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">KQ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">HA</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equk_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \begin{aligned} D_{1} & = {\mathbf{P}}_{0} (t){\mathbf{L}}(t){\mathbf{A}} \\ D_{2} & = {\mathbf{P}}_{1} (t){\mathbf{X}}(t){\mathbf{T}}(t - \tau (t)){\mathbf{BHA}} \\ D_{3} & = {\mathbf{L}}(t){\mathbf{CA}} \\ I & = {\mathbf{X}}(t){\mathbf{KQ}}(t){\mathbf{HA}}. \\ \end{aligned} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equk.gif"/></section></p>
<p>So that, Eq. (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) can be represented by the following matrix equation as
<section id="Equ16"><mml:math display="block" id="Equ16_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">CA</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">BHA</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">KQ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">HA</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{L}}(t){\mathbf{CA}} + {\mathbf{P}}_{1} (t){\mathbf{X}}(t){\mathbf{T}}(t - \tau (t)){\mathbf{BHA}} = {\mathbf{P}}_{0} (t){\mathbf{L}}(t){\mathbf{A}} + {\mathbf{X}}(t){\mathbf{KQ}}(t){\mathbf{HA}} + {\mathbf{G}}(t). $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ16.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Method of solution</h2>
<p>In this section, the collocation points are defined by
<section id="Equ17"><mml:math display="block" id="Equ17_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ t_{i} = \frac{b}{N}i,\quad i = 0,1, \ldots ,N $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ17.gif"/></section></p>
<p>Thus, the collocation points (
<a href="#Equ17"><sup>17</sup></a>
) are substituted into Eq. (
<a href="#Equ16"><sup>16</sup></a>
) and the fundamental matrix is obtained asor
<section id="Equl"><mml:math display="block" id="Equl_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">CA</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">BHA</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">KQ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">HA</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equl_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{L}}(t_{i} ){\mathbf{CA}} + {\mathbf{P}}_{1} (t_{i} ){\mathbf{X}}(t_{i} ){\mathbf{T}}(t_{i} - \tau (t_{i} )){\mathbf{BHA}} = {\mathbf{P}}_{0} (t_{i} ){\mathbf{L}}(t_{i} ){\mathbf{A}} + {\mathbf{X}}(t_{i} ){\mathbf{KQ}}(t_{i} ){\mathbf{HA}} + {\mathbf{G}}(t_{i} ) $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equl.gif"/></section>
<section id="Equ18"><mml:math display="block" id="Equ18_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">LC</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">XT</mml:mi><mml:mi>τ</mml:mi></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">BH</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">XKQH</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left\{ {{\mathbf{LC}} + {\mathbf{P}}_{1} {\mathbf{XT}}_{\tau } {\mathbf{BH}} - {\mathbf{P}}_{0} {\mathbf{L}} - {\mathbf{XKQH}}} \right\}{\mathbf{A}} = {\mathbf{G}} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ18.gif"/></section>
where
<section id="Equm"><mml:math display="block" id="Equm_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi><mml:mi>τ</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equm_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \begin{aligned} {\mathbf{L}} & = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {L_{0} (t_{0} )} & {L_{1} (t_{0} )} & \ldots & {L_{N} (t_{0} )} \\ {L_{0} (t_{1} )} & {L_{1} (t_{1} )} & \ldots & {L_{N} (t_{1} )} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {L_{0} (t_{N} )} & {L_{1} (t_{N} )} & \ldots & {L_{N} (t_{N} )} \\ \end{array} } \right],\,\,{\mathbf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {a_{0} } \\ {a_{1} } \\ \vdots \\ {a_{N} } \\ \end{array} } \right],\,{\mathbf{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {g(t_{0} )} \\ {g(t_{1} )} \\ \vdots \\ {g(t_{N} )} \\ \end{array} } \right], \hfill \\ \hfill \\ {\mathbf{P}}_{0} &= diag\left[ {\begin{array}{*{20}c} {P_{0} (t_{0} )} & {P_{0} (t_{1} )} & \ldots & {P_{0} (t_{N} )} \\ \end{array} } \right], \hfill \\ {\mathbf{P}}_{1} &= diag\left[ {\begin{array}{*{20}c} {P_{1} (t_{0} )} & {P_{1} (t_{1} )} & \ldots & {P_{1} (t_{N} )} \\ \end{array} } \right], \hfill \\ {\mathbf{X}} &= diag\left[ {\begin{array}{*{20}c} {X(t_{0} )} & {X(t_{1} )} & \ldots & {X(t_{N} )} \\ \end{array} } \right], \hfill \\ {\mathbf{T}}_{\tau } &= diag\left[ {\begin{array}{*{20}c} {X(t - \tau (t_{0} ))} & {X(t - \tau (t_{1} ))} & \ldots & {X(t - \tau (t_{N} ))} \\ \end{array} } \right]. \hfill \\ \end{aligned} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equm.gif"/></section></p>
<p>Briefly,
<section id="Equ19"><mml:math display="block" id="Equ19_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">WA</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mtext>or</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\mathbf{WA}} = {\mathbf{G}}\;{\text{or}}\;\left[ {{\mathbf{W}};\,{\mathbf{G}}} \right] $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ19.gif"/></section></p>
<p>Here we have the augmented matrix form of Eq. (
<a href="#Equ18"><sup>18</sup></a>
). Besides, we consider the initial condition which is given in Eq. (
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
). Its matrix form is defined in Eq. (
<a href="#Equ15"><sup>15</sup></a>
). By putting the row from (15) in place of the last row of (19),
<section id="Equn"><mml:math display="block" id="Equn_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mn>00</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mn>02</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mn>10</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>00</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>02</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equn_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\tilde{\mathbf{W}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\omega_{00} } & {\omega_{01} } & {\omega_{02} } & \ldots & {\omega_{0N} } \\ {\omega_{10} } & {\omega_{11} } & {\omega_{12} } & \ldots & {\omega_{1N} } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\omega_{(N - 1)0} } & {\omega_{(N - 1)1} } & {\omega_{(N - 1)2} } & \ldots & {\omega_{(N - 1)N} } \\ {u_{00} } & {u_{01} } & {u_{02} } & \ldots & {u_{0N} } \\ \end{array} } \right],\,\,\,{\tilde{\mathbf{G}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {g(t_{0} )} \\ {g(t_{1} )} \\ \vdots \\ {g(t_{N - 1} )} \\ {\lambda_{0} } \\ \end{array} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equn.gif"/></section></p>
<p>Then, we construct the new augmented matrix as
<section id="Equ20"><mml:math display="block" id="Equ20_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mtext>or</mml:mtext><mml:mspace width="0.277778em"/><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ {\tilde{\mathbf{W}}\mathbf{A}} = {\tilde{\mathbf{G}}}\;{\text{or}}\;\left[ {{\tilde{\mathbf{W}}};{\tilde{\mathbf{G}}}} \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ20.gif"/></section></p>
<p>In Eq. (
<a href="#Equ20"><sup>20</sup></a>
), if 
<span id="IEq20"><mml:math id="IEq20_Math"><mml:mrow><mml:mtext>rank</mml:mtext><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>rank</mml:mtext><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\text{rank}}\left[ {{\tilde{\mathbf{W}}}} \right] = {\text{rank}}\left[ {{\tilde{\mathbf{W}}};{\tilde{\mathbf{G}}}} \right] = N + 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq20.gif"/></span>
, then the coefficients matrix 
<span id="IEq21"><mml:math id="IEq21_Math"><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{A}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq21.gif"/></span>
 is uniquely determined with the help of Gauss Elimination procedure [
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
, 
<a href="#CR17"><sup>17</sup></a>
, 
<a href="#CR18"><sup>18</sup></a>
, 
<a href="#CR19"><sup>19</sup></a>
, 
<a href="#CR20"><sup>20</sup></a>
, 
<a href="#CR21"><sup>21</sup></a>
–
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
]. Then, by using Eq. (
<a href="#Equ3"><sup>3</sup></a>
), the problem (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
)–(
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
) is solved numerically and its numerical solution is obtained as in the form
<section id="Equo"><mml:math display="block" id="Equo_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≅</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equo_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y(t) \cong y_{N} (t) = \sum\limits_{n = 0}^{N} {a_{n} } L_{n} (t). $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equo.gif"/></section></p></section></section>
<section><h2>Analysis of the method</h2>
<p>In this section, some properties of the method are introduced. The stability of the collocation methods has been investigated previously by Brunner et al. [
<a href="#CR23"><sup>23</sup></a>
, 
<a href="#CR24"><sup>24</sup></a>
]. Besides, the stability of the related problem has been also considered by some authors [
<a href="#CR25"><sup>25</sup></a>
, 
<a href="#CR26"><sup>26</sup></a>
]. However, existence and uniqueness theorems and convergence of the method are given as follows.</p>
<section><h2>Convergence of the method</h2>
<section><h2>Definition 1</h2>
<p>Let 
<span id="IEq22"><mml:math id="IEq22_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq22.gif"/></span>
 be the approximate solution of the problem (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
)–(
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
) which has an exact solution as 
<span id="IEq23"><mml:math id="IEq23_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq23.gif"/></span>
. Then, the collocation method is said to be convergent if an only if
<section id="Equ21"><mml:math display="block" id="Equ21_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:munder><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left| {y_{N} (t_{i} ) - y(t_{i} )} \right| \to 0,\,\,\,\,i = 0,1, \ldots ,N, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ21.gif"/></section>
where 
<span id="IEq24"><mml:math id="IEq24_Math"><mml:mi>h</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq24.gif"/></span>
 is the step size and 
<span id="IEq25"><mml:math id="IEq25_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h \to 0,\,\,N \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq25.gif"/></span>
 [
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
, 
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
, 
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
, 
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
–
<a href="#CR31"><sup>31</sup></a>
].</p></section>
<section><h2>Definition 2</h2>
<p>If the largest number is 
<em>p</em>
 for the finite constant 
<em>C</em>
, then the method is of order 
<em>p</em>
 such that [
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
, 
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
, 
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
, 
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
–
<a href="#CR31"><sup>31</sup></a>
]
<section id="Equ22"><mml:math display="block" id="Equ22_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left| {y_{N} (t_{i} ) - y(t_{i} )} \right| \le Ch^{p} ,\,\,\,\,i = 0,1, \ldots ,N. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ22.gif"/></section>
where 
<span id="IEq26"><mml:math id="IEq26_Math"><mml:mi>h</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq26.gif"/></span>
 is the step size and 
<span id="IEq27"><mml:math id="IEq27_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h \to 0,\,\,N \to \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq27.gif"/></span>
 [
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
, 
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
–
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
].</p></section>
<section><h2>Theorem 1</h2>
<p><em>Consider the first-order integro-differential equation including neutral terms and variable delays in Eq.</em>
 (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) 
<em>under the initial condition</em>
 (
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
). 
<em>Then,</em></p>
<p><ul><li><p><span id="IEq28"><mml:math id="IEq28_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq28.gif"/></span>
<em>is continuous in</em>
<span id="IEq29"><mml:math id="IEq29_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0 \le t \le b$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq29.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><span id="IEq30"><mml:math id="IEq30_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K(t,s)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq30.gif"/></span>
<em>is a continuous function for</em>
<span id="IEq31"><mml:math id="IEq31_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0 \le t \le b$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq31.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq32"><mml:math id="IEq32_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\| y \right\| < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq32.gif"/></span>
,</p></li>
<li><p><span id="IEq33"><mml:math id="IEq33_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K(t,s)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq33.gif"/></span>
<em>satisfies a Lipschitz condition as follows</em>
<section id="Equ23"><mml:math display="block" id="Equ23_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left\| {K(t,s)y_{1} - K(t,s)y_{2} } \right\| \le L\left\| {y_{1} - y_{2} } \right\| $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ23.gif"/></section></p></li></ul></p>
<p><em>for all</em>
<span id="IEq34"><mml:math id="IEq34_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0 \le t,s \le b$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq34.gif"/></span>
. 
<em>Then, the problem</em>
 (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
)–(
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
) 
<em>has a unique solution</em>
 [
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
, 
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
, 
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
, 
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
–
<a href="#CR31"><sup>31</sup></a>
].</p></section>
<section><h2>Theorem 2</h2>
<p><em>Consider that</em>
<span id="IEq35"><mml:math id="IEq35_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g(t) \in C[I \times {\mathbb{R}}^{N} ,{\mathbb{R}}^{N} ]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq35.gif"/></span>
, 
<span id="IEq36"><mml:math id="IEq36_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K(t,s) \in C[I \times I \times {\mathbb{R}}^{N} ,{\mathbb{R}}^{N} ]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq36.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq37"><mml:math id="IEq37_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K(t,s) \in C[I \times I \times {\mathbb{R}}^{N} ,{\mathbb{R}}^{N} ]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq37.gif"/></span>
<em>for</em>
<span id="IEq38"><mml:math id="IEq38_Math"><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {\left| {K(t,s)y(s)} \right|ds} \le N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq38.gif"/></span>
<em>for</em>
<span id="IEq39"><mml:math id="IEq39_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0 \le t,s \le b$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq39.gif"/></span>
, 
<span id="IEq40"><mml:math id="IEq40_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y \in \Omega = \left\{ {\phi \in C[I,{\mathbb{R}}^{N} ]:\phi_{0} (0) = t_{0} \,{\text{and}}\,\left| {\phi (x) - \lambda_{0} \,} \right| \le b} \right\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq40.gif"/></span>
. 
<em>Then, our initial value problem (IVP) (1)-(2) has at least one solution</em>
 [
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
, 
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
, 
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
–
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
]
<em>.</em></p></section></section>
<section><h2>Existence and uniqueness</h2>
<section><h2>Theorem 3</h2>
<p><em>Consider the first-order integro-differential equation including neutral terms and variable delays in Eq</em>
. (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) 
<em>under the initial condition (2). Assume that </em>
<span id="IEq41"><mml:math id="IEq41_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq41.gif"/></span>
<em> and </em>
<span id="IEq42"><mml:math id="IEq42_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K(t,s)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq42.gif"/></span>
<em> are continuous functions which satisfy the Lipschitz conditions. Then,</em>
<section id="Equ24"><mml:math display="block" id="Equ24_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \begin{gathered} \left\| {g(t)y_{1} - g(t)y_{2} } \right\| \le L\left\| {y_{1} - y_{2} } \right\|, \hfill \\ \left\| {K(t,s)y_{1} - K(t,s)y_{2} } \right\| \le L\left\| {y_{1} - y_{2} } \right\|, \hfill \\ \end{gathered} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ24.gif"/></section></p>
<p><em>for every</em>
<span id="IEq43"><mml:math id="IEq43_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left| {t - t_{0} } \right| \le a$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq43.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq44"><mml:math id="IEq44_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left| {s - t_{0} } \right| \le a$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq44.gif"/></span>
<em>for any initial value</em>
<span id="IEq45"><mml:math id="IEq45_Math"><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{0}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq45.gif"/></span>
<em>and the positive constant</em>
<span id="IEq46"><mml:math id="IEq46_Math"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a > 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq46.gif"/></span>
, 
<span id="IEq47"><mml:math id="IEq47_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\| {y_{1} } \right\| < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq47.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq48"><mml:math id="IEq48_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="∥" open="∥"><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\| {y_{2} } \right\| < \infty$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq48.gif"/></span>
. 
<em>Then, the IVP has a unique solution</em>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>[
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
, 
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
–
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
].</p></section></section></section>
<section><h2>Accuracy</h2>
<p>In this section, the accuracy of the approximate solution is investigated. As an important factor for the numerical methods in the literature, the approximate solutions are corrected with regard to the residual error correction procedure. On the other hand, a brief error analysis is given in order to reach the approximation for the problem (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
)–(
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
).</p>
<section><h2>Residual correction</h2>
<p>In here, the residual correction is given in order to improve the solutions and for the comprehensive error analysis for the approximate solution of the problem (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
)–(
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
) [
<a href="#CR17"><sup>17</sup></a>
, 
<a href="#CR18"><sup>18</sup></a>
, 
<a href="#CR32"><sup>32</sup></a>
, 
<a href="#CR33"><sup>33</sup></a>
, 
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
, 
<a href="#CR35"><sup>35</sup></a>
, 
<a href="#CR36"><sup>36</sup></a>
–
<a href="#CR37"><sup>37</sup></a>
].
<section id="Equ25"><mml:math display="block" id="Equ25_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ R_{N} (t) = \left| {y^{\prime}_{N} (t) + P_{1} (t)y^{\prime}_{N} (t - \tau (t)) - P_{0} (t)y_{N} (t) - \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {K(t,s)y_{N} (s){\text{d}}s} } \right|,\quad y^{\prime}(0) = \lambda_{0} . $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ25.gif"/></section></p>
<p>Now, let us consider the error function as 
<span id="IEq49"><mml:math id="IEq49_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_{N} (t) = y(t) - y_{N} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq49.gif"/></span>
. Then, we construct an error problem in the form
<section id="Equ26"><mml:math display="block" id="Equ26_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msubsup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ e^{\prime}_{N} (t) + P_{1} (t)e^{\prime}_{N} (t - \tau (t)) = P_{0} (t)e_{N} (t) + \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {K(t,s)e_{N} (s){\text{d}}s} ,\quad e^{\prime}_{N} (0) = 0. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ26.gif"/></section></p>
<p>Subsequently, the numerical method is applied on the error problem in Eq. (
<a href="#Equ26"><sup>26</sup></a>
) and we have the approximate solution for the error function in the form as follows
<section id="Equ27"><mml:math display="block" id="Equ27_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ e_{N,M} (t) = \sum\limits_{n = 0}^{M} {a_{n}^{*} } L_{n} (t). $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ27.gif"/></section></p>
<p>Thus, the corrected approximate solution is obtained as
<section id="Equ28"><mml:math display="block" id="Equ28_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y_{N,M} (t) = y_{N} (t) + e_{N,M} (t). $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ28.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Error analysis</h2>
<p>In this section, we investigate the absolute error function 
<span id="IEq50"><mml:math id="IEq50_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{N} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq50.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq51"><mml:math id="IEq51_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t = t_{p} \in \left[ {a,b} \right],\,\,\,p = 0,1,2,...$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq51.gif"/></span>
.
<section id="Equ29"><mml:math display="block" id="Equ29_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="|" open="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≅</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ E_{N} (t_{p} ) = \left| {y_{N} (t_{p} ) - y^{\prime}(t_{p} ) - P_{1} (t_{p} )y^{\prime}(t_{p} - \tau (t_{p} )) + P_{0} (t_{p} )y(t_{p} ) + \int\limits_{t - u(t)}^{t - v(t)} {K(t_{p} ,s)y(s){\text{d}}s} } \right| \cong 0 $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ29.gif"/></section>
and the accuracy of the numerical solutions is checked. Specifically, if 
<span id="IEq52"><mml:math id="IEq52_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{N} (t_{q} ) \le 10^{{ - k_{q} }}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq52.gif"/></span>
 (
<span id="IEq53"><mml:math id="IEq53_Math"><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k_{q}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq53.gif"/></span>
 any positive integer) is small enough, then the approximation has its reliability.</p></section></section>
<section><h2>Algorithm</h2>
<p>In here, the present method is shown by its algorithm. The steps are explained clearly in order to see the implementation of the computer programming part of the work.

<figure id="Taba"><table frame="hsides" rules="groups"><tbody><tr><td align="left"><p>Step 0</p></td><td align="left"><p>Input initial data: <inline-formula id="IEq54"><alternatives><mml:math id="IEq54_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{0} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq54.gif"/></alternatives></inline-formula>, <inline-formula id="IEq55"><alternatives><mml:math id="IEq55_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{1} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq55.gif"/></alternatives></inline-formula>, <inline-formula id="IEq56"><alternatives><mml:math id="IEq56_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq56.gif"/></alternatives></inline-formula>, <inline-formula id="IEq57"><alternatives><mml:math id="IEq57_Math"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq57.gif"/></alternatives></inline-formula> and <inline-formula id="IEq58"><alternatives><mml:math id="IEq58_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq58.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 1</p></td><td align="left"><p>Set <inline-formula id="IEq59"><alternatives><mml:math id="IEq59_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m \le N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq59.gif"/></alternatives></inline-formula> for <inline-formula id="IEq60"><alternatives><mml:math id="IEq60_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m \in {\mathbb{N}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq60.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 2</p></td><td align="left"><p>Construct the matrices such as <inline-formula id="IEq61"><alternatives><mml:math id="IEq61_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf{L}}(t),\,\,{\mathbf{B}},\,{\mathbf{H}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq61.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 3</p></td><td align="left"><p>Replace in the fundamental equation</p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 4</p></td><td align="left"><p>Put the collocation points, <inline-formula id="IEq62"><alternatives><mml:math id="IEq62_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_{i} = \frac{b}{N}i,\quad i = 0,1, \ldots ,N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq62.gif"/></alternatives></inline-formula> into the fundamental equation in S3</p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 5</p></td><td align="left"><p>Calculate <inline-formula id="IEq63"><alternatives><mml:math id="IEq63_Math"><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left[ {{\mathbf{W}};{\mathbf{G}}} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq63.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 6</p></td><td align="left"><p>Compute the matrix for the initial condition</p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 7</p></td><td align="left"><p>Substitute the outcome from S6 into the matrix in S5 and get <inline-formula id="IEq64"><alternatives><mml:math id="IEq64_Math"><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">W</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>;</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left[ {{\tilde{\mathbf{W}}};{\tilde{\mathbf{G}}}} \right]$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq64.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 8</p></td><td align="left"><p>Determine the system in S7. Output: <inline-formula id="IEq65"><alternatives><mml:math id="IEq65_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{N} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq65.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 9</p></td><td align="left"><p>Accuracy check:<inline-formula id="IEq66"><alternatives><mml:math id="IEq66_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{N} (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq66.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 10</p></td><td align="left"><p>If <inline-formula id="IEq67"><alternatives><mml:math id="IEq67_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≅</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{N} (t_{q} ) \cong 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq67.gif"/></alternatives></inline-formula>. Stop</p></td></tr><tr><td align="left"><p>Step 11</p></td><td align="left"><p>Else back S1</p></td></tr></tbody></table></figure></p></section>
<section><h2>Numerical experiments</h2>
<section><p>Numerical experiments section gives us an idea about the method and its applicability, validity and reliability. The applications of this method have been implemented by using some numerical illustrations. Here Maple and MATLAB computer programs are used for the calculation algorithm and plotting.</p></section>
<section><h2>Example 1</h2>
<p>Firstly, the first-order Volterra integro-differential equation including neutral term and variable delay.
<section id="Equ30"><mml:math display="block" id="Equ30_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>15</mml:mn><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y^{\prime}(t) + \left( {\frac{{15t^{2} }}{2} + t + 1} \right)y^{\prime}(t - y(t)) = y(t) + \int\limits_{t - 1}^{t - (1 - 3t)} {y(s){\text{d}}s} ,\quad 0 \le t \le 1 $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ30.gif"/></section>
under the initial condition
<section id="Equ31"><mml:math display="block" id="Equ31_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y^{\prime}(0) = 1 $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ31.gif"/></section></p>
<p>Hereby approximate solution of (
<a href="#Equ30"><sup>30</sup></a>
)–(
<a href="#Equ31"><sup>31</sup></a>
) is found by using the algorithm of the present method for 
<em>N</em>
 = 
<em>4</em>
.
<section id="Equ32"><mml:math display="block" id="Equ32_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≅</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y(t) \cong y_{4} (t) = \sum\limits_{n = 0}^{4} {a_{n} } L_{n} (t) $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ32.gif"/></section></p>
<p>The collocation points (
<a href="#Equ17"><sup>17</sup></a>
) are set for 
<em>N</em>
 = 
<em>4</em>
 on the interval [0,1] which are as follows.
<section id="Equp"><mml:math display="block" id="Equp_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equp_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ t_{0} = 0,\,\,t_{1} = \frac{1}{4},\,\,t_{2} = \frac{1}{2}\,,\,\,t_{3} = \frac{3}{4}\,,\,\,t_{4} = 1. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equp.gif"/></section></p>
<p>Then, Eq. (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) has its fundamental matrix equation as</p>
<p><span id="IEq68"><mml:math id="IEq68_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">LC</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">XT</mml:mi><mml:mi>τ</mml:mi></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">BH</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">XKQH</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ {{\mathbf{LC}} + {\mathbf{P}}_{1} {\mathbf{XT}}_{\tau } {\mathbf{BH}} - {\mathbf{P}}_{0} {\mathbf{L}} - {\mathbf{XKQH}}} \right\}{\mathbf{A}} = {\mathbf{G}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq68.gif"/></span></p>
<p>where
<section id="Equq"><mml:math display="block" id="Equq_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>55</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>32</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>27</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>191</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>32</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>19</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>64</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>256</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>27</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>64</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>81</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>256</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>3</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>4</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>3</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>24</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equq_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \begin{aligned} {\mathbf{P}}_{1} & = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {55/32} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {27/8} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {191/32} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {19/2} \\ \end{array} } \right],\quad {\mathbf{P}}_{0} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right],\quad {\mathbf{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ {5/4} \\ {3/2} \\ {7/4} \\ 2 \\ \end{array} } \right], \\ {\mathbf{L}} & = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {L_{0} (0)} & {L_{1} (0)} & {L_{2} (0)} & {L_{3} (0)} & {L_{4} (0)} \\ {L_{0} (1/4)} & {L_{1} (1/4)} & {L_{2} (1/4)} & {L_{3} (1/4)} & {L_{4} (1/4)} \\ {L_{0} (1/2)} & {L_{1} (1/2)} & {L_{2} (1/2)} & {L_{3} (1/2)} & {L_{4} (1/2)} \\ {L_{0} (3/4)} & {L_{1} (3/4)} & {L_{2} (3/4)} & {L_{3} (3/4)} & {L_{4} (3/4)} \\ {L_{0} (1)} & {L_{1} (1)} & {L_{2} (1)} & {L_{3} (1)} & {L_{4} (1)} \\ \end{array} } \right],\quad {\mathbf{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - 1} & { - 1} & { - 1} & { - 1} \\ 0 & 0 & { - 1} & { - 1} & { - 1} \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} & { - 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right], \\ {\mathbf{X}} & = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & {1/4} & {1/16} & {1/64} & {1/256} \\ 1 & {1/2} & {1/4} & {1/8} & {1/16} \\ 1 & {3/4} & {9/16} & {27/64} & {81/256} \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} } \right],\quad {\mathbf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right],\quad {\mathbf{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & { - 1} & { - 2} & { - 3} & { - 4} \\ 0 & 0 & {1/2} & {3/2} & 3 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1/6} & { - 2/3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {1/24} \\ \end{array} } \right]. \\ \end{aligned} $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equq.gif"/></section></p>
<p>So, the augumented matrix is found as
<section id="Equr"><mml:math display="block" id="Equr_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtext>W</mml:mtext><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>G</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>20</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equr_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left[ {{\text{W}};\,{\text{G}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {2/5} & { - 1/5} & 0 & 0 & 0 & ; & 1 \\ {1/2} & { - 1/4} & 0 & 0 & 0 & ; & {5/4} \\ {3/5} & { - 3/10} & 0 & 0 & 0 & ; & {3/2} \\ {7/10} & { - 7/20} & 0 & 0 & 0 & ; & {7/4} \\ {4/5} & { - 2/5} & 0 & 0 & 0 & ; & 2 \\ \end{array} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equr.gif"/></section></p>
<p>Now, the initial condition is defined in (
<a href="#Equ31"><sup>31</sup></a>
) has the matrix form as
<section id="Equs"><mml:math display="block" id="Equs_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equs_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left[ {y^{\prime}(0)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equs.gif"/></section></p>
<p>So that the new augmented matrix is constructed as
<section id="Equt"><mml:math display="block" id="Equt_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mtext>W</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mover accent="true"><mml:mtext>G</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>20</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>;</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equt_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left[ {{\tilde{\text{W}}};\,{\tilde{\text{G}}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {2/5} & { - 1/5} & 0 & 0 & 0 & ; & 1 \\ {1/2} & { - 1/4} & 0 & 0 & 0 & ; & {5/4} \\ {3/5} & { - 3/10} & 0 & 0 & 0 & ; & {3/2} \\ {7/10} & { - 7/20} & 0 & 0 & 0 & ; & {7/4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ; & 0 \\ \end{array} } \right]. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equt.gif"/></section></p>
<p>By following the procedure, the system is solved, and then, 
<span id="IEq69"><mml:math id="IEq69_Math"><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq69.gif"/></span>
 Laguerre coefficients are found as follows
<section id="Equu"><mml:math display="block" id="Equu_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equu_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ a_{0} = 2,\,\,\,\,\,\,a_{1} = - 1,\,\,\,\,\,\,a_{2} = 0,\,\,\,\,\,a_{3} = 0,\,\,\,\,\,a_{4} = 0. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equu.gif"/></section></p>
<p>Consequently, these calculated coefficients are established and they are replaced in Eq. (
<a href="#Equ32"><sup>32</sup></a>
). Then, the exact solution of (
<a href="#Equ30"><sup>30</sup></a>
)–(
<a href="#Equ31"><sup>31</sup></a>
) is acquired as
<section id="Equ33"><mml:math display="block" id="Equ33_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y(t) = t + 1. $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ33.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Example 2</h2>
<p>As a second example, the first-order Volterra integro-differential equation including neutral term and delay is considered [
<a href="#CR37"><sup>37</sup></a>
]
<section id="Equ34"><mml:math display="block" id="Equ34_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>e</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y^{\prime}(t) = (\lambda - 1){\text{e}}^{(1 - t)} - (\lambda + 1)y(t) + y(t - 1) - \lambda \int\limits_{t - 1}^{t} {y(s){\text{d}}s} ,\quad t \ge 0, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ34.gif"/></section>
and the initial condition
<section id="Equ35"><mml:math display="block" id="Equ35_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y(0) = 1, $$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_Equ35.gif"/></section></p>
<p>corresponding to the exact solution 
<span id="IEq70"><mml:math id="IEq70_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mtext>exact</mml:mtext></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{{{\text{exact}}}} (t) = e^{t}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq70.gif"/></span>
. Correspondingly, the problem (34)-(35) is solved by the similar approach which is followed in Example 
<a href="#FPar8"><sup>1</sup></a>
. In Table 
<a href="#Tab1"><sup>1</sup></a>
, absolute errors for different 
<em>N</em>
 truncation values are demonstrated for their comparison. Herein this error comparison with different numerical methods: Laguerre collocation method (LCM) for 
<span id="IEq71"><mml:math id="IEq71_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq71.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq72"><mml:math id="IEq72_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=9$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq72.gif"/></span>
 and mixed spline/spectral method (MSSM) with 
<span id="IEq73"><mml:math id="IEq73_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h=0.2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq73.gif"/></span>
 in Table 
<a href="#Tab2"><sup>2</sup></a>
 and in Fig. 
<a href="#Fig1"><sup>1</sup></a>
. From these comparisons, we can see apparently that more suitable and efficient results are obtained for the smaller when we have increasing 
<em>N</em>
 value.
<figure id="Tab1"><h3>Table 1</h3>
<figcaption><p>Error comparison for different truncation values: 
<span id="IEq84"><mml:math id="IEq84_Math"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq84.gif"/></span>
=6, 8 and 10 for 
<span id="IEq85"><mml:math id="IEq85_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le t\le 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq85.gif"/></span>
 of Example 
<a href="#FPar9"><sup>2</sup></a>
 with 
<span id="IEq86"><mml:math id="IEq86_Math"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda =2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq86.gif"/></span></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"><p><inline-formula id="IEq87"><alternatives><mml:math id="IEq87_Math"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq87.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq88"><alternatives><mml:math id="IEq88_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{6} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq88.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq89"><alternatives><mml:math id="IEq89_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>8</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq89_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{8} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq89.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq90"><alternatives><mml:math id="IEq90_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>10</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq90_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{10} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq90.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td char="." align="char"><p>0.0</p></td><td align="left"><p>0.310003E−07</p></td><td align="left"><p>0.152872E−09</p></td><td align="left"><p>0.7290084 E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.1</p></td><td align="left"><p>0.362380 E−07</p></td><td align="left"><p>0.182554 E−09</p></td><td align="left"><p>0.8628143 E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.2</p></td><td align="left"><p>0.392103 E−07</p></td><td align="left"><p>0.179427 E−09</p></td><td align="left"><p>0.1005388 E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.3</p></td><td align="left"><p>0.452390 E−08</p></td><td align="left"><p>0.179520 E−09</p></td><td align="left"><p>0.1167447 E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.4</p></td><td align="left"><p>0.460112 E−08</p></td><td align="left"><p>0.748210 E−10</p></td><td align="left"><p>0.1371187 E−11</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.5</p></td><td align="left"><p>0.470210 E−08</p></td><td align="left"><p>0.739810 E−10</p></td><td align="left"><p>0.1634357 E−11</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.6</p></td><td align="left"><p>0.469890 E−08</p></td><td align="left"><p>0.741415 E−10</p></td><td align="left"><p>0.2083742 E−11</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.7</p></td><td align="left"><p>0.467535 E−08</p></td><td align="left"><p>0.741883 E−10</p></td><td align="left"><p>0.3533296 E−11</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.8</p></td><td align="left"><p>0.480254 E−08</p></td><td align="left"><p>0.741851 E−10</p></td><td align="left"><p>0.9147544 E−11</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.9</p></td><td align="left"><p>0.479244 E−08</p></td><td align="left"><p>0.758964 E−10</p></td><td align="left"><p>0.2819447 E−11</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>1.0</p></td><td align="left"><p>0.365974 E−07</p></td><td align="left"><p>0.120792 E−09</p></td><td align="left"><p>0.8338398 E−10</p></td></tr></tbody></table></figure>
<figure id="Tab2"><h3>Table 2</h3>
<figcaption><p>Errors comparison for 
<span id="IEq91"><mml:math id="IEq91_Math"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq91_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lambda =3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq91.gif"/></span>
 and different numerical methods for 
<span id="IEq92"><mml:math id="IEq92_Math"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq92_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2\le t\le 10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq92.gif"/></span>
 of Example 
<a href="#FPar9"><sup>2</sup></a></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"/><th align="left"><p>LCM</p></th><th align="left"><p>MSSM</p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p><inline-formula id="IEq93"><alternatives><mml:math id="IEq93_Math"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq93_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq93.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq94"><alternatives><mml:math id="IEq94_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq94_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_{9,10} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq94.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq95"><alternatives><mml:math id="IEq95_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq95_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h = 0.2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq95.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>2</p></td><td align="left"><p>1.139823 E−14</p></td><td align="left"><p>5.421496585000796 E−13</p></td></tr><tr><td align="left"><p>4</p></td><td align="left"><p>0.151262 E−16</p></td><td align="left"><p>6.515621375768887 E−14</p></td></tr><tr><td align="left"><p>6</p></td><td align="left"><p>0.141397 E−16</p></td><td align="left"><p>8.905202963926939 E−15</p></td></tr><tr><td align="left"><p>8</p></td><td align="left"><p>0.141953 E−16</p></td><td align="left"><p>1.222058478717036 E−15</p></td></tr><tr><td align="left"><p>10</p></td><td align="left"><p>0.153359 E−15</p></td><td align="left"><p>1.635112401379701 E−16</p></td></tr></tbody></table></figure></p></section>
<section><h2>Example 3</h2>
<p>Consider the first-order Volterra integro-differential equation including neutral term and delay from Eq. (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) with 
<span id="IEq74"><mml:math id="IEq74_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{1} (t) = v(t) = g(t) = 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq74.gif"/></span>
, 
<span id="IEq75"><mml:math id="IEq75_Math"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$K(t,s) = u(t) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq75.gif"/></span>
 and including a delay term 
<span id="IEq76"><mml:math id="IEq76_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(t - 1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq76.gif"/></span>
 together with 
<span id="IEq77"><mml:math id="IEq77_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{0} (t) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq77.gif"/></span>
. Moreover, the initial condition is given as 
<span id="IEq78"><mml:math id="IEq78_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y(0) = 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq78.gif"/></span>
 and the exact solution is 
<span id="IEq79"><mml:math id="IEq79_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">exact</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{exact} (t) = e^{t}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq79.gif"/></span>
. Then, the absolute errors for different 
<em>N</em>
 truncation values are demonstrated for their comparison in Table 
<a href="#Tab3"><sup>3</sup></a>
 and Fig. 
<a href="#Fig2"><sup>2</sup></a>
. Besides, we can see the numerical solutions with regard to Laguerre approach and exact solution of the problem in Fig. 
<a href="#Fig3"><sup>3</sup></a>
. From these comparisons, we can see apparently that more suitable and efficient results are obtained for the smaller when we have increasing 
<em>N</em>
 value. Subsequently, there are improved results with related to the Sect. 4.1. Residual correction helps for a better approximation and give smaller values for the error function which is shown in Table 
<a href="#Tab4"><sup>4</sup></a>
.
<figure id="Tab3"><h3>Table 3</h3>
<figcaption><p>Error comparison for different truncation values: 
<span id="IEq96"><mml:math id="IEq96_Math"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq96_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq96.gif"/></span>
=5, 6, 8 and 10 for 
<span id="IEq97"><mml:math id="IEq97_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq97_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le t\le 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq97.gif"/></span>
 of Example 
<a href="#FPar10"><sup>3</sup></a></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" colspan="5"><p>Laguerre collocation method (LCM) error results</p></th></tr><tr><th align="left"><p><inline-formula id="IEq98"><alternatives><mml:math id="IEq98_Math"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq98_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq98.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq99"><alternatives><mml:math id="IEq99_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>5</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq99_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{5} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq99.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq100"><alternatives><mml:math id="IEq100_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{6} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq100.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq101"><alternatives><mml:math id="IEq101_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>8</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{8} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq101.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq102"><alternatives><mml:math id="IEq102_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>10</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E_{10} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq102.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td char="." align="char"><p>0.0</p></td><td align="left"><p>0.1592426E−04</p></td><td align="left"><p>0.1460124E−05</p></td><td align="left"><p>0.1259787E−07</p></td><td align="left"><p>0.7290084E−09</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.1</p></td><td align="left"><p>0.3395409E−04</p></td><td align="left"><p>0.3266380E−05</p></td><td align="left"><p>0.1484878E−07</p></td><td align="left"><p>0.8628143E−09</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.2</p></td><td align="left"><p>0.7241097E−04</p></td><td align="left"><p>0.3894070E−05</p></td><td align="left"><p>0.1739167E−07</p></td><td align="left"><p>0.1005388E−08</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.3</p></td><td align="left"><p>0.1162061E−03</p></td><td align="left"><p>0.2697500E−05</p></td><td align="left"><p>0.2016250E−07</p></td><td align="left"><p>0.1167447E−08</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.4</p></td><td align="left"><p>0.1355990E−03</p></td><td align="left"><p>0.8985236E−06</p></td><td align="left"><p>0.2274026E−06</p></td><td align="left"><p>0.1371187E−08</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.5</p></td><td align="left"><p>0.8420424E−04</p></td><td align="left"><p>0.2892807E−05</p></td><td align="left"><p>0.2366310E−06</p></td><td align="left"><p>0.1634357E−08</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.6</p></td><td align="left"><p>0.1030002E−03</p></td><td align="left"><p>0.1772840E−04</p></td><td align="left"><p>0.1910115E−06</p></td><td align="left"><p>0.2083742E−08</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.7</p></td><td align="left"><p>0.5116663E−03</p></td><td align="left"><p>0.6075665E−04</p></td><td align="left"><p>0.5844883E−06</p></td><td align="left"><p>0.3533296E−08</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.8</p></td><td align="left"><p>0.1250068E−02</p></td><td align="left"><p>0.1554554E−03</p></td><td align="left"><p>0.4857541E−05</p></td><td align="left"><p>0.9147544E−08</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.9</p></td><td align="left"><p>0.2451094E−02</p></td><td align="left"><p>0.3354244E−03</p></td><td align="left"><p>0.1585916E−05</p></td><td align="left"><p>0.2819447E−07</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>1.0</p></td><td align="left"><p>0.4274240E−02</p></td><td align="left"><p>0.6465534E−03</p></td><td align="left"><p>0.3807165E−05</p></td><td align="left"><p>0.8338398E−07</p></td></tr></tbody></table></figure>
<figure id="Fig2"><h3>Fig. 2</h3>
<figcaption><p><span id="IEq81"><mml:math id="IEq81_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${E}_{N}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq81.gif"/></span>
 error comparison for Example 
<a href="#FPar9"><sup>2</sup></a></p></figcaption>
<img src="40096_2021_388_Fig2_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig3"><h3>Fig. 3</h3>
<figcaption><p>Comparison between exact solution with the numerical solutions with regard to Laguerre approach for 
<span id="IEq82"><mml:math id="IEq82_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=4, 5, 6, 8$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq82.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq83"><mml:math id="IEq83_Math"><mml:mrow><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq83.gif"/></span>
 in Example 
<a href="#FPar10"><sup>3</sup></a></p></figcaption>
<img src="40096_2021_388_Fig3_HTML.png" /></figure>
<figure id="Tab4"><h3>Table 4</h3>
<figcaption><p>Error functions for different iterations with improved results of Example 
<a href="#FPar10"><sup>3</sup></a></p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left"><p><inline-formula id="IEq103"><alternatives><mml:math id="IEq103_Math"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq103.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq104"><alternatives><mml:math id="IEq104_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_{5,6} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq104.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq105"><alternatives><mml:math id="IEq105_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_{6,7} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq105.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p><inline-formula id="IEq106"><alternatives><mml:math id="IEq106_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_{8,9} {(}t{)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq106.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr></thead><tbody><tr><td char="." align="char"><p>0.0</p></td><td align="left"><p>0.1942352E−07</p></td><td align="left"><p>0.2450211E−08</p></td><td align="left"><p>0.3221422E−09</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.1</p></td><td align="left"><p>0.1252100E−07</p></td><td align="left"><p>0.2451328E−08</p></td><td align="left"><p>0.3225781E−09</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.2</p></td><td align="left"><p>0.1278830E−07</p></td><td align="left"><p>0.2481209E−08</p></td><td align="left"><p>0.3236841E−09</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.3</p></td><td align="left"><p>0.1952003E−08</p></td><td align="left"><p>0.3709150E−09</p></td><td align="left"><p>0.3239577E−09</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.4</p></td><td align="left"><p>0.1955221E−08</p></td><td align="left"><p>0.3719104E−09</p></td><td align="left"><p>0.2715481E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.5</p></td><td align="left"><p>0.1825573E−08</p></td><td align="left"><p>0.3718551E−09</p></td><td align="left"><p>0.2716773E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.6</p></td><td align="left"><p>0.1821335E−08</p></td><td align="left"><p>0.3798133E−09</p></td><td align="left"><p>0.2720932E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.7</p></td><td align="left"><p>0.1865131E−08</p></td><td align="left"><p>0.3689412E−09</p></td><td align="left"><p>0.2810013E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.8</p></td><td align="left"><p>0.1033571E−07</p></td><td align="left"><p>0.3690155E−09</p></td><td align="left"><p>0.2812005E−10</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>0.9</p></td><td align="left"><p>0.1053218E−07</p></td><td align="left"><p>0.2954771E−08</p></td><td align="left"><p>0.3554127E−09</p></td></tr><tr><td char="." align="char"><p>1.0</p></td><td align="left"><p>0.2495782E−07</p></td><td align="left"><p>0.2961238E−08</p></td><td align="left"><p>0.3578220E−09</p></td></tr></tbody></table></figure></p></section></section>
<section><h2>Conclusion</h2>
<p>In this study, a powerful numerical technique to determine the numerical solutions of first-order integro-differential equations including neutral terms and variable delays is proposed. The technique affords approximate solutions of the problem which are mainly close enough to the exact solutions with respect to 
<span id="IEq80"><mml:math id="IEq80_Math"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2021_388_Article_IEq80.gif"/></span>
. Accuracy and applicability of the method have been proved by the visible results at the tables and the figures. The main advantages of this technique are including but not limited to straightforward coding, its apparent algorithm and accessible matrix calculations. Moreover, the error analysis including the residual correction supports the results with the additional error problem solution which is explained and applied in an example.</p>
<p>As a future outlook, this numerical study and the technique can be extended to other models with related to Volterra integro-differential equations including retarded term. However, some modifications are required [
<a href="#CR38"><sup>38</sup></a>
].</p></section><hr/><h2>Publisher's Note</h2>
<p>Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</p>
<hr/><h2>References</h2>
<ol><li>Bellen and Zennaro (2013) <em></em> Oxford University Press</li><li>Kolmanovskii and Myshkis (1992) <em></em> Springer <a href="https://doi.org/10.1007/978-94-015-8084-7" target="_blank">10.1007/978-94-015-8084-7</a></li><li>Godin et al. (1990) <em></em> Nauka</li><li>Brunner (2004) <em>The numerical analysis of functional integral and integro-differential equations of Volterra type</em></li><li>Ming and Huang (2017) <em>Collocation methods for Volterra functional integral equations with non-vanishing delays</em> 296(2017) (pp. 198-214)</li><li>Rawashdeh (2017) <em>Numerical treatment of neutral fractional Volterra integro-differential equations with infinite delay</em> 37(2017) (pp. 89-96)</li><li>Rashed (2004) <em>Numerical solution of functional differential integral and integro-differential equations</em> 156(2004) (pp. 485-492)</li><li>Jackiewicz (1981) <em>The numerical solution of Volterra functional differential equations of neutral type</em> 18(4) (pp. 615-626) <a href="https://doi.org/10.1137/0718040" target="_blank">10.1137/0718040</a></li><li>Reutskiy (2016) <em>The backward substitution method for multipoint problems with linear Volterra-Fredholm integro-differential equations of the neutral type</em> 296(2016) (pp. 724-738) <a href="https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.10.013" target="_blank">10.1016/j.cam.2015.10.013</a></li><li>Liu (1999) <em>Numerical solution of implicit neutral functional differential equations</em> 36(2) (pp. 516-528) <a href="https://doi.org/10.1137/S003614299731867X" target="_blank">10.1137/S003614299731867X</a></li><li>Enright and Hu (1997) <em>Continuous Runge–Kutta methods for neutral Volterra integro-differential equations with delay</em> 24(2–3) (pp. 175-190) <a href="https://doi.org/10.1016/S0168-9274(97)00019-6" target="_blank">10.1016/S0168-9274(97)00019-6</a></li><li>Koto (2002) <em>Stability of Runge–Kutta methods for delay integro-differential equations</em> 145(2) (pp. 483-492) <a href="https://doi.org/10.1016/S0377-0427(01)00596-9" target="_blank">10.1016/S0377-0427(01)00596-9</a></li><li>Sedaghat et al. (2014) <em>On spectral method for Volterra functional integro-differential equations of neutral type</em> 35(2) (pp. 223-239) <a href="https://doi.org/10.1080/01630563.2013.867189" target="_blank">10.1080/01630563.2013.867189</a></li><li>Gürbüz and Sezer (2017) <em>Modified Laguerre collocation method for solving 1-dimensional parabolic convection-diffusion problems</em> (pp. 1-7)</li><li>Özel et al. (2018) <em>A numerical approach for a nonhomogeneous differential equation with variable delays</em> 12(2) (pp. 145-155) <a href="https://doi.org/10.1007/s40096-018-0253-5" target="_blank">10.1007/s40096-018-0253-5</a></li><li>Yüzbaşı (2014) <em>Laguerre approach for solving pantograph-type Volterra integro-differential equations</em> (pp. 1183-1199)</li><li>Gürbüz and Sezer (2016) <em>An hybrid numerical algorithm with error estimation for a class of functional integro-differential equations</em> 29(2) (pp. 419-434)</li><li>Gürbüz et al. (2014) <em>Laguerre collocation method for solving Fredholm integro-differential equations with functional arguments</em> (pp. 1-12) <a href="https://doi.org/10.1155/2014/682398" target="_blank">10.1155/2014/682398</a></li><li>Gürbüz and Sezer (2020) <em>Modified operational matrix method for second-order nonlinear ordinary differential equations with quadratic and cubic terms</em> 10(2) (pp. 218-225) <a href="https://doi.org/10.11121/ijocta.01.2020.00827" target="_blank">10.11121/ijocta.01.2020.00827</a></li><li>Gürbüz (2020) <em>A novel method for solving a class of functional differential equations</em> 22(1) (pp. 66-79) <a href="https://doi.org/10.25092/baunfbed.673892" target="_blank">10.25092/baunfbed.673892</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Gökmen et al. (2018) <em>A numerical technique for solving functional integro-differential equations having variable bounds</em> 37(5) (pp. 5609-5623) <a href="https://doi.org/10.1007/s40314-018-0653-z" target="_blank">10.1007/s40314-018-0653-z</a></li><li>Brunner and Liang (2010) <em>Stability of collocation methods for delay differential equations with vanishing delays</em> 50(4) (pp. 693-711) <a href="https://doi.org/10.1007/s10543-010-0285-1" target="_blank">10.1007/s10543-010-0285-1</a></li><li>Brunner (2006) <em>The numerical solution of weakly singular Volterra functional integro-differential equations with variable delays</em> 5(2) <a href="https://doi.org/10.3934/cpaa.2006.5.261" target="_blank">10.3934/cpaa.2006.5.261</a></li><li>Zhao et al. (2005) <em>Stability analysis of numerical methods for linear neutral Volterra delay-integro-differential system</em> 167(2) (pp. 1062-1079)</li><li>Rihan et al. (2009) <em>Numerical treatments for Volterra delay integro-differential equations</em> 9(3) (pp. 292-318) <a href="https://doi.org/10.2478/cmam-2009-0018" target="_blank">10.2478/cmam-2009-0018</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Patade and Bhalekar (2020) <em>A novel numerical method for solving Volterra integro-differential equations</em> 6(1) (pp. 1-19) <a href="https://doi.org/10.1007/s40819-019-0762-4" target="_blank">10.1007/s40819-019-0762-4</a></li><li>Linz (1969) <em>A method for solving nonlinear Volterra integral equations of the second kind</em> 23(107) (pp. 595-599) <a href="https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1969-0247794-7" target="_blank">10.1090/S0025-5718-1969-0247794-7</a></li><li>Lakshmikantham and Rao (1995) <em></em> Gordon and Breach Science Publishers</li><li>Wang and Wang (2014) <em>Taylor collocation method and convergence analysis for the Volterra-Fredholm integral equations</em> (pp. 294-300) <a href="https://doi.org/10.1016/j.cam.2013.09.050" target="_blank">10.1016/j.cam.2013.09.050</a></li><li>Oliveira (1980) <em>Collocation and residual correction</em> 36(1) (pp. 27-31) <a href="https://doi.org/10.1007/BF01395986" target="_blank">10.1007/BF01395986</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Ainsworth and Oden (1993) <em>A unified approach to a posteriori error estimation using element residual methods</em> 65(1) (pp. 23-50) <a href="https://doi.org/10.1007/BF01385738" target="_blank">10.1007/BF01385738</a></li><li>Braess and Schöberl (2008) <em>Equilibrated residual error estimator for edge elements</em> 77(262) (pp. 651-672) <a href="https://doi.org/10.1090/S0025-5718-07-02080-7" target="_blank">10.1090/S0025-5718-07-02080-7</a></li><li>Braess et al. (2009) <em>Equilibrated residual error estimates are p-robust</em> 198(13–14) (pp. 1189-1197) <a href="https://doi.org/10.1016/j.cma.2008.12.010" target="_blank">10.1016/j.cma.2008.12.010</a></li><li>Unknown () <em></em></li><li>Hashemizadeh and Ebadi (2020) <em>A numerical solution by alternative Legendre polynomials on a model for novel coronavirus (COVID-19)</em> 2020(1) (pp. 1-12) <a href="https://doi.org/10.1186/s13662-020-02984-4" target="_blank">10.1186/s13662-020-02984-4</a></li></ol>