<h1>Certain numerical results in non-associative structures</h1>
			<ul class="item-list">
	        	        <li>
	            Behnam Azizi	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            Hossein Doostie	            	            <abbr title="This is the corresponding author for this article">*</abbr>
	            	            	                <a href="mailto:doostieh@yahoo.com" class="tiny-icon email-link mx-1" title="Email Hossein Doostie">
	                    Email
	                </a>
	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	    </ul>
	    	    <ul class="affiliations" aria-hidden="true">
	        <li>Department of Mathematics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR</li>	    </ul>
	    
<h2>Abstract</h2>
<p>The finite non-commutative and non-associative algebraic structures are indeed one of the special structures for their probabilistic results in some branches of mathematics. For a given integer 
<span id="IEq1"><mml:math id="IEq1_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq1.gif"/></span>
, the 
<em>n</em>
th-commutativity degree of a finite algebraic structure 
<em>S</em>
, denoted by 
<span id="IEq2"><mml:math id="IEq2_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_n(S)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq2.gif"/></span>
, is the probability that for chosen randomly two elements 
<em>x</em>
 and 
<em>y</em>
 of 
<em>S</em>
, the relator 
<span id="IEq3"><mml:math id="IEq3_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x^ny=yx^n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq3.gif"/></span>
 holds. This degree is specially a recognition tool in identifying such structures and studied for associative algebraic structures during the years. In this paper, we study the 
<em>n</em>
th-commutativity degree of two infinite classes of finite loops, which are non-commutative and non-associative. Also by deriving explicit expressions for 
<em>n</em>
th-commutativity degree of these loops, we will obtain best upper bounds for this probability.</p><hr/><section><h2>Introduction</h2>
<p>Every algebraic structure here is non-commutative. A quasi-group is a non-empty set with a binary operation such that for every three elements 
<em>x</em>
, 
<em>y</em>
 and 
<em>z</em>
 of that, the equation 
<span id="IEq4"><mml:math id="IEq4_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$xy=z$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq4.gif"/></span>
 has a unique solution in the set, whenever two of the three elements are specified. A quasi-group with a neutral element is called a loop, and following [
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
, 
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
, 
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
–
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
], and one may see the definition of Moufang loop satisfying four tantamount relators. These loops are of interest because they retain main properties of the groups [
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
, 
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
]. During the study of these loops an interesting class introduced by Chein [
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
, 
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
–
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
] where, for a finite group 
<em>G</em>
 and a new element 
<span id="IEq5"><mml:math id="IEq5_Math"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∉</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u, (u\notin G)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq5.gif"/></span>
, the loop 
<em>M</em>
(
<em>G</em>
, 2) is defined as 
<span id="IEq6"><mml:math id="IEq6_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M(G,2)=G\cup Gu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq6.gif"/></span>
 such that the binary operation in 
<em>M</em>
(
<em>G</em>
, 2) is defined by:
<section id="Equ1"><mml:math display="block" id="Equ1_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>o</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{array}{ll} goh=gh, &{} \hbox {if }g, h\in G, \\ go(hu)=(hg)u, &{} \hbox {if }g\in G,\quad hu\in Gu, \\ (gu)oh=(gh^{-1})u, &{} \hbox {if }gu\in Gu,\quad h\in G, \\ (gu)o(hu)=h^{-1}g, &{} \hbox {if }gu, hu\in Gu. \end{array} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ1.gif"/></section>
These loops are studied for their finiteness property in [
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
]. It is obvious that 
<em>M</em>
(
<em>G</em>
, 2) is non-associative if and only if the group 
<em>G</em>
 is non-abelian.</p>
<p>Following [
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
], recall the definition of 
<em>n</em>
th-commutativity degree of an algebraic structure 
<em>S</em>
, denoted by 
<span id="IEq7"><mml:math id="IEq7_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(S)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq7.gif"/></span>
, which is the probability that for two elements 
<em>x</em>
 and 
<em>y</em>
 of 
<em>S</em>
 the relator 
<span id="IEq8"><mml:math id="IEq8_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x^ny=yx^n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq8.gif"/></span>
 holds, for a given integer 
<span id="IEq9"><mml:math id="IEq9_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq9.gif"/></span>
. This degree has been studied mainly for associative algebraic structures during the years, one may consult Lescot [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
], for example. We here intend to consider two classes of non-associative algebraic structures and calculate their 
<em>n</em>
th-commutativity degree, for every integer 
<span id="IEq10"><mml:math id="IEq10_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq10.gif"/></span>
. Our considered classes of loops are 
<span id="IEq11"><mml:math id="IEq11_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M(D_{2m},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq11.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq12"><mml:math id="IEq12_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M(Q_{2^m},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq12.gif"/></span>
 where, for every 
<span id="IEq13"><mml:math id="IEq13_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq13.gif"/></span>
, 
<span id="IEq14"><mml:math id="IEq14_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq14.gif"/></span>
 is the dihedral group of order 2
<em>m</em>
 and 
<span id="IEq15"><mml:math id="IEq15_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq15.gif"/></span>
 is the generalized quaternion group of order 
<span id="IEq16"><mml:math id="IEq16_Math"><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2^m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq16.gif"/></span>
. Since these groups are non-abelian, the considered loops are non-associative loops. The 
<em>n</em>
th-commutativity degree of these loops will be calculated in “Main results” section, and the “Conclusion” section is devoted to study of upper bounds for the calculated probabilities.</p>
<p>To clear the terminology “
<em>n</em>
th-commutativity” we have to mention the difference between this definition and that of Lescot [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
] where, he used this terminology in the study of multiple commutativity degree of groups.</p></section>
<section><h2>Main results</h2>
<section><p>Some preliminaries on groups are needed. Let 
<em>G</em>
 be a finite group and 
<span id="IEq17"><mml:math id="IEq17_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq17.gif"/></span>
 be a positive integer. We consider the 
<em>n</em>
th-commutativity set of 
<em>G</em>
 as the following:
<section id="Equ2"><mml:math display="block" id="Equ2_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C^{n}(G)=\{(g_{1},g_{2}) \in G\times G\mid g_{1}g_{2}^{n}=g_{2}^{n}g_{1}\}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ2.gif"/></section>
A simple computation shows that for every finite group 
<em>G</em>
, 
<span id="IEq18"><mml:math id="IEq18_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|C^{n}(G)|\ge 2|G|-1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq18.gif"/></span>
. This set will be used in the computation of 
<span id="IEq19"><mml:math id="IEq19_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(G)=\frac{\vert C^{n}(G)\vert }{\vert G\vert ^{2}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq19.gif"/></span>
. Also we use the presentations 
<span id="IEq20"><mml:math id="IEq20_Math"><mml:mrow><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$<a, b \mid a^{m}=b^{2}=(ab)^{2}=1>$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq20.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq21"><mml:math id="IEq21_Math"><mml:mrow><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$<a, b \mid a^{2^{m-1}}=1, \quad b^{2}=a^{2^{m-2}},\quad (ab)^{2}=1>$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq21.gif"/></span>
 for the groups 
<span id="IEq22"><mml:math id="IEq22_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq22.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq23"><mml:math id="IEq23_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq23.gif"/></span>
, respectively. Our main results are:</p></section>
<section><h2>Proposition 2.1</h2>
<p><em>Let</em>
<em>G</em>
<em> be a finite non-abelian group and</em>
<span id="IEq24"><mml:math id="IEq24_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq24.gif"/></span>
<em> be a positive integer. If</em>
<span id="IEq25"><mml:math id="IEq25_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=M(G,2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq25.gif"/></span>
<em> is a finite Moufang loop, then</em>
<section id="Equ3"><mml:math display="block" id="Equ3_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\frac{1}{4}\left( P_{n}(G)+\frac{2\alpha +\beta }{|G|}\right) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ3.gif"/></section>
<em>where</em>
<span id="IEq26"><mml:math id="IEq26_Math"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq26.gif"/></span>
<em> is the number of involutions of G and</em>
<span id="IEq27"><mml:math id="IEq27_Math"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq27.gif"/></span>
<em> is the number of elements</em>
<span id="IEq28"><mml:math id="IEq28_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g\in G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq28.gif"/></span>
<em> such that</em>
<span id="IEq29"><mml:math id="IEq29_Math"><mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq29.gif"/></span>
<em> is involution</em>
.</p>
<p>Moreover, if 
<em>G</em>
 be of odd order. Then
<section id="Equ4"><mml:math display="block" id="Equ4_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\frac{1}{4}\left( P_{n}(G)+\frac{3}{|G|}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ4.gif"/></section></p></section>
<section><p>Two special cases of 
<em>G</em>
 where 
<span id="IEq30"><mml:math id="IEq30_Math"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G=D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq30.gif"/></span>
, the dihedral group of order 2
<em>m</em>
 and 
<span id="IEq31"><mml:math id="IEq31_Math"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G=Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq31.gif"/></span>
, the generalized quaternion group of order 
<span id="IEq32"><mml:math id="IEq32_Math"><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2^{m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq32.gif"/></span>
, give us two infinite classes of Moufang loops 
<span id="IEq33"><mml:math id="IEq33_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M(D_{2m},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq33.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq34"><mml:math id="IEq34_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M(Q_{2^{m}},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq34.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq35"><mml:math id="IEq35_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq35.gif"/></span>
 is a positive integer. In fact, we prove the following results about these classes of loops:</p></section>
<section><h2>Proposition 2.2</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq36"><mml:math id="IEq36_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=M(D_{2m},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq36.gif"/></span>
<em> be a finite Moufang loop, where</em>
<span id="IEq37"><mml:math id="IEq37_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq37.gif"/></span>
<em>, and n be an odd integer and</em>
<span id="IEq38"><mml:math id="IEq38_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(m,2n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq38.gif"/></span>
.
<em> Then,</em>
<section id="Equ5"><mml:math display="block" id="Equ5_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>16</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{3m+d+5}{8m}+\frac{1}{16r}+\frac{1}{16}, &{} &{} m \, is \, odd,\\ &{} &{}\\ \frac{3m+5}{8m}+\frac{1}{8r}+\frac{1}{16}, &{} &{} m \, is \, even, \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ5.gif"/></section>
<em>where</em>
<span id="IEq39"><mml:math id="IEq39_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=\frac{m}{g.c.d(m,n)}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq39.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Proposition 2.3</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq40"><mml:math id="IEq40_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=M(Q_{2^{m}},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq40.gif"/></span>
<em> be a finite Moufang loop, where</em>
<span id="IEq41"><mml:math id="IEq41_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq41.gif"/></span>
<em>, and n be an integer and</em>
<span id="IEq42"><mml:math id="IEq42_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(2^{m-1},2n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq42.gif"/></span>
.
<em> Then,</em>
<section id="Equ6"><mml:math display="block" id="Equ6_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>is</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>odd</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>8</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>5</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{7+d}{2^{m+2}}+\frac{1}{16}, &{} &{} { n} \text{ is } \text{ odd },\\ &{} &{}\\ \frac{4+d}{2^{m+2}}+\frac{3}{8}, &{} &{} n\equiv 0~(mod ~2^{m-2}),\\ &{} &{}\\ \frac{4+d}{2^{m+2}}+\frac{1}{2^{r+4}}+\frac{5}{16}, &{} &{} n\equiv \pm 2^{r}~(mod ~2^{m-2}), \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ6.gif"/></section>
<em>where</em>
<span id="IEq43"><mml:math id="IEq43_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=1,2,\dots , m-3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq43.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>At first, we give certain preliminary results as in the following lemmas:</p></section>
<section><h2>Lemma 2.4</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq44"><mml:math id="IEq44_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq44.gif"/></span>
<em> be a dihedral group, where</em>
<span id="IEq45"><mml:math id="IEq45_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq45.gif"/></span>
<em>, and n be an odd integer,</em>
<span id="IEq46"><mml:math id="IEq46_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(m,n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq46.gif"/></span>
<em> and</em>
<span id="IEq47"><mml:math id="IEq47_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=\frac{m}{d}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq47.gif"/></span>
.
<em> Then</em>
<section id="Equ7"><mml:math display="block" id="Equ7_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} | C^{n}(D_{2m})|=\left\{ \begin{array}{lll} m^{2}+2m+\frac{m^{2}}{r}, &{} &{} m \, is \, odd,\\ &{} &{}\\ m^{2}+2\left( 2m+\frac{m^{2}}{r}\right) , &{} &{} m \, is \, even.\\ \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ7.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Let 
<em>m</em>
 be an odd integer and we know that 
<span id="IEq48"><mml:math id="IEq48_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}=A\cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq48.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq49"><mml:math id="IEq49_Math"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A=\{ 1,a, \dots , a^{{m-1}} \}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq49.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq50"><mml:math id="IEq50_Math"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B=\{b, ab, \dots , a^{m-1}b\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq50.gif"/></span>
. Clearly 
<span id="IEq51"><mml:math id="IEq51_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|A^{n}|=\frac{|A|}{d}=\frac{m}{d}=r$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq51.gif"/></span>
, and the element 
<span id="IEq52"><mml:math id="IEq52_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1\in A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq52.gif"/></span>
 commutes with all the elements of 
<span id="IEq53"><mml:math id="IEq53_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq53.gif"/></span>
 and each other element of 
<span id="IEq54"><mml:math id="IEq54_Math"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq54.gif"/></span>
 commutes with all the elements 
<span id="IEq55"><mml:math id="IEq55_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a, \dots ,\ a^{{m-1}}\in D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq55.gif"/></span>
. This implies that there are 
<span id="IEq56"><mml:math id="IEq56_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d\times (2m+(r-1)m)=m^{2}+\frac{m^{2}}{r}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq56.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq57"><mml:math id="IEq57_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(a,g)\in A\times D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq57.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq58"><mml:math id="IEq58_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a^{n}g=ga^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq58.gif"/></span>
. Also 
<span id="IEq59"><mml:math id="IEq59_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B^{n}=\{(a^{j}b)^{n}\mid a^{j}b\in B, \quad 0\le j\le m-1\}=B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq59.gif"/></span>
 and each element of 
<em>B</em>
 commutes with two elements 1 and itself. So there are 2
<em>m</em>
 pairs as 
<span id="IEq60"><mml:math id="IEq60_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(b,g)\in B\times D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq60.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq61"><mml:math id="IEq61_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b^{n}g=gb^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq61.gif"/></span>
. Consequently,
<section id="Equ8"><mml:math display="block" id="Equ8_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( D_{2m}\right) |=2m+m^{2}+\frac{m^{2}}{r}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ8.gif"/></section>
Now suppose that 
<em>m</em>
 be an even integer. Then, 
<span id="IEq62"><mml:math id="IEq62_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|A^{n}|=\frac{|A|}{d}=\frac{m}{d}=r$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq62.gif"/></span>
 and the elements 
<span id="IEq63"><mml:math id="IEq63_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a^{r}\in A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq63.gif"/></span>
 are central elements. Also, other elements of 
<span id="IEq64"><mml:math id="IEq64_Math"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq64.gif"/></span>
 commute with all of the elements 
<span id="IEq65"><mml:math id="IEq65_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a, \dots ,\ a^{m-1}\in D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq65.gif"/></span>
. Thus there are 
<span id="IEq66"><mml:math id="IEq66_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d(2(2m)+m(r-2))=m^{2}+2\frac{m^{2}}{r}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq66.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq67"><mml:math id="IEq67_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(a,g)\in A\times D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq67.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq68"><mml:math id="IEq68_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a^{n}g=ga^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq68.gif"/></span>
. In addition, 
<span id="IEq69"><mml:math id="IEq69_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B^{n}=B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq69.gif"/></span>
 and each element 
<span id="IEq70"><mml:math id="IEq70_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a^{i}b~(0\le i \le m-1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq70.gif"/></span>
 of the set 
<em>B</em>
 commutes with the four elements 
<span id="IEq71"><mml:math id="IEq71_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\{1,a^{\frac{m-2}{2}}, a^{i}b, a^{j}b \}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq71.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq72"><mml:math id="IEq72_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le i , j \le m-1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq72.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq73"><mml:math id="IEq73_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|i-j|=\frac{m}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq73.gif"/></span>
. So there are 4
<em>m</em>
 pairs as 
<span id="IEq74"><mml:math id="IEq74_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(b,g)\in B\times D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq74.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq75"><mml:math id="IEq75_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b^{n}g=gb^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq75.gif"/></span>
. So we get
<section id="Equ9"><mml:math display="block" id="Equ9_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( D_{2m}\right) |=4m+m^{2}+\frac{2m^{2}}{r}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ9.gif"/></section>
<span id="IEq76"><mml:math id="IEq76_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq76.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Lemma 2.5</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq77"><mml:math id="IEq77_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq77.gif"/></span>
<em> be a dihedral group, where</em>
<span id="IEq78"><mml:math id="IEq78_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq78.gif"/></span>
<em>, and n be an even integer,</em>
<span id="IEq79"><mml:math id="IEq79_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(m,n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq79.gif"/></span>
<em> and</em>
<span id="IEq80"><mml:math id="IEq80_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=\frac{m}{d}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq80.gif"/></span>
.
<em> Then,</em>
<section id="Equ10"><mml:math display="block" id="Equ10_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>is</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>even</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>is</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>odd</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \vert C^n\left( D_{2m}\right) \vert =\left\{ \begin{array}{ll} 3m^{2}+\frac{2m^2}{r}, &{} r \text{ is } \text{ even },\\ &{} \\ 3m^{2}+\frac{m^2}{r}, &{} r \text{ is } \text{ odd }. \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ10.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Let 
<em>r</em>
 be an even integer and we know that 
<span id="IEq81"><mml:math id="IEq81_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}=A\cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq81.gif"/></span>
. Clearly 
<span id="IEq82"><mml:math id="IEq82_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|A^{n}|=\frac{|A|}{d}=\frac{m}{d}=r$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq82.gif"/></span>
 and the elements 
<span id="IEq83"><mml:math id="IEq83_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a^{r} \in A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq83.gif"/></span>
 commute with all the elements of 
<span id="IEq84"><mml:math id="IEq84_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq84.gif"/></span>
 and each other element of 
<span id="IEq85"><mml:math id="IEq85_Math"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq85.gif"/></span>
 commutes with the elements 
<span id="IEq86"><mml:math id="IEq86_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a, \dots ,\ a^{{m-1}}\in D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq86.gif"/></span>
. This implies that there are 
<span id="IEq87"><mml:math id="IEq87_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d\times (2(2m)+(r-2)m)=m\frac{m}{r}(r+2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq87.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq88"><mml:math id="IEq88_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(a,g)\in A\times D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq88.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq89"><mml:math id="IEq89_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq89_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a^{n}g=ga^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq89.gif"/></span>
. Also 
<span id="IEq90"><mml:math id="IEq90_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq90_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B^{n}=\{(a^{j}b)^{n}\mid a^{j}b\in B,\quad 0\le j\le m-1\}=B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq90.gif"/></span>
 and each element of 
<em>B</em>
 commutes with all elements of 
<span id="IEq91"><mml:math id="IEq91_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq91_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq91.gif"/></span>
. So there are 
<span id="IEq92"><mml:math id="IEq92_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq92_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2m|B|=2m^{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq92.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq93"><mml:math id="IEq93_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq93_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(b,g)\in B\times D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq93.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq94"><mml:math id="IEq94_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq94_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b^{n}g=gb^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq94.gif"/></span>
. Consequently,
<section id="Equ11"><mml:math display="block" id="Equ11_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( D_{2m}\right) |=2m^{2}+m\frac{m}{r}\left( r+2\right) = 3m^{2}+\frac{2m^{2}}{r}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ11.gif"/></section>
The proof is similar, when 
<em>r</em>
 be an odd integer. 
<span id="IEq95"><mml:math id="IEq95_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq95_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq95.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Lemma 2.6</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq96"><mml:math id="IEq96_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq96_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq96.gif"/></span>
<em> be a generalized quaternion group, where</em>
<span id="IEq97"><mml:math id="IEq97_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq97_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq97.gif"/></span>
<em>, and n be an odd integer. Then,</em>
<section id="Equ12"><mml:math display="block" id="Equ12_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( Q_{2^{m}}\right) |=2^{m}\left( 3+2^{m-2}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ12.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Let 
<em>n</em>
 be an odd integer and note that 
<span id="IEq98"><mml:math id="IEq98_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq98_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}=A\cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq98.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq99"><mml:math id="IEq99_Math"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq99_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A=\{ 1, a, \dots , a^{2^{m-1}-1} \}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq99.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq100"><mml:math id="IEq100_Math"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B=\{b, ab, \dots , a^{2^{m-1}-1}b\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq100.gif"/></span>
. Clearly 
<span id="IEq101"><mml:math id="IEq101_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">jn</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A^{n}=\{a^{jn}\mid a^{j}\in A, \quad 0\le j\le 2^{m-1}-1\}=A$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq101.gif"/></span>
. Obviously the elements 
<span id="IEq102"><mml:math id="IEq102_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a^{2^{m-2}} \in A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq102.gif"/></span>
 are central elements in 
<span id="IEq103"><mml:math id="IEq103_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq103.gif"/></span>
 and each other element of 
<span id="IEq104"><mml:math id="IEq104_Math"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq104.gif"/></span>
 commutes with all the elements 
<span id="IEq105"><mml:math id="IEq105_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a, \dots ,\ a^{2^{m-1}}\in Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq105.gif"/></span>
. So there are 
<span id="IEq106"><mml:math id="IEq106_Math"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2(2^{m})+(2^{m-1}-2)2^{m-1}= 2^{m}(1+2^{m-2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq106.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq107"><mml:math id="IEq107_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq107_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(a,g)\in A\times Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq107.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq108"><mml:math id="IEq108_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq108_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a^{n}g=ga^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq108.gif"/></span>
. Also 
<span id="IEq109"><mml:math id="IEq109_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq109_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B^{n}=B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq109.gif"/></span>
 and each element of 
<em>B</em>
 commutes with the four elements in 
<span id="IEq110"><mml:math id="IEq110_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq110_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq110.gif"/></span>
. This shows that there are 
<span id="IEq111"><mml:math id="IEq111_Math"><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq111_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4(2^{m-1})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq111.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq112"><mml:math id="IEq112_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq112_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(a,g)\in B\times Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq112.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq113"><mml:math id="IEq113_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq113_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b^{n}g=gb^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq113.gif"/></span>
. Hence,
<section id="Equ13"><mml:math display="block" id="Equ13_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( Q_{2^{m}}\right) |=2^{m}\left( 1+2^{m-2}\right) +4\left( 2^{m-1}\right) =2^{m}\left( 3+2^{m-2}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ13.gif"/></section>
<span id="IEq114"><mml:math id="IEq114_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq114_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq114.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Lemma 2.7</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq115"><mml:math id="IEq115_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq115_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq115.gif"/></span>
<em> be a generalized quaternion group, where</em>
<span id="IEq116"><mml:math id="IEq116_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq116_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq116.gif"/></span>
<em>, and n be an even integer. Then,</em>
<section id="Equ14"><mml:math display="block" id="Equ14_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>3</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="1em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( Q_{2^{m}}\right) |=\left\{ \begin{array}{lll} 2^{2m}, &{} &{} n\equiv 0\quad (mod ~ 2^{m-2}),\\ &{}&{}\\ 3(2^{2m-2})+2^{2m-r-2}, &{} &{}n\equiv \pm 2^{r}\quad (mod ~ 2^{m-2}), \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ14.gif"/></section>
<em>where</em>
<span id="IEq117"><mml:math id="IEq117_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq117_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=1,2,\dots , m-3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq117.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>If 
<span id="IEq118"><mml:math id="IEq118_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq118_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\equiv 0~(mod~2^{m-2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq118.gif"/></span>
, then 
<span id="IEq119"><mml:math id="IEq119_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∣</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq119_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}^{n}=\{g^{n}\mid g\in Q_{2^{m}}\}=\{1\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq119.gif"/></span>
. So,
<section id="Equ15"><mml:math display="block" id="Equ15_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( Q_{2^{m}}\right) |=2^{m}2^{m}=2^{2m}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ15.gif"/></section>
Now suppose that 
<span id="IEq120"><mml:math id="IEq120_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq120_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\equiv \pm 2^{r}~(mod~2^{m-2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq120.gif"/></span>
. We know that 
<span id="IEq121"><mml:math id="IEq121_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq121_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}=A\cup B$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq121.gif"/></span>
. Clearly 
<span id="IEq122"><mml:math id="IEq122_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq122_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(2^{m-1},n)=\frac{2^m}{2^{r+2}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq122.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq123"><mml:math id="IEq123_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq123_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|A^{n}|=\frac{|A|}{d}=2^{r+1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq123.gif"/></span>
. Also the elements 
<span id="IEq124"><mml:math id="IEq124_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq124_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a^{2^{r}}\in A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq124.gif"/></span>
 are central elements in 
<span id="IEq125"><mml:math id="IEq125_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq125_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq125.gif"/></span>
 and each other element of 
<span id="IEq126"><mml:math id="IEq126_Math"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq126_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$A^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq126.gif"/></span>
 commutes with all the elements 
<span id="IEq127"><mml:math id="IEq127_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq127_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1, a, \dots , a^{2^{m-1}-1}\in Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq127.gif"/></span>
. So there are 
<span id="IEq128"><mml:math id="IEq128_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq128_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d\times (2(2^{m})+(2^{r+1}-2)2^{m-1})=2^{2m-r-2}+2^{2m-2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq128.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq129"><mml:math id="IEq129_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq129_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(a,g)\in A\times Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq129.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq130"><mml:math id="IEq130_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq130_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a^{n}g=ga^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq130.gif"/></span>
. On the other hand, for every 
<span id="IEq131"><mml:math id="IEq131_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq131_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le j\le 2^{m-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq131.gif"/></span>
 we have 
<span id="IEq132"><mml:math id="IEq132_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq132_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(a^{j}b)^{n}=b^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq132.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq133"><mml:math id="IEq133_Math"><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq133_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq133.gif"/></span>
 is equal to 1 or 
<span id="IEq134"><mml:math id="IEq134_Math"><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq134_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a^{2^{m-2}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq134.gif"/></span>
, and these elements are central elements in 
<span id="IEq135"><mml:math id="IEq135_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq135_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq135.gif"/></span>
. So there are 
<span id="IEq136"><mml:math id="IEq136_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq136_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2^{m-1}2^{m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq136.gif"/></span>
 pairs as 
<span id="IEq137"><mml:math id="IEq137_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq137_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(b,g)\in B\times Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq137.gif"/></span>
 such that 
<span id="IEq138"><mml:math id="IEq138_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq138_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b^{n}g=gb^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq138.gif"/></span>
. So we get
<section id="Equ16"><mml:math display="block" id="Equ16_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |C^{n}\left( Q_{2^{m}}\right) |=2^{2m-r-2}+2^{2m-2}+2^{m-1}2^{m}=3\left( 2^{2m-2}\right) +2^{2m-r-2}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ16.gif"/></section>
<span id="IEq139"><mml:math id="IEq139_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq139_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq139.gif"/></span></p></section>
<section><p>By results of these lemmas, we get explicit values for 
<span id="IEq140"><mml:math id="IEq140_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq140_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(D_{2m})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq140.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq141"><mml:math id="IEq141_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq141_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(Q_{2^{m}})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq141.gif"/></span>
 as in the following:</p></section>
<section><h2>Lemma 2.8</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq142"><mml:math id="IEq142_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq142_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq142.gif"/></span>
<em> be a dihedral group, where</em>
<span id="IEq143"><mml:math id="IEq143_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq143_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq143.gif"/></span>
<em>, and n be an odd integer,</em>
<span id="IEq144"><mml:math id="IEq144_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq144_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(m,n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq144.gif"/></span>
<em> and</em>
<span id="IEq145"><mml:math id="IEq145_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq145_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=\frac{m}{d}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq145.gif"/></span>
.
<em> Then,</em>
<section id="Equ17"><mml:math display="block" id="Equ17_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}\left( D_{2m}\right) =\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{4}+\frac{1}{2m}+\frac{1}{4r}, &{} &{} m \, is \, odd,\\ &{} &{}\\ \frac{1}{4}+2(\frac{1}{2m}+\frac{1}{4r}), &{} &{} m \, is \, even.\\ \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ17.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By Lemma 
<a href="#FPar4"><sup>2.4</sup></a>
, and by definition of 
<span id="IEq146"><mml:math id="IEq146_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq146_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(D_{2m})=\frac{|C^{n}(D_{2m})|}{(2m)^{2}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq146.gif"/></span>
, we deduce that
<section id="Equ18"><mml:math display="block" id="Equ18_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}\left( D_{2m}\right) =\left\{ \begin{array}{lll} \frac{m^{2}+2m+\frac{m^{2}}{r}}{4m^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2m}+\frac{1}{4r}, &{} &{} m \, is \, odd,\\ &{} &{}\\ \frac{ m^{2}+2(2m+\frac{m^{2}}{r})}{4m^{2}}= \frac{1}{4}+2(\frac{1}{2m}+\frac{1}{4r}), &{} &{} m \, is \, even, \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ18.gif"/></section>
and the proof is complete. 
<span id="IEq147"><mml:math id="IEq147_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq147_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq147.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Lemma 2.9</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq148"><mml:math id="IEq148_Math"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq148_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D_{2m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq148.gif"/></span>
<em> be a dihedral group, where</em>
<span id="IEq149"><mml:math id="IEq149_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq149_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq149.gif"/></span>
<em>, and n be an even integer,</em>
<span id="IEq150"><mml:math id="IEq150_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq150_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(m,n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq150.gif"/></span>
<em> and</em>
<span id="IEq151"><mml:math id="IEq151_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq151_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=\frac{m}{d}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq151.gif"/></span>
.
<em> Then,</em>
<section id="Equ19"><mml:math display="block" id="Equ19_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}\left( D_{2m}\right) =\left\{ \begin{array}{lll} \frac{3}{4}+\frac{1}{2r}, &{} &{} r\, is\, even,\\ &{} &{}\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4r}, &{} &{} r \, is\, odd.\\ \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ19.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By Lemma 
<a href="#FPar6"><sup>2.5</sup></a>
, and by definition of 
<span id="IEq152"><mml:math id="IEq152_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq152_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(D_{2m})=\frac{|C^{n}(D_{2m})|}{(2m)^{2}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq152.gif"/></span>
, we get the result
<section id="Equ20"><mml:math display="block" id="Equ20_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}\left( D_{2m}\right) =\left\{ \begin{array}{lll} \frac{3m^{2}+\frac{2m^{2}}{r}}{4m^{2}}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2r}, &{} &{} r \, is\, even,\\ &{} &{}\\ \frac{3m^{2}+\frac{m^{2}}{r}}{4m^{2}}= \frac{3}{4}+\frac{1}{4r}, &{} &{} r\, is\, odd, \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ20.gif"/></section>
and the proof is complete. 
<span id="IEq153"><mml:math id="IEq153_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq153_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq153.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Lemma 2.10</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq154"><mml:math id="IEq154_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq154_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq154.gif"/></span>
<em> be a generalized quaternion group, where</em>
<span id="IEq155"><mml:math id="IEq155_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq155_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq155.gif"/></span>
<em>, and n be an odd integer. Then,</em>
<section id="Equ21"><mml:math display="block" id="Equ21_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}\left( Q_{2^{m}}\right) =\frac{3+2^{m-2}}{2^{m}}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ21.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By Lemma 
<a href="#FPar8"><sup>2.6</sup></a>
, and by definition of 
<span id="IEq156"><mml:math id="IEq156_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq156_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(Q_{2^{m}})=\frac{|C^{n}(Q_{2^{m}})|}{(2^{m})^{2}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq156.gif"/></span>
, we deduce that
<section id="Equ22"><mml:math display="block" id="Equ22_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}\left( Q_{2^{m}}\right) =\frac{2^{m}\left( 3+2^{m-2}\right) }{2^{2m}}=\frac{3+2^{m-2}}{2^{m}}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ22.gif"/></section>
<span id="IEq157"><mml:math id="IEq157_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq157_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq157.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Lemma 2.11</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq158"><mml:math id="IEq158_Math"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq158_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$Q_{2^{m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq158.gif"/></span>
<em> be a generalized quaternion group, where</em>
<span id="IEq159"><mml:math id="IEq159_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq159_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq159.gif"/></span>
<em>, and n be an even integer. Then,</em>
<section id="Equ23"><mml:math display="block" id="Equ23_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="1em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(Q_{2^{m}})=\left\{ \begin{array}{lll} 1, &{} &{} n\equiv 0 \quad \left( mod ~2^{m-2}\right) ,\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{2^{r+2}}, &{} &{}n\equiv \pm 2^{r}\quad \left( mod~ 2^{m-2}\right) ,\\ \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ23.gif"/></section>
<em>where</em>
<span id="IEq160"><mml:math id="IEq160_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq160_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=1,2,\dots , m-3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq160.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By Lemma 
<a href="#FPar10"><sup>2.7</sup></a>
, and the definition of 
<span id="IEq161"><mml:math id="IEq161_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq161_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(Q_{2^{m}})=\frac{|C^{n}(Q_{2^{m}})|}{2^{2m}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq161.gif"/></span>
, we get the result
<section id="Equ24"><mml:math display="block" id="Equ24_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}\left( Q_{2^{m}}\right) =\left\{ \begin{array}{lll} \frac{2^{2m}}{2^{2m}}=1, &{} &{} n\equiv 0 ~ \left( mod~ 2^{m-2}\right) ,\\ &{} \\ \frac{ 3(2^{2m-2})+2^{2m-r-2}}{2^{2m}}= \frac{3}{4}+\frac{1}{2^{r+2}}, &{} &{} n\equiv \pm 2^{r}~ \left( mod ~2^{m-2}\right) ,\\ \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ24.gif"/></section>
where 
<span id="IEq162"><mml:math id="IEq162_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq162_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=1,2,\dots , m-3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq162.gif"/></span>
. 
<span id="IEq163"><mml:math id="IEq163_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq163_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq163.gif"/></span></p></section>
<section><p>To prove the main propositions, we recall the following properties of the Moufang loop 
<span id="IEq164"><mml:math id="IEq164_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq164_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=M(G,2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq164.gif"/></span>
, where 
<em>G</em>
 is a given group. These may be verified easily by considering the binary operation in 
<em>M</em>
: 
<def-list><def-item><term>(i)</term>
<def><p><span id="IEq165"><mml:math id="IEq165_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>o</mml:mi><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>o</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq165_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(gu)oh^{n}=h^{n}o(gu)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq165.gif"/></span>
 if and only if 
<span id="IEq166"><mml:math id="IEq166_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq166_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h^{2n}=1;$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq166.gif"/></span></p></def></def-item>
<def-item><term>(ii)</term>
<def><p><span id="IEq167"><mml:math id="IEq167_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq167_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(gu)^{n}oh=ho(gu)^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq167.gif"/></span>
 if and only if 
<span id="IEq168"><mml:math id="IEq168_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq168_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h^{2}=1;$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq168.gif"/></span></p></def></def-item>
<def-item><term>(iii)</term>
<def><p><span id="IEq169"><mml:math id="IEq169_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>o</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>o</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq169_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(gu)^{n}o(hu)=(hu)o(gu)^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq169.gif"/></span>
 if and only if 
<span id="IEq170"><mml:math id="IEq170_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq170_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g^{-1}h)^{2}=1;$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq170.gif"/></span></p></def></def-item>
<def-item><term>(iv)</term>
<def><p>if 
<span id="IEq171"><mml:math id="IEq171_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq171_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g^{n}h=hg^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq171.gif"/></span>
 then 
<span id="IEq172"><mml:math id="IEq172_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>o</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>o</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq172_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(gu)^{n}o(hu)=(hu)o(gu)^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq172.gif"/></span>
 if and only if 
<span id="IEq173"><mml:math id="IEq173_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq173_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h^{2}=g^{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq173.gif"/></span>
.</p></def></def-item></def-list></p></section>
<section><h2>Proof of Proposition 2.1</h2>
<p>Let 
<span id="IEq174"><mml:math id="IEq174_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∣</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq174_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T=\{(g,h)\mid g,h\in M, gh^{n}=h^{n}g\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq174.gif"/></span>
. Simplify the binary operation 
<em>o</em>
 in 
<em>M</em>
 as the table 
<figure id="Taba"><table frame="hsides" rules="groups"><tbody><tr><td align="left"><p>o</p></td><td align="left"><p>G</p></td><td align="left"><p>Gu</p></td></tr><tr><td align="left"><p>G</p></td><td align="left"><p>G *G</p></td><td align="left"><p>G * Gu</p></td></tr><tr><td align="left"><p>Gu</p></td><td align="left"><p>Gu * G</p></td><td align="left"><p>Gu * Gu</p></td></tr></tbody></table></figure></p>
<p>Since 
<span id="IEq175"><mml:math id="IEq175_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq175_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(M)=\frac{|T|}{(2|G|)^{2}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq175.gif"/></span>
, then it is sufficient to enumerate |
<em>T</em>
|. For every pair 
<span id="IEq176"><mml:math id="IEq176_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq176_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g,h)\in M$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq176.gif"/></span>
, there are four cases: 
<def-list><def-item><term><strong>Case 1</strong>
:</term>
<def><p><span id="IEq177"><mml:math id="IEq177_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq177_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g, h\in G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq177.gif"/></span>
. In this case, there are 
<span id="IEq178"><mml:math id="IEq178_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq178_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|C_{n}(G)|$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq178.gif"/></span>
 number of elements of the type (
<em>g</em>
, 
<em>h</em>
) in 
<em>T</em>
.</p></def></def-item>
<def-item><term><strong>Case 2</strong>
:</term>
<def><p><span id="IEq179"><mml:math id="IEq179_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq179_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g\in Gu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq179.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq180"><mml:math id="IEq180_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq180_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h\in G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq180.gif"/></span>
. Then, 
<span id="IEq181"><mml:math id="IEq181_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq181_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g=g_{1}u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq181.gif"/></span>
, 
<span id="IEq182"><mml:math id="IEq182_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq182_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g_{1}\in G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq182.gif"/></span>
. By (
<em>ii</em>
), we conclude that 
<span id="IEq183"><mml:math id="IEq183_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq183_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h^{2}=1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq183.gif"/></span>
. So, there are exactly 
<span id="IEq184"><mml:math id="IEq184_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq184_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha |Gu|=\alpha |G|$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq184.gif"/></span>
 number of elements in 
<em>T</em>
 of the type 
<span id="IEq185"><mml:math id="IEq185_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq185_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g_{1}u, h)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq185.gif"/></span>
.</p></def></def-item>
<def-item><term><strong>Case 3</strong>
:</term>
<def><p><span id="IEq186"><mml:math id="IEq186_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq186_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g\in G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq186.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq187"><mml:math id="IEq187_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq187_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h\in Gu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq187.gif"/></span>
. So, 
<span id="IEq188"><mml:math id="IEq188_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq188_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h=h_{1}u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq188.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq189"><mml:math id="IEq189_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq189_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h_{1}\in G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq189.gif"/></span>
. In this case, we use (
<em>i</em>
) and deduce that there are 
<span id="IEq190"><mml:math id="IEq190_Math"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq190_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta |G|$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq190.gif"/></span>
 number of distinct elements in 
<em>T</em>
 of the type 
<span id="IEq191"><mml:math id="IEq191_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq191_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g, h_{1}u)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq191.gif"/></span>
, because of the validity of the relation 
<span id="IEq192"><mml:math id="IEq192_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq192_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h_{1}^{2n}=1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq192.gif"/></span>
.</p></def></def-item>
<def-item><term><strong>Case 4</strong>
:</term>
<def><p><span id="IEq193"><mml:math id="IEq193_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq193_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g\in Gu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq193.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq194"><mml:math id="IEq194_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq194_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h\in Gu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq194.gif"/></span>
. So, 
<span id="IEq195"><mml:math id="IEq195_Math"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq195_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g=g_{1}u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq195.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq196"><mml:math id="IEq196_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq196_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h=h_{1}u$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq196.gif"/></span>
, for 
<span id="IEq197"><mml:math id="IEq197_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq197_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g_{1}, h_{1}\in G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq197.gif"/></span>
. By using (
<em>iii</em>
), we confirm the existence of 
<span id="IEq198"><mml:math id="IEq198_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq198_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha |G|$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq198.gif"/></span>
 number of distinct elements in 
<em>T</em>
 of the type 
<span id="IEq199"><mml:math id="IEq199_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq199_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g_1u,h_1u)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq199.gif"/></span>
, for, 
<span id="IEq200"><mml:math id="IEq200_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq200_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g_{1}^{-1}h_{1})^{2}=1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq200.gif"/></span>
.</p></def></def-item></def-list></p>
<p>Consequently, 
<em>T</em>
 has contains 
<span id="IEq201"><mml:math id="IEq201_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq201_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|C^{n}(G)|+2\alpha |G|+\beta |G|$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq201.gif"/></span>
 number of elements all together. Hence,
<section id="Equ25"><mml:math display="block" id="Equ25_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\frac{|C^{n}(G)|+2\alpha |G|+\beta |G|}{4|G|^{2}})=\frac{1}{4}(P_{n}(G)+\frac{(2\alpha +\beta )}{|G|}). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ25.gif"/></section>
Now if 
<em>G</em>
 be a finite group of odd order. Then, 
<span id="IEq202"><mml:math id="IEq202_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq202_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =\beta =1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq202.gif"/></span>
, and so
<section id="Equ26"><mml:math display="block" id="Equ26_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\frac{|C^{n}(G)|+3|G|}{4|G|^{2}})=\frac{1}{4}\left(P_{n}(G)+\frac{3}{|G|}\right). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ26.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof of Proposition 2.2</h2>
<p>By Lemma 
<a href="#FPar12"><sup>2.8</sup></a>
, and Proposition 
<a href="#FPar1"><sup>2.1</sup></a>
, we get
<section id="Equ27"><mml:math display="block" id="Equ27_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\frac{1}{4}\left( P_{n}\left( D_{2m}\right) +\frac{2\alpha +\beta }{|G|}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ27.gif"/></section>
Moreover,
<section id="Equ28"><mml:math display="block" id="Equ28_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \beta =\left\{ \begin{array}{ll} m+d, &{} m \, is \, even,\\ &{} \\ m+1,&{} m \, is \, odd, \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ28.gif"/></section>
and
<section id="Equ29"><mml:math display="block" id="Equ29_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \alpha =\left\{ \begin{array}{ll} m+2, &{} m \, is \, even,\\ &{} \\ m+1,&{} m \, is \, odd. \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ29.gif"/></section>
where 
<span id="IEq203"><mml:math id="IEq203_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq203_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=(m,2n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq203.gif"/></span>
. So,
<section id="Equ30"><mml:math display="block" id="Equ30_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>16</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{4}\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2m}+\frac{1}{4r}+\frac{2(m+2)+(m+d)}{2m}\right) =\frac{3m+d+5}{8m}+\frac{1}{16r}+\frac{1}{16}, &{} &{} m is even,\\ &{} &{}\\ \frac{1}{4}\left( \frac{1}{4}+2\left( \frac{1}{2m}+\frac{1}{4r}\right) +\frac{3(m+1)}{2m}\right) =\frac{3m+5}{8m}+\frac{1}{8r}+\frac{1}{16}, &{} &{} m \, is \, odd. \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ30.gif"/></section>
where, 
<span id="IEq204"><mml:math id="IEq204_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq204_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=\frac{m}{g.c.d(m,n)}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq204.gif"/></span>
 and the proof is complete.</p></section>
<section><h2>Proof of Proposition 2.3</h2>
<p>By Proposition 
<a href="#FPar1"><sup>2.1</sup></a>
,
<section id="Equ31"><mml:math display="block" id="Equ31_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\frac{1}{4}\left( P_{n}\left( Q_{2^{m}}\right) +\frac{2\alpha +\beta }{|G|}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ31.gif"/></section>
Since 
<span id="IEq205"><mml:math id="IEq205_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq205_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(2^{m-1},2n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq205.gif"/></span>
, for odd values of 
<em>n</em>
, 
<span id="IEq206"><mml:math id="IEq206_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq206_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq206.gif"/></span>
, and 
<span id="IEq207"><mml:math id="IEq207_Math"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq207_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta =d$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq207.gif"/></span>
. In this case, Lemma 
<a href="#FPar16"><sup>2.10</sup></a>
 gives us:
<section id="Equ32"><mml:math display="block" id="Equ32_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\frac{1}{4}\left( \frac{3+2^{m-2}}{2^{m}}+\frac{4+d}{2^{m}}\right) =\frac{7+d}{2^{m+2}}+\frac{1}{16}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ32.gif"/></section>
However, for even values of 
<em>n</em>
, 
<span id="IEq208"><mml:math id="IEq208_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq208_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq208.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq209"><mml:math id="IEq209_Math"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq209_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta =d+2^{m-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq209.gif"/></span>
. In this case, we use Lemma 
<a href="#FPar18"><sup>2.11</sup></a>
 and get,
<section id="Equ33"><mml:math display="block" id="Equ33_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>8</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>5</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{4}\left( 1+\frac{4+d+2^{m-1}}{2^{m}}\right) =\frac{4+d}{2^{m+2}}+\frac{3}{8},&{} &{} n\equiv 0~(mod~2^{m-2}),\\ &{} &{}\\ \frac{1}{4}\left( \frac{3}{4}+\frac{1}{2^{r+2}}+\frac{4+d+2^{m-1}}{2^{m}}\right) =\frac{4+d}{2^{m+2}}+\frac{1}{2^{r+4}}+\frac{5}{16}, &{} &{} n\equiv \pm 2^{r}~ (mod ~2^{m-2}), \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ33.gif"/></section>
where 
<span id="IEq210"><mml:math id="IEq210_Math"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq210_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$r=1,2,\dots , m-3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq210.gif"/></span>
. This completes the proof.</p></section></section>
<section><h2>Conclusion</h2>
<section><p>The following remarks are the results of Proposition 
<a href="#FPar3"><sup>2.3</sup></a>
. They give us useful upper bounds for 
<span id="IEq211"><mml:math id="IEq211_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq211_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(M)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq211.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq212"><mml:math id="IEq212_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq212_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=M(Q_{2^{m}},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq212.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Remark 3.1</h2>
<p>For all integers, 
<span id="IEq213"><mml:math id="IEq213_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq213_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq213.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq214"><mml:math id="IEq214_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq214_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq214.gif"/></span>
 let 
<span id="IEq215"><mml:math id="IEq215_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq215_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=M(Q_{2^{m}},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq215.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq216"><mml:math id="IEq216_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq216_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(2^{m-1},2n)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq216.gif"/></span>
. Then, 
<def-list><def-item><term>(
<em>i</em>
)</term>
<def><p>For odd values of 
<em>n</em>
, 
<span id="IEq217"><mml:math id="IEq217_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq217_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$P_{n}(M)\le \frac{1}{32}(9+d)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq217.gif"/></span>
,</p></def></def-item>
<def-item><term>(
<em>ii</em>
)</term>
<def><p>For even values of 
<em>n</em>
, 
<section id="Equ34"><mml:math display="block" id="Equ34_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>16</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>15</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="3.33333pt"/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{lll} P_{n}(M)\le \frac{1}{32}\left( 16+d\right) , &{} &{} n\equiv 0\,(mod\, 2^{m-2}),\\ &{} &{}\\ P_{n}(M)\le \frac{1}{32}\left( 15+d\right) , &{} &{} n\equiv \pm 2^{r}\,(mod\, 2^{m-2}), ~r=1,2,\dots ,m-3. \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ34.gif"/></section></p></def></def-item></def-list></p></section>
<section><h2>Remark 3.2</h2>
<p>For distinct odd primes 
<span id="IEq218"><mml:math id="IEq218_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq218_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p_{1}, \dots , p_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq218.gif"/></span>
 and positive integers 
<span id="IEq219"><mml:math id="IEq219_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq219_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha _{1}, \dots , \alpha _{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq219.gif"/></span>
, if 
<span id="IEq220"><mml:math id="IEq220_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq220_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n=p^{\alpha _{1}}_{1}p^{\alpha _{2}}_{2}\dots p^{\alpha _{k}}_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq220.gif"/></span>
, then
<section id="Equ35"><mml:math display="block" id="Equ35_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>11</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)\le \frac{11}{32}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ35.gif"/></section>
where 
<span id="IEq221"><mml:math id="IEq221_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq221_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M=M(Q_{2^{m}},2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq221.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq222"><mml:math id="IEq222_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq222_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq222.gif"/></span>
 is an integer.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>For 
<span id="IEq223"><mml:math id="IEq223_Math"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq223_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n=p^{\alpha _{1}}_{1}p^{\alpha _{2}}_{2}\dots p^{\alpha _{k}}_{k}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq223.gif"/></span>
, we use Remark 
<a href="#FPar23"><sup>3.1</sup></a>
-(i) to get 
<span id="IEq224"><mml:math id="IEq224_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq224_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$d=g.c.d(2^{m-1},2n)=2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq224.gif"/></span>
. So,
<section id="Equ36"><mml:math display="block" id="Equ36_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>11</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} P_{n}(M)\le \frac{1}{32}(9+d)= \frac{1}{32}(9+2)=\frac{11}{32}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_Equ36.gif"/></section>
<span id="IEq225"><mml:math id="IEq225_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq225_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_274_Article_IEq225.gif"/></span></p></section></section><hr/><h2>Acknowledgements</h2>
<p>The authors would like to thank the referees for a very careful reading of the paper and complete comments and useful suggestions, which improved considerably the presentation of this paper.</p><hr/><h2>Publisher's Note</h2>
<p>Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</p>
<hr/><h2>References</h2>
<ol><li>Ahmadidelir (2016) <em>On the commutativity degree in finite Moufang loops</em> (pp. 37-47)</li><li>Ahmadidelir (2018) <em>On the non-commuting graph in finite Moufang loops</em> 17(4) <a href="https://doi.org/10.1142/S02194988085007060" target="_blank">10.1142/S02194988085007060</a></li><li>Chein (1974) <em>Moufang loops of small order I</em> (pp. 31-51) <a href="https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1974-0330336-3" target="_blank">10.1090/S0002-9947-1974-0330336-3</a></li><li>Chein (1978) <em>Moufang loops of small order</em> 13(197) (pp. 1-131)</li><li>Chein and Rajah (2000) <em>Possible orders of non-associative Moufang loops</em> (pp. 237-244)</li><li>Unknown () <em></em></li><li>Goodaire et al. (1999) <em></em> Nova Science Publishers</li><li>Lescot (1995) <em>Isoclinism classes and commutativity degrees of finite groups</em> (pp. 847-869) <a href="https://doi.org/10.1006/jabr.1995.1331" target="_blank">10.1006/jabr.1995.1331</a></li><li>Naghy and Vojtěchovský (2007) <em>The Moufang loops of order 64 and 81</em> 42(9) (pp. 871-883) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jsc.2007.06.004" target="_blank">10.1016/j.jsc.2007.06.004</a></li></ol>