<h1>On the global stability of the endemic state in an epidemic model with vaccination</h1>
			<ul class="item-list">
	        	        <li>
	            Mahmood Parsamanesh	            	            <abbr title="This is the corresponding author for this article">*</abbr>
	            	            	                <a href="mailto:m.parsamanesh@uoz.ac.ir" class="tiny-icon email-link mx-1" title="Email Mahmood Parsamanesh">
	                    Email
	                </a>
	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Faculty of Science, University of Zabol, Zabol, IR">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            Rahman Farnoosh	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Faculty of Mathematical Sciences, Iran University of Science and Technology, Narmak, Tehran, IR">
	                2	            </sup>
	            	        </li>
	        	    </ul>
	    	    <ol class="affiliations" aria-hidden="true">
	        <li>Department of Mathematics, Faculty of Science, University of Zabol, Zabol, IR</li><li>Faculty of Mathematical Sciences, Iran University of Science and Technology, Narmak, Tehran, IR</li>	    </ol>
	    
<h2>Abstract</h2>
<p>This paper investigates an SIS epidemic model with variable population size including a vaccination program. Dynamics of the endemic equilibrium of the model are obtained, and it will be shown that this equilibrium exists and is locally asymptotically stable when 
<span id="IEq1"><mml:math id="IEq1_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0 > 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq1.gif"/></span>
. In this case, the disease uniformly persists, and moreover, using a geometric approach we conclude that the model is globally asymptotically stable under some conditions. Also, a numerical discussion is given to verify the theoretical results.</p><hr/><section><h2>Introduction</h2>
<p>The susceptible–infected–susceptible (SIS) model is one of the most well-known type of epidemic models. These models are appropriate for some infections, for instance, common cold and influenza, or bacterial diseases such as meningitis and cholera, or sexually transmitted diseases, that do not cause permanent immunity after recovery. To immunize individuals from infection and control the infectious diseases, vaccination is usually preferred because of its efficiency compared with other drug and non-drug interventions. There are many epidemic models [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
, 
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
, 
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
, 
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
, 
<a href="#CR14"><sup>14</sup></a>
, 
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
, 
<a href="#CR19"><sup>19</sup></a>
] and also some SIS epidemic models in which temporary or permanent vaccination has been included [
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
, 
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
, 
<a href="#CR10"><sup>10</sup></a>
–
<a href="#CR11"><sup>11</sup></a>
, 
<a href="#CR17"><sup>17</sup></a>
, 
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
]. These models may be deterministic [
<a href="#CR10"><sup>10</sup></a>
, 
<a href="#CR11"><sup>11</sup></a>
] or stochastic [
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
, 
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
, 
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
], with constant [
<a href="#CR10"><sup>10</sup></a>
, 
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
] or variable [
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
] population size, and with general incidence [
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
, 
<a href="#CR21"><sup>21</sup></a>
] or a particular incidence such as standard, bilinear, and saturated [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
, 
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
, 
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
]. In this paper, we introduce an SIS epidemic model with vaccination and standard incidence. In the next section, we first describe the model and then some basic properties of it will be given. Sections “
<a href="#Sec3"><sup>Local asymptotical stability</sup></a>
” and “
<a href="#Sec4"><sup>Global asymptotical stability</sup></a>
” are devoted to investigating the local and global stability of endemic equilibrium of the model, respectively. Finally, we summarize the conclusions in section “
<a href="#Sec6"><sup>Conclusions</sup></a>
”, after a numerical consideration in section “
<a href="#Sec5"><sup>Numerical examples</sup></a>
”.</p></section>
<section><h2>Model description</h2>
<p>Consider the following system:
<section id="Equ1"><mml:math display="block" id="Equ1_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}&= (1-\vartheta )\varLambda - \frac{\beta S I}{N} - (\delta + \sigma )S + \eta I + \xi V,\nonumber \\ \frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}&= \frac{\beta S I}{N} - (\delta + \eta + \alpha )I,\nonumber \\ \frac{{\text{d}}V}{{\text{d}}t}&= \vartheta \varLambda + \sigma S - (\delta + \xi )V. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ1.gif"/></section></p>
<p>Here, the population has been divided into three subpopulations as susceptible, infected, and vaccinated individuals. The size of population in each class at time 
<em>t</em>
 is denoted by 
<em>S</em>
, 
<em>I</em>
, and 
<em>V</em>
, respectively, whereas the number of all individuals in this time is given by 
<span id="IEq2"><mml:math id="IEq2_Math"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N=S+I+V$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq2.gif"/></span>
. The recruiting is done by entering a number of 
<span id="IEq3"><mml:math id="IEq3_Math"><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varLambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq3.gif"/></span>
 individuals into population per unit time that may be either immigrants or newborns. The vaccination program is applied on the new members by a proportion 
<span id="IEq4"><mml:math id="IEq4_Math"><mml:mi>ϑ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\vartheta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq4.gif"/></span>
. A proportion 
<span id="IEq5"><mml:math id="IEq5_Math"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq5.gif"/></span>
 of susceptible individuals are also vaccinated, and the rate of losing immunity of vaccination is 
<span id="IEq6"><mml:math id="IEq6_Math"><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\xi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq6.gif"/></span>
. The vaccine is supposed to be completely effective, and no vaccinated individual becomes infected. Susceptible individuals become infected at standard incidence rate 
<span id="IEq7"><mml:math id="IEq7_Math"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\beta S I}{N},$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq7.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq8"><mml:math id="IEq8_Math"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq8.gif"/></span>
 is transmission coefficient, whereas the rate of recovery is 
<span id="IEq9"><mml:math id="IEq9_Math"><mml:mi>η</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\eta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq9.gif"/></span>
. The rate of natural death in population is 
<span id="IEq10"><mml:math id="IEq10_Math"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\delta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq10.gif"/></span>
 , and the mortality due to disease is also included in the model with a rate 
<span id="IEq11"><mml:math id="IEq11_Math"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq11.gif"/></span>
. All values in the model are nonnegative except 
<span id="IEq12"><mml:math id="IEq12_Math"><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varLambda$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq12.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq13"><mml:math id="IEq13_Math"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\delta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq13.gif"/></span>
 that are assumed positive.</p>
<p>From system (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
), it can be seen that the total number of members 
<em>N</em>
 is not fixed in general and it is expressed by the following equation:
<section id="Equ2"><mml:math display="block" id="Equ2_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{{\text{d}}N}{{\text{d}}t} = \varLambda - \delta N -\alpha I. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ2.gif"/></section></p>
<p>We have 
<span id="IEq14"><mml:math id="IEq14_Math"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{{\text{d}}N}{{\text{d}}t} \le \varLambda - \delta N$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq14.gif"/></span>
, and thus, 
<span id="IEq15"><mml:math id="IEq15_Math"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo movablelimits="true">lim sup</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\limsup N(t)}\limits _{t\rightarrow \infty } \le \frac{\varLambda }{\delta }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq15.gif"/></span>
. This also states that 
<em>I</em>
, 
<em>S</em>
, and 
<em>V</em>
 are bounded. We can see that the feasible region
<section id="Equ12"><mml:math display="block" id="Equ12_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varGamma =\left\{ (I, S, V)\in {\mathbb {R}}^3_{+}: I+S+V \le \frac{\varLambda }{\delta }\right\} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ12.gif"/></section>
is a positively invariant set for system (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
), and the system is well posed for mathematical and epidemiological considerations in 
<span id="IEq16"><mml:math id="IEq16_Math"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varGamma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq16.gif"/></span>
.</p>
<p>The equilibria of the model (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) are obtained by solving the following equations:
<section id="Equ3"><mml:math display="block" id="Equ3_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&(1 - \vartheta )\varLambda - \frac{\beta \bar{S} \bar{I}}{\bar{N}} - (\delta + \sigma )\bar{S} + \eta \bar{I} + \xi \bar{V} =0,\nonumber \\&\left( \frac{\beta \bar{S}}{\bar{N}}-(\delta + \eta + \alpha )\right) \bar{I} = 0,\nonumber \\&\vartheta \varLambda + \sigma \bar{S} - (\delta + \xi )\bar{V} =0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ3.gif"/></section>
The system has two solutions: When 
<span id="IEq17"><mml:math id="IEq17_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{I}=0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq17.gif"/></span>
 , the disease-free equilibrium (DFE) 
<span id="IEq18"><mml:math id="IEq18_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq18.gif"/></span>
<section id="Equ4"><mml:math display="block" id="Equ4_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} E^0=(I^0,S^0,V^0)=\left( 0, \frac{\varLambda (\delta (1 - \vartheta ) + \xi )}{\delta (\delta + \xi + \sigma )}, \frac{\varLambda (\delta \vartheta + \sigma )}{\delta (\delta + \xi + \sigma )}\right) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ4.gif"/></section>
and when 
<span id="IEq19"><mml:math id="IEq19_Math"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{I}>0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq19.gif"/></span>
, the endemic equilibrium 
<span id="IEq20"><mml:math id="IEq20_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*=(I^*,S^*,V^*)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq20.gif"/></span>
, where
<section id="Equ5"><mml:math display="block" id="Equ5_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&I^*=\frac{\varLambda ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-1)},\nonumber \\&S^*=\frac{\varLambda (\delta +\eta +\alpha )}{\beta \delta } \left( 1-\frac{\alpha ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-1)}\right) ,\nonumber \\&V^*=\frac{\vartheta \varLambda }{\delta +\xi } \left( 1+\frac{\sigma (\delta +\alpha \vartheta +\xi )/\vartheta (\delta +\sigma +\xi )}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-1)}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ5.gif"/></section></p>
<p>Here,
<section id="Equ13"><mml:math display="block" id="Equ13_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {{\mathcal {R}}}_0&= \frac{ \beta (\delta (1 - \vartheta ) + \xi )}{(\delta +\eta +\alpha ) (\delta +\xi +\sigma )},\\ \widetilde{\mathcal {R}}_0&= \frac{\beta (\delta +\xi )}{(\delta +\eta +\alpha ) (\delta +\xi +\sigma )}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ13.gif"/></section>
and thus, we have
<section id="Equ14"><mml:math display="block" id="Equ14_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>ϑ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \widetilde{\mathcal {R}}_0 - {\mathcal {R}}_0 = \frac{\beta \delta \vartheta }{(\delta +\eta +\alpha ) (\delta +\xi +\sigma )}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ14.gif"/></section></p>
<p>The quantity 
<span id="IEq21"><mml:math id="IEq21_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq21.gif"/></span>
 is called 
<em>the basic reproduction number</em>
 of the model. Furthermore, the total population sizes at two equilibria 
<span id="IEq22"><mml:math id="IEq22_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq22.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq23"><mml:math id="IEq23_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq23.gif"/></span>
 are obtained, respectively, as follows:
<section id="Equ15"><mml:math display="block" id="Equ15_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} N^0 = \frac{\varLambda }{\delta }, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ15.gif"/></section>
and
<section id="Equ16"><mml:math display="block" id="Equ16_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} N^* = \frac{\varLambda }{\delta } \left( 1-\frac{\alpha ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{\mathcal {R}}_0 + \alpha (\widetilde{\mathcal {R}}_0-1)}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ16.gif"/></section></p>
<p>In the following sections, we investigate dynamics of the model (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) at the endemic equilibrium 
<span id="IEq24"><mml:math id="IEq24_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq24.gif"/></span>
 and its asymptotic stability will be obtained. The next section is devoted to consider the local asymptotic stability.</p></section>
<section><h2>Local asymptotical stability</h2>
<section><p>Letting 
<span id="IEq25"><mml:math id="IEq25_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F = \frac{\beta S I}{N}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq25.gif"/></span>
, the Jacobian matrix of the model (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) at 
<span id="IEq26"><mml:math id="IEq26_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq26.gif"/></span>
 has the following form:
<section id="Equ6"><mml:math display="block" id="Equ6_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} J^* = \left( \begin{array}{ccc} a_1-(\delta + \eta + \alpha ) &{} a_2 &{} a_3 \\ -a_1 + \eta &{} -a_2-(\delta + \sigma )&{} -a_3+\xi \\ 0 &{} \sigma &{} -(\delta + \xi ) \\ \end{array}\right) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ6.gif"/></section>
in which
<section id="Equ17"><mml:math display="block" id="Equ17_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} a_1&= \frac{\partial F}{\partial I}\vert _{E^*} = \frac{\beta S^*}{{N^*}^2}(N^*-I^*),\\ a_2&= \frac{\partial F}{\partial S}\vert _{E^*} = \frac{\beta I^*}{{N^*}^2}(N^*-I^*),\\ a_3&= \frac{\partial F}{\partial V}\vert _{E^*} = -\frac{\beta S^* I^*}{{N^*}^2}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ17.gif"/></section>
The characteristic equation of matrix 
<span id="IEq27"><mml:math id="IEq27_Math"><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$J^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq27.gif"/></span>
 is
<section id="Equ7"><mml:math display="block" id="Equ7_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} p(\lambda ) = \lambda ^3 + b_1 \lambda ^2 + b_2 \lambda + b_3, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ7.gif"/></section>
where
<section id="Equ18"><mml:math display="block" id="Equ18_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:msup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} b_1= & {} -tr(J^*) = -a_1+a_2+(\delta +\eta +\alpha )+(2\delta +\sigma +\xi ),\\ b_2= & {} -\frac{1}{2}(tr({J^*}^2)-tr^2(J^*))\\= & {} -a_1(2\delta +\sigma +\xi )+a_2(2\delta +\alpha +\xi )+a_3\sigma \\&+\delta (\delta +\sigma +\xi )+(\delta +\eta +\alpha )(2\delta +\sigma +\xi ),\\ b_3= & {} -det(J^*) =-a_1\delta (\delta +\sigma +\xi )\\&+a_2(\delta +\alpha )(\delta +\xi )+a_3\sigma (\delta +\alpha )\\&+\delta (\delta +\eta +\alpha )(\delta +\sigma +\xi ). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ18.gif"/></section></p></section>
<section><p>We have
<section id="Equ8"><mml:math display="block" id="Equ8_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} a_1&= (\delta +\eta +\alpha )\left( 1-\frac{\delta ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) ,\nonumber \\ a_2&= \delta (\beta -(\delta +\eta +\alpha ))\left( \frac{{\mathcal {R}}_0-1}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) ,\nonumber \\ a_3&= -\delta (\delta +\eta +\alpha )\left( \frac{{\mathcal {R}}_0-1}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ8.gif"/></section></p></section>
<section><p>Obviously 
<span id="IEq28"><mml:math id="IEq28_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_3 < 0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq28.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq29"><mml:math id="IEq29_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_1 = (\delta +\eta +\alpha )\left( \frac{(\delta +\alpha )(\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)+\delta }{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) >0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq29.gif"/></span>
. Moreover, notice that the equilibrium 
<span id="IEq30"><mml:math id="IEq30_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq30.gif"/></span>
 exists if 
<span id="IEq31"><mml:math id="IEq31_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0 > 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq31.gif"/></span>
 and this implies
<section id="Equ19"><mml:math display="block" id="Equ19_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \beta> \beta \left( \frac{\delta (1-\vartheta )+\xi }{\delta +\sigma +\xi }\right) >(\delta +\eta +\alpha ), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ19.gif"/></section>
and thus, 
<span id="IEq32"><mml:math id="IEq32_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_2>0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq32.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>Using (
<a href="#Equ8"><sup>8</sup></a>
), we obtain
<ul><li><p><span id="IEq33"><mml:math id="IEq33_Math"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$-a_1+a_2 = -(\delta +\eta +\alpha )+\delta \beta \left( \frac{{\mathcal {R}}_0-1}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0 +\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right);$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq33.gif"/></span>
 thus, 
<section id="Equ20"><mml:math display="block" id="Equ20_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} b_1=\delta \beta \left( \frac{{\mathcal {R}}_0-1}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0 +\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) +(2\delta +\sigma +\xi )>0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ20.gif"/></section></p></li>
<li><p>We can see that 
<section id="Equ21"><mml:math display="block" id="Equ21_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&-a_1(2\delta +\sigma +\xi ) + a_3\sigma +(\delta +\eta +\alpha )(2\delta +\sigma +\xi )\\&\quad = (\delta +\eta +\alpha ) \left( \frac{\delta ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) (2\delta +\xi ), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ21.gif"/></section>
 and therefore, 
<section id="Equ22"><mml:math display="block" id="Equ22_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} b_2&= (\delta +\eta +\alpha ) \left( \frac{\delta ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) (2\delta +\xi )\\&+ a_2(2\delta +\alpha +\xi ) + \delta (\delta +\sigma +\xi )>0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ22.gif"/></section></p></li>
<li><p>We have 
<section id="Equ23"><mml:math display="block" id="Equ23_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} b_3= & {} \delta (\delta +\sigma +\xi )(\delta +\eta +\alpha ) \left( \frac{\delta ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) \\&+(\beta (\delta +\xi )\\&-(\delta +\sigma +\xi )(\delta +\eta +\alpha ))\delta (\delta +\alpha ) \left( \frac{{\mathcal {R}}_0-1}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) \\&+\delta (\delta +\sigma +\xi )(\delta +\eta +\alpha ). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ23.gif"/></section></p>
<p>Besides, 
<span id="IEq34"><mml:math id="IEq34_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\widetilde{{\mathcal {R}}}_0>{\mathcal {R}}_0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq34.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq35"><mml:math id="IEq35_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0>1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq35.gif"/></span>
 implies 
<span id="IEq36"><mml:math id="IEq36_Math"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta (\delta +\xi )>(\delta +\sigma +\xi )(\delta +\eta +\alpha )$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq36.gif"/></span>
. Therefore, 
<section id="Equ24"><mml:math display="block" id="Equ24_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} b_3>\delta (\delta +\sigma +\xi )(\delta +\eta +\alpha )\left( 1+\frac{\delta ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) >0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ24.gif"/></section></p></li>
<li><p><section id="Equ25"><mml:math display="block" id="Equ25_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} b_1b_2-b_3&= (\delta +\xi )(b_2-a_2(\delta +\alpha )) \\&\quad+(\delta +\eta +\alpha )(b_2-\delta (\delta +\sigma +\xi ))\\&\quad+ (-a_1+a_2+\delta +\sigma )b_2\\&\quad+a_1\delta (\delta +\sigma +\xi )-a_3\sigma (\delta +\alpha )\\&= (\delta +\xi )(b_2-a_2(\delta +\alpha ))\\&\quad+((\delta +\eta +\alpha )-a_1)(b_2-\delta (\delta +\sigma +\xi ))\\&\quad+(a_2+\delta +\sigma )b_2-a_3\sigma (\delta +\alpha ). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ25.gif"/></section>
 We see that 
<span id="IEq37"><mml:math id="IEq37_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_1 = (\delta +\eta +\alpha ) \left( 1-\frac{\delta ({\mathcal {R}}_0-1)}{\delta \widetilde{{\mathcal {R}}}_0+\alpha (\widetilde{{\mathcal {R}}}_0-{\mathcal {R}}_0)}\right) < (\delta +\eta +\alpha ),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq37.gif"/></span>
 and as a result, 
<section id="Equ26"><mml:math display="block" id="Equ26_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} b_1b_2-b_3> (\delta +\xi )(b_2-a_2(\delta +\alpha ))+(a_2+\delta +\sigma )b_2-a_3\sigma (\delta +\alpha ) >0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ26.gif"/></section></p></li></ul></p></section>
<section><p>In preceding relations, we got 
<span id="IEq38"><mml:math id="IEq38_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b_1>0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq38.gif"/></span>
, 
<span id="IEq39"><mml:math id="IEq39_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b_2>0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq39.gif"/></span>
, 
<span id="IEq40"><mml:math id="IEq40_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b_3>0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq40.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq41"><mml:math id="IEq41_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b_1b_2-b_3>0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq41.gif"/></span>
; thus, by using Routh–Hurwitz criterion the real part of all eigenvalues of the Jacobian matrix 
<span id="IEq42"><mml:math id="IEq42_Math"><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$J^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq42.gif"/></span>
 must be negative. Therefore, the following theorem has been proven:</p></section>
<section><h2>Theorem 1</h2>
<p><em>For epidemic model</em>
 (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
), 
<em>the endemic state</em>
<span id="IEq43"><mml:math id="IEq43_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq43.gif"/></span>
<em>exists and is stable if</em>
<span id="IEq44"><mml:math id="IEq44_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0>1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq44.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Corollary 1</h2>
<p><em>The endemic state</em>
<span id="IEq45"><mml:math id="IEq45_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq45.gif"/></span>
<em>is stable if parameter values</em>
<span id="IEq46"><mml:math id="IEq46_Math"><mml:mi>ϑ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\vartheta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq46.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq47"><mml:math id="IEq47_Math"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq47.gif"/></span>
<em>lie under the following line in the</em>
<span id="IEq48"><mml:math id="IEq48_Math"><mml:mi>ϑ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\vartheta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq48.gif"/></span>
-
<span id="IEq49"><mml:math id="IEq49_Math"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq49.gif"/></span>
<em>plane:</em>
<section id="Equ9"><mml:math display="block" id="Equ9_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} (\beta \delta ) \vartheta +(\delta +\eta +\alpha ) \sigma = (\beta -(\delta +\eta +\alpha ))(\delta +\xi ). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ9.gif"/></section></p></section>
<section><p>Corollary 
<a href="#FPar2"><sup>1</sup></a>
 gives minimum amount of vaccination proportions that is needed to the vaccine be effective. Indeed, those values of 
<span id="IEq50"><mml:math id="IEq50_Math"><mml:mi>ϑ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\vartheta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq50.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq51"><mml:math id="IEq51_Math"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq51.gif"/></span>
 that lie above the mentioned line in (
<a href="#Equ9"><sup>9</sup></a>
) are sufficient to the disease eradicated from population. When the proportion of vaccination in new members and in susceptibles is equal, i.e., 
<span id="IEq52"><mml:math id="IEq52_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =\vartheta =\sigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq52.gif"/></span>
, this optimum amount of vaccination will be as
<section id="Equ10"><mml:math display="block" id="Equ10_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \tau ^*=\frac{(\beta -(\delta +\eta +\alpha ))(\delta +\xi )}{(\delta +\eta +\alpha )+\beta \delta }. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ10.gif"/></section></p></section></section>
<section><h2>Global asymptotical stability</h2>
<section><p>The global asymptotical stability of the endemic state 
<span id="IEq53"><mml:math id="IEq53_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq53.gif"/></span>
 is discussed in this section. The analysis of the global stability of epidemic models is generally a difficult task, and the methods introduced for carrying this out are scant. To analyze the global asymptotic stability of the endemic state, we employ a geometric method developed by Li and Muldowney [
<a href="#CR12"><sup>12</sup></a>
] and used by many authors [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
, 
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
, 
<a href="#CR18"><sup>18</sup></a>
, 
<a href="#CR19"><sup>19</sup></a>
–
<a href="#CR20"><sup>20</sup></a>
, 
<a href="#CR23"><sup>23</sup></a>
]. The following result has been proved in [
<a href="#CR12"><sup>12</sup></a>
].</p></section>
<section><h2>Theorem 2</h2>
<p><em>Assume that</em>
<em>f</em>
<em>is a</em>
<span id="IEq54"><mml:math id="IEq54_Math"><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C^1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq54.gif"/></span>
<em>function on a simply connected open set</em>
<span id="IEq55"><mml:math id="IEq55_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D\subset \mathbb {R}^n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq55.gif"/></span>
, 
<em>the system</em>
<span id="IEq56"><mml:math id="IEq56_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x'=f(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq56.gif"/></span>
<em>has a unique equilibrium</em>
<span id="IEq57"><mml:math id="IEq57_Math"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math><tex-math id="IEq57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq57.gif"/></span>
<em>in</em>
<em>D</em>
, 
<em>and there exists a compact absorbing set</em>
<span id="IEq58"><mml:math id="IEq58_Math"><mml:mrow><mml:mi>Θ</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varTheta \subset D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq58.gif"/></span>
. 
<em>Then,</em>
<span id="IEq59"><mml:math id="IEq59_Math"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math><tex-math id="IEq59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bar{x}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq59.gif"/></span>
<em>is globally stable in</em>
<em>D</em>
<em>if</em>
<section id="Equ27"><mml:math display="block" id="Equ27_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Θ</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathop {\limsup }\limits _{t \rightarrow \infty } \mathop {\sup }\limits _{x_0\in \varTheta } \frac{1}{t}\int _0^t \varPsi (\varUpsilon (x(r,x_0)))dr <0, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ27.gif"/></section>
<em>in which</em>
<span id="IEq60"><mml:math id="IEq60_Math"><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varUpsilon =\varSigma _f\varSigma ^{-1}+\varSigma J^{[2]}\varSigma ^{-1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq60.gif"/></span>
. 
<em>Here</em>
, 
<span id="IEq61"><mml:math id="IEq61_Math"><mml:mi>Σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq61.gif"/></span>
<em>is an</em>
<span id="IEq62"><mml:math id="IEq62_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( {\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}}\right) \times \left( {\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}}\right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq62.gif"/></span>
<em>matrix-valued function,</em>
<span id="IEq63"><mml:math id="IEq63_Math"><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$J^{[2]}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq63.gif"/></span>
<em>is the second additive compound matrix of the Jacobian matrix</em>
<em>J</em>
, 
<span id="IEq64"><mml:math id="IEq64_Math"><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma _f$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq64.gif"/></span>
<em>is obtained by</em>
<span id="IEq65"><mml:math id="IEq65_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mi>⊤</mml:mi></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\sigma _{ij})_f=\left( \frac{\partial \sigma _{ij}}{\partial x}\right) ^\top . f(x)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq65.gif"/></span>
, 
<em>and</em>
<span id="IEq66"><mml:math id="IEq66_Math"><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPsi (\varUpsilon )$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq66.gif"/></span>
<em>is the</em>
<em>Lozinski</em>
<span id="IEq67"><mml:math id="IEq67_Math"><mml:mover accent="true"><mml:mi>ı</mml:mi><mml:mo>˘</mml:mo></mml:mover></mml:math><tex-math id="IEq67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\breve{\imath }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq67.gif"/></span>
<em>measure of</em>
<span id="IEq68"><mml:math id="IEq68_Math"><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varUpsilon$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq68.gif"/></span>
<em>with respect</em>
<em>to a vector norm</em>
 |.| 
<em>in</em>
<span id="IEq69"><mml:math id="IEq69_Math"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbb {R}^m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq69.gif"/></span>
, 
<em>with</em>
<span id="IEq70"><mml:math id="IEq70_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=\left( {\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}}\right)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq70.gif"/></span>
, 
<em>defined by</em>
<span id="IEq71"><mml:math id="IEq71_Math"><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msup><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:munder><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varPsi (\varUpsilon )= \mathop {\lim }\limits _{h \rightarrow 0^+} \frac{|I+h\varUpsilon |-1}{h}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq71.gif"/></span>
.</p></section>
<section><p>The global stability of the endemic state is expressed in the next theorem.</p></section>
<section><h2>Theorem 3</h2>
<p><em>When</em>
<span id="IEq72"><mml:math id="IEq72_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0>1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq72.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq73"><mml:math id="IEq73_Math"><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\delta +\sigma >\xi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq73.gif"/></span>
, 
<em>the endemic equilibrium</em>
<span id="IEq74"><mml:math id="IEq74_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq74.gif"/></span>
<em>is globally asymptotic stable if</em>
<span id="IEq75"><mml:math id="IEq75_Math"><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\delta +\xi > \max \{\sigma , \alpha \}+ \eta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq75.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Considering the feasible region 
<span id="IEq76"><mml:math id="IEq76_Math"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varGamma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq76.gif"/></span>
, we see that interior and boundary of 
<span id="IEq77"><mml:math id="IEq77_Math"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varGamma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq77.gif"/></span>
 are 
<span id="IEq78"><mml:math id="IEq78_Math"><mml:mrow><mml:mover><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathop {\varGamma }\limits ^{\circ } = \{(I, S, V)\in \varGamma : I>0 \}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq78.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq79"><mml:math id="IEq79_Math"><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo lspace="0.15em" rspace="0.15em" stretchy="false">\</mml:mo><mml:mover><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\partial \varGamma = \varGamma \setminus \mathop {\varGamma }\limits ^{\circ } = \{(I, S, V)\in \varGamma : I=0 \}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq79.gif"/></span>
, respectively. When 
<span id="IEq80"><mml:math id="IEq80_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0>1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq80.gif"/></span>
, there exists an unique endemic state 
<span id="IEq81"><mml:math id="IEq81_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq81.gif"/></span>
 , and moreover, the disease-free equilibrium (DFE) 
<span id="IEq82"><mml:math id="IEq82_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^0 \in \partial \varGamma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq82.gif"/></span>
 is unstable. Now, using 
<em>Acyclicity Theorem</em>
 similar to the proof of Theorem 3.2 in [
<a href="#CR18"><sup>18</sup></a>
] we find that when 
<span id="IEq83"><mml:math id="IEq83_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0>1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq83.gif"/></span>
, system (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) is uniformly persistent. On the other hand, we know that the solutions are bounded because the total population size 
<em>N</em>
 is bounded. Considering this with the uniform persistence of the system, it can be concluded that there exists a compact absorbing set 
<span id="IEq84"><mml:math id="IEq84_Math"><mml:mrow><mml:mi>Θ</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varTheta \subset \varGamma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq84.gif"/></span>
.</p>
<p>The Jacobian matrix of the system at 
<span id="IEq85"><mml:math id="IEq85_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq85.gif"/></span>
 was given by (
<a href="#Equ6"><sup>6</sup></a>
), and thus, its second additive compound matrix is
<section id="Equ28"><mml:math display="block" id="Equ28_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {J^*}^{[2]} = \left( \begin{array}{ccc} a_1-a_2-n_1 &{} -a_3+\xi &{} -a_3 \\ \sigma &{} a_1-n_2 &{} a_2 \\ 0 &{} -a_1+\eta &{} -a_2-n_3 \\ \end{array}\right) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ28.gif"/></section>
where
<section id="Equ29"><mml:math display="block" id="Equ29_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} n_1&=2\delta +\eta +\alpha +\sigma ,\\ n_2&=2\delta +\eta +\alpha +\xi ,\\ n_3&=2\delta +\sigma +\xi . \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ29.gif"/></section></p>
<p>Matrix 
<span id="IEq86"><mml:math id="IEq86_Math"><mml:mi>Σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq86.gif"/></span>
 in Theorem 
<a href="#FPar3"><sup>2</sup></a>
 acts as a Lyapunov function. So, for the method to be applicable and efficient, this matrix must be chosen suitable. Now, we choose matrix 
<span id="IEq87"><mml:math id="IEq87_Math"><mml:mi>Σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq87.gif"/></span>
 as 
<span id="IEq88"><mml:math id="IEq88_Math"><mml:mrow><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi mathvariant="double-struck">I</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma =\frac{S}{I}\mathbb {I}_3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq88.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq89"><mml:math id="IEq89_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="double-struck">I</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq89_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbb {I}_3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq89.gif"/></span>
 is the 
<span id="IEq90"><mml:math id="IEq90_Math"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq90_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3\times 3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq90.gif"/></span>
 identity matrix. Then, 
<span id="IEq91"><mml:math id="IEq91_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:msub><mml:mi mathvariant="double-struck">I</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq91_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma ^{-1}=\frac{I}{S}\mathbb {I}_3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq91.gif"/></span>
, 
<span id="IEq92"><mml:math id="IEq92_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi mathvariant="double-struck">I</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq92_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma _f=\left( \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{I}-\frac{S\left( \frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}\right) }{I^2}\right) \mathbb {I}_3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq92.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq93"><mml:math id="IEq93_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:msub><mml:mi mathvariant="double-struck">I</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq93_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varSigma _f\varSigma ^{-1}=\left( \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}\right) \mathbb {I}_3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq93.gif"/></span>
.</p>
<p>Therefore,
<section id="Equ11"><mml:math display="block" id="Equ11_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} \varUpsilon&=\varSigma _f\varSigma ^{-1}+\varSigma {J^*}^{[2]}\varSigma ^{-1} \\&=\left( \begin{array}{ccc} \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}+a_1-a_2-n_1 &{} -a_3+\xi &{} -a_3 \\ \sigma &{} \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}+a_1-n_2 &{} a_2 \\ 0 &{} -a_1+\eta &{} \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}-a_2-n_3 \\ \end{array}\right) . \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ11.gif"/></section></p>
<p>The matrix 
<span id="IEq94"><mml:math id="IEq94_Math"><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq94_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varUpsilon$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq94.gif"/></span>
 can be written in the block form as 
<span id="IEq95"><mml:math id="IEq95_Math"><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq95_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varUpsilon =\left( \begin{array}{cc} \varUpsilon _{11} &{} \varUpsilon _{12} \\ \varUpsilon _{21} &{} \varUpsilon _{22} \\ \end{array} \right) ,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq95.gif"/></span>
 in which
<section id="Equ30"><mml:math display="block" id="Equ30_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \begin{aligned} \varUpsilon _{11}&=\frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}+a_1-a_2-n_1,\\ \varUpsilon _{12}&=(\begin{array}{cc} -a_3+\xi ,&-a_3 \end{array}),\\ \varUpsilon _{21}&=\left( \begin{array}{c} \sigma \\ 0 \\ \end{array}\right) ,\\ \varUpsilon _{22}&=\left( \begin{array}{cc} \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}+a_1-n_2 &{} a_2 \\ -a_1+\eta &{} \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}-a_2-n_3 \\ \end{array} \right) . \end{aligned} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ30.gif"/></section></p>
<p>Considering the vector norm 
<span id="IEq96"><mml:math id="IEq96_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq96_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$| (\mu _1,\mu _2,\mu _2) | = \max \{ | \mu _1 |,| \mu _2 | + | \mu _3 |\}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq96.gif"/></span>
 for all 
<span id="IEq97"><mml:math id="IEq97_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq97_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\mu _1, \mu _2, \mu _3) \in \mathbb {R}^3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq97.gif"/></span>
 as in [
<a href="#CR12"><sup>12</sup></a>
], we have
<section id="Equ31"><mml:math display="block" id="Equ31_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varPsi (\varUpsilon ) \le \sup \{\varOmega _1, \varOmega _2 \}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ31.gif"/></section>
where
<section id="Equ32"><mml:math display="block" id="Equ32_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"/></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varOmega _1=\varPsi (\varUpsilon _{11})+| \varUpsilon _{12} | \quad \mathrm {and} \quad \varOmega _2=\psi (\varUpsilon _{22})+| \varUpsilon _{21} |. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ32.gif"/></section></p>
<p>Thus, we obtain
<section id="Equ33"><mml:math display="block" id="Equ33_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varPsi (\varUpsilon _{11})=\frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}+a_1-a_2-n_1,\quad | \varUpsilon _{12} |=-a_3+\xi , \quad | \varUpsilon _{21} |=\sigma \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ33.gif"/></section>
and
<section id="Equ34"><mml:math display="block" id="Equ34_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">min</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varPsi (\varUpsilon _{22})&= \max \left\{ \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}+\eta -n_2, \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}-n_3 \right\} \\&=\max \left\{ \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}-(2\delta +\alpha +\xi ), \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}-(2\delta +\sigma +\xi )\right\} \\&=\frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}-(2\delta +\xi )-\min \{\alpha , \sigma \}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ34.gif"/></section></p>
<p>From the second equation in system (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
)
<section id="Equ35"><mml:math display="block" id="Equ35_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}=\frac{\beta S}{N}-(\delta +\eta +\alpha ). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ35.gif"/></section></p>
<p>Therefore, we have
<section id="Equ36"><mml:math display="block" id="Equ36_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varOmega _1&= \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}+a_1-a_2-n_1-a_3+\xi \\&= \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\beta I}{N}\left( 1-\frac{S}{N}\right) -(\delta +\sigma -\xi )\\&\le \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-(\delta +\sigma -\xi ), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ36.gif"/></section>
and
<section id="Equ37"><mml:math display="block" id="Equ37_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>I</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">min</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">min</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varOmega _2&=\frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-\frac{\frac{{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}{I}-(2\delta +\xi )-\min \{\alpha , \sigma \}+\sigma \\&\le \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-(\min \{\alpha , \sigma \}-(\eta +\sigma +\alpha )+(\delta +\xi )). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ37.gif"/></section></p>
<p>Hence, assuming
<section id="Equ38"><mml:math display="block" id="Equ38_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">min</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo movablelimits="true">max</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} d = \min \{\delta +\sigma -\xi , (\delta +\xi )-(\max \{\sigma ,\alpha \}+\eta )\}>0, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ38.gif"/></section>
yields to
<section id="Equ39"><mml:math display="block" id="Equ39_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>Υ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \varPsi (\varUpsilon ) \le \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-d. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ39.gif"/></section></p>
<p>Thus, for each solution 
<span id="IEq98"><mml:math id="IEq98_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Θ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq98_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(I(0), S(0), V(0))\in \varTheta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq98.gif"/></span>
, we have
<section id="Equ40"><mml:math display="block" id="Equ40_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mfenced><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>ln</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{1}{t}\int _0^t\varPsi (B)dr\le \frac{1}{t}\int _0^t \left( \frac{\frac{{\text{d}}S}{{\text{d}}t}}{S}-d\right) dr=\frac{1}{t}\ln \frac{S(t)}{S(0)}-d, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ40.gif"/></section>
which implies
<section id="Equ41"><mml:math display="block" id="Equ41_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">lim sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>Ψ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathop {\limsup }\limits _{t \rightarrow \infty } \sup \frac{1}{t}\int _0^t \varPsi (B)dr< -\frac{d}{2} <0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_Equ41.gif"/></section></p>
<p>Therefore, the conditions of Theorem 
<a href="#FPar3"><sup>2</sup></a>
 are hold and this concludes that 
<span id="IEq99"><mml:math id="IEq99_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq99_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq99.gif"/></span>
 is globally asymptotically stable. 
<span id="IEq100"><mml:math id="IEq100_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq100.gif"/></span></p></section></section>
<section><h2>Numerical examples</h2>
<p>Suppose the parameters in model (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) as 
<span id="IEq101"><mml:math id="IEq101_Math"><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>30</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varLambda =30$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq101.gif"/></span>
, 
<span id="IEq102"><mml:math id="IEq102_Math"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\beta =0.8$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq102.gif"/></span>
, 
<span id="IEq103"><mml:math id="IEq103_Math"><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\delta =0.2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq103.gif"/></span>
, 
<span id="IEq104"><mml:math id="IEq104_Math"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha =0.1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq104.gif"/></span>
, 
<span id="IEq105"><mml:math id="IEq105_Math"><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\eta =0.1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq105.gif"/></span>
 , and 
<span id="IEq106"><mml:math id="IEq106_Math"><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\xi =0.2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq106.gif"/></span>
. For these values, the mentioned line in (
<a href="#Equ9"><sup>9</sup></a>
) is shown in Fig. 
<a href="#Fig1"><sup>1</sup></a>
. The ordered pair 
<span id="IEq107"><mml:math id="IEq107_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq107_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\vartheta , \sigma )=(0.2, 0.1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq107.gif"/></span>
 lies below the line and by corollary 
<a href="#FPar2"><sup>1</sup></a>
 the endemic state 
<span id="IEq108"><mml:math id="IEq108_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>34.74</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>66.32</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>31.58</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq108_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*=(I^*, S^*, V^*)=(34.74, 66.32, 31.58)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq108.gif"/></span>
 is stable. The point 
<span id="IEq109"><mml:math id="IEq109_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0.4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq109_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\vartheta , \sigma )=(0.4, 0.5)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq109.gif"/></span>
 lies above the line. In this case, the disease-free equilibrium 
<span id="IEq110"><mml:math id="IEq110_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>53.33</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>96.67</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq110_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^0=(I^0, S^0, V^0)=(0, 53.33, 96.67)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq110.gif"/></span>
 is stable and the infection will be wiped out from population. Besides, for these values for 
<span id="IEq111"><mml:math id="IEq111_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ϑ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq111_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\vartheta , \sigma )$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq111.gif"/></span>
 we have 
<span id="IEq112"><mml:math id="IEq112_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.44</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq112_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0= 1.44>1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq112.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq113"><mml:math id="IEq113_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.71</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq113_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0=0.71<1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq113.gif"/></span>
, respectively. Thus, these results can be confirmed also by Theorem 
<a href="#FPar1"><sup>1</sup></a>
. Now, if it is supposed that the vaccination proportions in new members and in susceptibles are equal, then the optimal value of such quantity is given by relation (
<a href="#Equ10"><sup>10</sup></a>
) as 
<span id="IEq114"><mml:math id="IEq114_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.286</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq114_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau ^*=0.286$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq114.gif"/></span>
. For 
<span id="IEq115"><mml:math id="IEq115_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.05</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msup><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq115_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.05<\tau ^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq115.gif"/></span>
 , the infection will remain in the population and the endemic state is stable, while for 
<span id="IEq116"><mml:math id="IEq116_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.4</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:msup><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq116_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.4>\tau ^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq116.gif"/></span>
 the number of infected individuals vanishes and the disease-free state is stable (see Fig. 
<a href="#Fig2"><sup>2</sup></a>
). Figures 
<a href="#Fig3"><sup>3</sup></a>
 and 
<a href="#Fig4"><sup>4</sup></a>
 describe the behavior of the model for various initial values and show the solutions are stable. Figure 
<a href="#Fig3"><sup>3</sup></a>
 shows the number of infected individuals (sub-figure (a)) and the phase diagram of 
<em>I</em>
(
<em>t</em>
) and 
<em>S</em>
(
<em>t</em>
) (sub-figure (b)) when 
<span id="IEq117"><mml:math id="IEq117_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq117_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq117.gif"/></span>
, and it can be seen that 
<span id="IEq118"><mml:math id="IEq118_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq118_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq118.gif"/></span>
 is stable. Figure 
<a href="#Fig4"><sup>4</sup></a>
 shows that 
<em>I</em>
(
<em>t</em>
) does not vanish when 
<span id="IEq119"><mml:math id="IEq119_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.05</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq119_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.05$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq119.gif"/></span>
, and in this case, 
<span id="IEq120"><mml:math id="IEq120_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq120_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq120.gif"/></span>
 is stable .
<figure id="Fig1"><h3>Fig. 1</h3>
<figcaption><p>The line of optimal proportions of vaccine. For those values of 
<span id="IEq121"><mml:math id="IEq121_Math"><mml:mi>ϑ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq121_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\vartheta$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq121.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq122"><mml:math id="IEq122_Math"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq122_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq122.gif"/></span>
 that lie below the line, 
<span id="IEq123"><mml:math id="IEq123_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq123_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq123.gif"/></span>
 is stable (red point), and for such values that lie above the line, 
<span id="IEq124"><mml:math id="IEq124_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq124_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq124.gif"/></span>
 is stable (blue point)</p></figcaption>
<img src="40096_2018_271_Fig1_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig2"><h3>Fig. 2</h3>
<figcaption><p>Solutions of model (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
) for 
<span id="IEq125"><mml:math id="IEq125_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.05</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq125_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.05$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq125.gif"/></span>
 (left) and 
<span id="IEq126"><mml:math id="IEq126_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq126_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq126.gif"/></span>
 (right)</p></figcaption>
<img src="40096_2018_271_Fig2_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig3"><h3>Fig. 3</h3>
<figcaption><p>Solutions of 
<em>I</em>
(
<em>t</em>
) (
<strong>a</strong>
) and the phase diagram of 
<em>I</em>
(
<em>t</em>
) and 
<em>S</em>
(
<em>t</em>
) (
<strong>b</strong>
) for 
<span id="IEq127"><mml:math id="IEq127_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq127_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq127.gif"/></span>
 with different initial values in each subpopulation. In this case, 
<span id="IEq128"><mml:math id="IEq128_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.80</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq128_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0=0.80<1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq128.gif"/></span>
 and disease will be extinct with 
<span id="IEq129"><mml:math id="IEq129_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>53.33</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>96.67</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq129_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$I^0=0, S^0=53.33, V^0=96.67$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq129.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_271_Fig3_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig4"><h3>Fig. 4</h3>
<figcaption><p>Diagrams of 
<em>I</em>
(
<em>t</em>
) (
<strong>a</strong>
) and the phase diagram of 
<em>I</em>
(
<em>t</em>
) and 
<em>S</em>
(
<em>t</em>
) (
<strong>b</strong>
) for 
<span id="IEq130"><mml:math id="IEq130_Math"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.05</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq130_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tau =0.05$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq130.gif"/></span>
 with different initial values. This gives 
<span id="IEq131"><mml:math id="IEq131_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.73</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq131_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0=1.73>1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq131.gif"/></span>
 , and disease will persist with 
<span id="IEq132"><mml:math id="IEq132_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>34.74</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>66.32</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>31.58</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq132_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$I^*=34.74, S^*=66.32, V^*=31.58$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq132.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_271_Fig4_HTML.png" /></figure></p></section>
<section><h2>Conclusions</h2>
<p>In this paper, a deterministic SIS epidemic model with temporary vaccination was studied. Vaccination includes both susceptible and new members, and disease transmission takes place at standard incidence rate. The number of individuals which are added to the population per unit time is constant and differs from the number of individuals that die and leave the population per unit time. Thus, the total population size is variable. Dynamics of the model at the endemic equilibrium were determined by the basic reproduction number 
<span id="IEq133"><mml:math id="IEq133_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq133_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq133.gif"/></span>
; when 
<span id="IEq134"><mml:math id="IEq134_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq134_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {R}}_0 >1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq134.gif"/></span>
 , the unique endemic equilibrium 
<span id="IEq135"><mml:math id="IEq135_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq135_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq135.gif"/></span>
 is locally asymptotically stable and uniformly persists. In addition, it was shown that in this case 
<span id="IEq136"><mml:math id="IEq136_Math"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq136_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$E^*$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_271_Article_IEq136.gif"/></span>
 is globally asymptotically stable under some conditions by employing a geometric approach and second additive compound matrix method. A numerical discussion was also performed to support the theoretical results.</p></section><hr/><h2>Publisher’s Note</h2>
<p>Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</p>
<hr/><h2>References</h2>
<ol><li>Allen (2007) <em></em> Pearson/Prentice Hall</li><li>Arino et al. (2003) <em>Global results for an epidemic model with vaccination that exhibits backward bifurcation</em> 64(1) (pp. 260-276) <a href="https://doi.org/10.1137/S0036139902413829" target="_blank">10.1137/S0036139902413829</a></li><li>Brauer and Castillo-Chavez (2001) <em></em> Springer <a href="https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3516-1" target="_blank">10.1007/978-1-4757-3516-1</a></li><li>Chalub and Souza (2014) <em>Discrete and continuous SIS epidemic models: a unifying approach</em> (pp. 83-95) <a href="https://doi.org/10.1016/j.ecocom.2014.01.006" target="_blank">10.1016/j.ecocom.2014.01.006</a></li><li>Farnoosh and Parsamanesh (2017) <em>Disease extinction and persistence in a discrete-time SIS epidemic model with vaccination and varying population size</em> 31(15) (pp. 4735-4747) <a href="https://doi.org/10.2298/FIL1715735F" target="_blank">10.2298/FIL1715735F</a></li><li>Farnoosh and Parsamanesh (2017) <em>Stochastic differential equation systems for an SIS epidemic model with vaccination and immigration</em> 46(17) (pp. 8723-8736) <a href="https://doi.org/10.1080/03610926.2016.1189571" target="_blank">10.1080/03610926.2016.1189571</a></li><li>Hu et al. (2012) <em>Stability analysis in a class of discrete SIRS epidemic models</em> 13(5) (pp. 2017-2033) <a href="https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.12.024" target="_blank">10.1016/j.nonrwa.2011.12.024</a></li><li>Jami et al. (2016) <em>Numerical solution of stochastic SIR model via split-step forward Milstein method</em> 2016(1) (pp. 38-45)</li><li>Jianquan and Zhien (2004) <em>Global analysis of SIS epidemic models with variable total population size</em> 39(11) (pp. 1231-1242) <a href="https://doi.org/10.1016/j.mcm.2004.06.004" target="_blank">10.1016/j.mcm.2004.06.004</a></li><li>Kribs-Zaleta and Velasco-Hernandez (2000) <em>A simple vaccination model with multiple endemic states</em> 164(2) (pp. 183-201) <a href="https://doi.org/10.1016/S0025-5564(00)00003-1" target="_blank">10.1016/S0025-5564(00)00003-1</a></li><li>Li and Ma (2002) <em>Qualitative analyses of SIS epidemic model with vaccination and varying total population size</em> 35(11) (pp. 1235-1243) <a href="https://doi.org/10.1016/S0895-7177(02)00082-1" target="_blank">10.1016/S0895-7177(02)00082-1</a></li><li>Li and Muldowney (1996) <em>A geometric approach to global-stability problems</em> 27(4) (pp. 1070-1083) <a href="https://doi.org/10.1137/S0036141094266449" target="_blank">10.1137/S0036141094266449</a></li><li>Liu et al. (2008) <em>SVIR epidemic models with vaccination strategies</em> 253(1) (pp. 1-11) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2007.10.014" target="_blank">10.1016/j.jtbi.2007.10.014</a></li><li>Parsamanesh (2017) <em>Global stability analysis of a VEISV model for network worm attack</em> 79(4) (pp. 179-188)</li><li>Parsamanesh (2018) <em>Global dynamics of an SIVS epidemic model with bilinear incidence rate</em> (pp. 544-557)</li><li>Rahmani et al. (2016) <em>Numerical solution of stochastic SIR model by Bernstein polynomials</em> 2016(1) (pp. 19-25)</li><li>Safan and Rihan (2014) <em>Mathematical analysis of an SIS model with imperfect vaccination and backward bifurcation</em> (pp. 195-206) <a href="https://doi.org/10.1016/j.matcom.2011.07.007" target="_blank">10.1016/j.matcom.2011.07.007</a></li><li>Sun and Hsieh (2010) <em>Global analysis of an SEIR model with varying population size and vaccination</em> 34(10) (pp. 2685-2697) <a href="https://doi.org/10.1016/j.apm.2009.12.005" target="_blank">10.1016/j.apm.2009.12.005</a></li><li>Yang et al. (2010) <em>Global analysis for a general epidemiological model with vaccination and varying population</em> 372(1) (pp. 208-223) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.07.017" target="_blank">10.1016/j.jmaa.2010.07.017</a></li><li>Yang (2015) <em>Global stability of VEISV propagation modeling for network worm attack</em> 39(2) (pp. 776-780) <a href="https://doi.org/10.1016/j.apm.2014.07.010" target="_blank">10.1016/j.apm.2014.07.010</a></li><li>Zhang and Liu (2009) <em>Backward bifurcation and global dynamics of an SIS epidemic model with general incidence rate and treatment</em> 10(2) (pp. 565-575) <a href="https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2007.10.011" target="_blank">10.1016/j.nonrwa.2007.10.011</a></li><li>Zhao and Jiang (2014) <em>The threshold of a stochastic SIS epidemic model with vaccination</em> (pp. 718-727)</li><li>Zhou and Cui (2011) <em>Modeling and stability analysis for a cholera model with vaccination</em> 34(14) (pp. 1711-1724)</li></ol>