<h1>A computational method for solving stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms</h1>
			<ul class="item-list">
	        	        <li>
	            N. Momenzade	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            A. R. Vahidi	            	            <abbr title="This is the corresponding author for this article">*</abbr>
	            	            	                <a href="mailto:alrevahidi@yahoo.com" class="tiny-icon email-link mx-1" title="Email A. R. Vahidi">
	                    Email
	                </a>
	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, College of Science, Yadegar-e-Emam Khomeyni (RAH) Shahr-e-Rey Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR">
	                2	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            E. Babolian	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, College of Science, Yadegar-e-Emam Khomeyni (RAH) Shahr-e-Rey Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR">
	                2	            </sup>
	            	        </li>
	        	    </ul>
	    	    <ol class="affiliations" aria-hidden="true">
	        <li>Department of Mathematics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR</li><li>Department of Mathematics, College of Science, Yadegar-e-Emam Khomeyni (RAH) Shahr-e-Rey Branch, Islamic Azad University, Tehran, IR</li>	    </ol>
	    
<h2>Abstract</h2>
<p>In this paper, a linear combination of quadratic modified hat functions is proposed to solve stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms. All known and unknown functions are expanded in terms of modified hat functions and replaced in the original equation. The operational matrices are calculated and embedded in the equation to achieve a linear system of equations which gives the expansion coefficients of the solution. Also, under some conditions the error of the method is 
<span id="IEq1"><mml:math id="IEq1_Math"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$O(h^3)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq1.gif"/></span>
. The accuracy and reliability of the method are studied and compared with those of block pulse functions and generalized hat functions in some examples.</p><hr/><section><h2>Introduction</h2>
<p>Nowadays, modelling different problems in different issues of science leads to stochastic equations [
<a href="#CR1"><sup>1</sup></a>
]. These equations arise in many fields of science such as mathematics and statistics [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
, 
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
, 
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
, 
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
, 
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
–
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
], finance [
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
, 
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
–
<a href="#CR10"><sup>10</sup></a>
], physics [
<a href="#CR11"><sup>11</sup></a>
, 
<a href="#CR12"><sup>12</sup></a>
–
<a href="#CR13"><sup>13</sup></a>
], mechanics [
<a href="#CR14"><sup>14</sup></a>
, 
<a href="#CR15"><sup>15</sup></a>
], biology [
<a href="#CR16"><sup>16</sup></a>
, 
<a href="#CR17"><sup>17</sup></a>
–
<a href="#CR18"><sup>18</sup></a>
], and medicine [
<a href="#CR19"><sup>19</sup></a>
, 
<a href="#CR20"><sup>20</sup></a>
]. Whereas most of them do not have an exact solution, the role of numerical methods and finding a reliable and accurate numerical approximation have become highlighted [
<a href="#CR21"><sup>21</sup></a>
].</p>
<p>In recent years, different orthogonal basic functions and polynomials have been used to find a numerical solution for integral equations such as block pulse functions [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
, 
<a href="#CR21"><sup>21</sup></a>
, 
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
], hat functions [
<a href="#CR23"><sup>23</sup></a>
], hybrid functions [
<a href="#CR24"><sup>24</sup></a>
, 
<a href="#CR25"><sup>25</sup></a>
], wavelet methods [
<a href="#CR26"><sup>26</sup></a>
, 
<a href="#CR27"><sup>27</sup></a>
–
<a href="#CR28"><sup>28</sup></a>
], triangular functions [
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
, 
<a href="#CR29"><sup>29</sup></a>
], and Bernstein polynomials [
<a href="#CR30"><sup>30</sup></a>
]. In this paper, MHFs will be applied to find an approximate solution for the following stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms,
<section id="Equ19"><mml:math display="block" id="Equ19_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&X(t)=f(t)+\int _0^t\mu (s,t)X(s)\,\hbox {d}s\\&\qquad +\sum _{j=1}^n\int _0^t\sigma _j(s,t)X(s)\,dB_j(s), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ19.gif"/></section>
where 
<span id="IEq2"><mml:math id="IEq2_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t\in D=[0,T), X, f, \mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq2.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq3"><mml:math id="IEq3_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma _j,\,j=1,2,\dots ,n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq3.gif"/></span>
, for 
<span id="IEq4"><mml:math id="IEq4_Math"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$s,t\in D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq4.gif"/></span>
 are the stochastic processes defined on the same probability space (
<span id="IEq5"><mml:math id="IEq5_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Omega ,F,P$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq5.gif"/></span>
) and 
<em>X</em>
 is unknown. Also 
<span id="IEq6"><mml:math id="IEq6_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\int _0^t\sigma _j(s,t)X(s)\,dB_j(s)\,,\,j=1,2,\dots ,n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq6.gif"/></span>
 are Itô integrals and 
<span id="IEq7"><mml:math id="IEq7_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_1(t), B_2(t),\dots \, B_n(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq7.gif"/></span>
 are the Brownian motion processes [
<a href="#CR31"><sup>31</sup></a>
, 
<a href="#CR32"><sup>32</sup></a>
].</p>
<p>The paper is organized as follows: In “MHFs and their properties” section, the MHFs and their properties are described. In “Operational matrices” section, the operational matrices are found. In “Solving stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms by the MHFs” section, the sets and operational matrices are applied in the above equation and the approximate solution is found. In “Error analysis” section, the error analysis of the present method is discussed. In the “Numerical examples” section, some numerical examples are solved by using this method. And finally, the last section concludes the paper.</p></section>
<section><h2>MHFs and their properties</h2>
<p>In this section, we recall the definition and properties of modified hat functions [
<a href="#CR33"><sup>33</sup></a>
]. Let 
<span id="IEq8"><mml:math id="IEq8_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\ge 2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq8.gif"/></span>
 be an even integer and 
<span id="IEq9"><mml:math id="IEq9_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h=\frac{T}{m}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq9.gif"/></span>
. Also assume that the interval [0, 
<em>T</em>
) is divided into 
<span id="IEq10"><mml:math id="IEq10_Math"><mml:mfrac><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:math><tex-math id="IEq10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{m}{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq10.gif"/></span>
 equal subintervals 
<span id="IEq11"><mml:math id="IEq11_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[ih,(i+2)h], i=0, 2,\dots , (m-2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq11.gif"/></span>
 and let 
<span id="IEq12"><mml:math id="IEq12_Math"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X_m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq12.gif"/></span>
 be the set of all continuous functions that are quadratic polynomials when restricted to each of the above subintervals. Because each element of 
<span id="IEq13"><mml:math id="IEq13_Math"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X_m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq13.gif"/></span>
 is completely determined by its values at the 
<span id="IEq14"><mml:math id="IEq14_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq14.gif"/></span>
 nodes 
<span id="IEq15"><mml:math id="IEq15_Math"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ih, i=0, 1,\dots , m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq15.gif"/></span>
, the dimension of 
<span id="IEq16"><mml:math id="IEq16_Math"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X_m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq16.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq17"><mml:math id="IEq17_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq17.gif"/></span>
. Considering that 
<span id="IEq18"><mml:math id="IEq18_Math"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>χ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f\in \chi =C^3(D)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq18.gif"/></span>
 can be approximated by its expansion with respect to the following set functions, 
<span id="IEq19"><mml:math id="IEq19_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq19.gif"/></span>
 set of MHFs are defined over 
<em>D</em>
 as
<section id="Equ20"><mml:math display="block" id="Equ20_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>otherwise</mml:mtext><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} h_0 (t)=&{\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2h^2}(t-h)(t-2h), & \quad 0 \le t \le 2h \\ 0 , & \quad \hbox {otherwise}. \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ20.gif"/></section>
If 
<em>i</em>
 is odd and 
<span id="IEq20"><mml:math id="IEq20_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1\le i\le (m-1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq20.gif"/></span>
,
<section id="Equ1"><mml:math display="block" id="Equ1_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>otherwise</mml:mtext><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} h_i (t)=&{\left\{ \begin{array}{ll} \frac{-1}{h^2}(t-(i-1)h)(t-(i+1)h), &{} (i-1)h \le t \le (i+1)h \\ 0, &{} \hbox {otherwise}. \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ1.gif"/></section>
If 
<em>i</em>
 is even and 
<span id="IEq21"><mml:math id="IEq21_Math"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2 \le i \le (m-2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq21.gif"/></span>
,
<section id="Equ21"><mml:math display="block" id="Equ21_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>otherwise</mml:mtext><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} h_i (t)=&{\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2h^2}(t-(i-1)h)(t-(i-2)h), &{} (i-2)h \le t \le ih \\ \frac{1}{2h^2}(t-(i+1)h)(t-(i+2)h), &{} ih \le t \le (i+2)h \\ 0, &{} \hbox {otherwise}, \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ21.gif"/></section>
and
<section id="Equ22"><mml:math display="block" id="Equ22_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>otherwise</mml:mtext><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} h_m (t)=&{\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2h^2}(t-(T-h))(t-(T-2h)), &{} T-2h \le t \le T \\ 0, &{} \hbox {otherwise}. \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ22.gif"/></section></p>
<section><h2>Properties of the MHFs</h2>
<p>By considering the above definition, the following properties come as a result.
<section id="Equ23"><mml:math display="block" id="Equ23_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} 1)\, h_i (jh)=&{\left\{ \begin{array}{ll} 1, & \quad i=j \\ 0, & \quad i\ne j \end{array}\right. } . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ23.gif"/></section>
<section id="Equ24"><mml:math display="block" id="Equ24_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>even and</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>i</mml:mi><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mtext>odd and</mml:mtext><mml:mspace width="0.333333em"/><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} 2)\, h_i(t)h_j(t)&= {\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \quad i \text { even and }|i-j|\ge 3 \\ 0, & \quad i \text { odd and }|i-j|\ge 2 \end{array}\right. }. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ24.gif"/></section>
3) They are linearly independent.
<section id="Equ25"><mml:math display="block" id="Equ25_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} 4)\,\sum _{i=0}^m h_i(t)=&1.&\end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ25.gif"/></section>
Suppose
<section id="Equ2"><mml:math display="block" id="Equ2_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathbf H (t)= [h_0(t) , h_1(t) ,\dots , h_m(t)]^T, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ2.gif"/></section>
by applying the second property and considering definition (
<a href="#Equ1"><sup>1</sup></a>
), we obtain
<section id="Equ26"><mml:math display="block" id="Equ26_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} 5)\,\mathbf H (t)\mathbf H ^T(t)\simeq&\begin{pmatrix} h_0(t) &{} 0 &{} \dots &{} 0 \\ 0 &{} h_1(t) &{} \dots &{} 0 \\ \vdots &{} \vdots &{}\ddots &{} \vdots \\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} h_m(t) \end{pmatrix}.&\end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ26.gif"/></section>
<section id="Equ27"><mml:math display="block" id="Equ27_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} 6)\,{\mathbf {H}}(t){\mathbf {H}}(t)^T\mathbf X \simeq&diag(\mathbf X ){\mathbf {H}}(t),&\end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ27.gif"/></section>
7) Let 
<span id="IEq22"><mml:math id="IEq22_Math"><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {A}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq22.gif"/></span>
 be an 
<span id="IEq23"><mml:math id="IEq23_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m+1)\times (m+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq23.gif"/></span>
 matrix and 
<span id="IEq24"><mml:math id="IEq24_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {H}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq24.gif"/></span>
 be the vector of 
<span id="IEq25"><mml:math id="IEq25_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq25.gif"/></span>
-MHFs defined in (
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
) then 
<span id="IEq26"><mml:math id="IEq26_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {H}}(t)^T\mathbf {A}{\mathbf {H}}(t)\simeq {\mathbf {H}}(t)^T\tilde{\mathbf {A}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq26.gif"/></span>
 , where 
<span id="IEq27"><mml:math id="IEq27_Math"><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover></mml:math><tex-math id="IEq27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\tilde{\mathbf {A}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq27.gif"/></span>
 is a column vector with 
<span id="IEq28"><mml:math id="IEq28_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq28.gif"/></span>
 entries equal to the diagonal entries of the matrix 
<span id="IEq29"><mml:math id="IEq29_Math"><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {A}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq29.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Function approximation</h2>
<p>An arbitrary real function 
<em>f</em>
 on 
<em>D</em>
 can be expanded by these functions as [
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
]
<section id="Equ3"><mml:math display="block" id="Equ3_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} f(t)\simeq \sum _{i=0}^m f_i h_i(t)= \mathbf F ^T \mathbf H (t)=\mathbf H ^T(t)\mathbf F , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ3.gif"/></section>
where 
<span id="IEq30"><mml:math id="IEq30_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf F = [f_0 , f_1 , \dots , f_m]^T$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq30.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq31"><mml:math id="IEq31_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf H (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq31.gif"/></span>
 is defined in relation (
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
) and the coefficients in (
<a href="#Equ3"><sup>3</sup></a>
) are given by 
<span id="IEq32"><mml:math id="IEq32_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f_i=f(ih), i=0,1,\dots ,m.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq32.gif"/></span></p>
<p>Similarly, an arbitrary real function of two variables 
<em>g</em>
(
<em>s</em>
, 
<em>t</em>
) on 
<span id="IEq33"><mml:math id="IEq33_Math"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$D \times D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq33.gif"/></span>
 can be expanded by these basic functions as
<section id="Equ4"><mml:math display="block" id="Equ4_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi mathvariant="bold">I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} g(s,t)\simeq \mathbf H ^T(s)\,\mathbf G \,\mathbf I (t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ4.gif"/></section>
where 
<span id="IEq34"><mml:math id="IEq34_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">I</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf H (s),\mathbf I (t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq34.gif"/></span>
  are, respectively, 
<span id="IEq35"><mml:math id="IEq35_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m_1+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq35.gif"/></span>
- and 
<span id="IEq36"><mml:math id="IEq36_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m_2+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq36.gif"/></span>
-dimensional MHFs vectors. 
<span id="IEq37"><mml:math id="IEq37_Math"><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf G$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq37.gif"/></span>
 is the 
<span id="IEq38"><mml:math id="IEq38_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m_1+1)\times (m_2+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq38.gif"/></span>
 MHFs coefficient matrix with entries 
<span id="IEq39"><mml:math id="IEq39_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G_{ij} ,i=0,1,2,\dots ,m_1\, , j=0,1,2,\dots ,m_2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq39.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq40"><mml:math id="IEq40_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$G_{ij}=g(ih,jk),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq40.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq41"><mml:math id="IEq41_Math"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h=\frac{T}{m_1}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq41.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq42"><mml:math id="IEq42_Math"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k=\frac{T}{m_2}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq42.gif"/></span>
 For convenience, we put 
<span id="IEq43"><mml:math id="IEq43_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m_1=m_2=m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq43.gif"/></span>
.</p></section></section>
<section><h2>Operational matrices</h2>
<section><p>In this section, we present both operational matrix of integrating the vector 
<span id="IEq44"><mml:math id="IEq44_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {H}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq44.gif"/></span>
, denoted by 
<span id="IEq45"><mml:math id="IEq45_Math"><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf P$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq45.gif"/></span>
, and stochastic operational matrix of Itô integrating the vector 
<span id="IEq46"><mml:math id="IEq46_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {H}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq46.gif"/></span>
, denoted by 
<span id="IEq47"><mml:math id="IEq47_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf P _s$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq47.gif"/></span>
. Therefore, by integrating the vector 
<span id="IEq48"><mml:math id="IEq48_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {H}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq48.gif"/></span>
 defined in (
<a href="#Equ2"><sup>2</sup></a>
), we have [
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
, 
<a href="#CR35"><sup>35</sup></a>
]
<section id="Equ5"><mml:math display="block" id="Equ5_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \int _0^t{\mathbf {H}}(\tau )\,\hbox {d}\tau =\mathbf P {\mathbf {H}}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ5.gif"/></section>
where 
<span id="IEq49"><mml:math id="IEq49_Math"><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf P$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq49.gif"/></span>
 is the following  
<span id="IEq50"><mml:math id="IEq50_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m+1)\times (m+1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq50.gif"/></span>
 operational matrix of integration of MHFs
<section id="Equ28"><mml:math display="block" id="Equ28_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mathbf P =\frac{h}{12} \begin{pmatrix} 0 &{} 5 &{} 4 &{} 4 &{} 4 &{} \dots &{} 4 &{} 4 &{} 4 &{} 4 \\ 0 &{} 8 &{} 16 &{} 16&{} 16 &{} \dots &{} 16 &{}16&{}16&{}16 \\ 0 &{} -1 &{} 4 &{} 9 &{} 8 &{} \dots &{} 8 &{} 8 &{} 8 &{} 8\\ &{}&{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} &{} &{} \\ &{} &{} &{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} &{} \\ &{} &{} &{} &{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \\ &{} &{} &{} &{} &{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots \\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0&{}\dots &{} -1 &{} 4&{}9&{}8 \\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} \dots &{}0&{}0&{}8&{}16\\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} \dots &{}0&{}0&{}-1&{}4 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ28.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Theorem 1</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq51"><mml:math id="IEq51_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {H}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq51.gif"/></span>
<em>be the vector defined in (2), the Itô integral of</em>
<span id="IEq52"><mml:math id="IEq52_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {H}}(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq52.gif"/></span>
<em>can be expressed as</em>
<section id="Equ6"><mml:math display="block" id="Equ6_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \int _0^t{\mathbf {H}}(\tau )\,dB(\tau )=\mathbf P _s{\mathbf {H}}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ6.gif"/></section>
<em>where</em>
<span id="IEq53"><mml:math id="IEq53_Math"><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf P _s$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq53.gif"/></span>
<em>is the following</em>
<span id="IEq54"><mml:math id="IEq54_Math"><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\,(m+1)\times (m+1)\,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq54.gif"/></span>
<em>stochastic operational matrix of integration</em>
<section id="Equ7"><mml:math display="block" id="Equ7_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{llllllllll} 0 &{} \gamma _1 &{} \gamma _2 &{} \gamma _2 &{} \gamma _2 &{} \dots &{} \gamma _2 &{} \gamma _2 &{} \gamma _2 &{}\gamma _2 \\ 0 &{} B(h)+\theta _{1,1} &{} \theta _{2,1} &{} \theta _{2,1}&{} \theta _{2,1} &{} \dots &{} \theta _{2,1} &{}\theta _{2,1}&{}\theta _{2,1}&{}\theta _{2,1} \\ 0 &{} \eta _{1,2} &{} B(2h)+\eta _{2,2} &{} \eta _{3,2} &{} \eta _{4,2} &{} \dots &{} \eta _{4,2} &{} \eta _{4,2} &{} \eta _{4,2} &{} \eta _{4,2}\\ &{}&{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} &{} &{} \\ &{} &{} &{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} &{} \\ &{} &{} &{} &{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \\ &{} &{} &{} &{} &{}\ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots &{} \ddots \\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0&{}\dots &{} \eta _{1,m-2} &{} B(T-2h)+\eta _{2,m-2}&{}\eta _{3,m-2}&{}\eta _{4,m-2} \\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} \dots &{}0&{}0&{}B(T-h)+\theta _{1,m-1}&{} \theta _{2,m-1}\\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} \dots &{}0&{}0&{}\eta _{1,m}&{}B(T)+\eta _{2,m} \end{array} \right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ7.gif"/></section>
<em>with</em>
<section id="Equ29"><mml:math display="block" id="Equ29_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \gamma _1= & {} -\displaystyle \int _0^h \frac{1}{2h^2}(2\tau -3h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau \\ \gamma _2= & {} -\displaystyle \int _0^{2h} \frac{1}{2h^2}(2\tau -3h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau ,\\ \theta _{1,i}= & {} \displaystyle \int _{(i-1)h}^{ih}\frac{1}{h^2}(2\tau -2ih)B(\tau )\,\hbox {d}\tau ,\\ \theta _{2,i}= & {} \displaystyle \int _{(i-1)h}^{(i+1)h}\frac{1}{h^2}(2\tau -2ih)B(\tau )\,\hbox {d}\tau ,\\ \eta _{1,i}= & {} -\displaystyle \int _{(i-2)h}^{(i-1)h}\frac{1}{2h^2}(2\tau -(2i-3)h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau ,\\ \eta _{2,i}= & {} -\displaystyle \int _{(i-2)h}^{ih}\frac{1}{2h^2}(2\tau -(2i-3)h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau ,\\ \eta _{3,i}= & {} -\displaystyle \int _{(i-2)h}^{ih}\frac{1}{2h^2}(2\tau -(2i-3)h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau \\&\quad -\int _{ih}^{(i+1)h}\frac{1}{2h^2}(2\tau -(2i+3)h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ29.gif"/></section>
<em>and</em>
<section id="Equ30"><mml:math display="block" id="Equ30_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \eta _{4,i}=-\displaystyle \int _{(i-2)h}^{ih} \frac{1}{2h^2}(2\tau -(2i-3)h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau -\int _{ih} ^{(i+2)h}\frac{1}{2h^2}(2\tau -(2i+3)h)B(\tau )\,\hbox {d}\tau . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ30.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By considering definitions of 
<span id="IEq55"><mml:math id="IEq55_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h_i(t), i= 0, 1,\dots , m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq55.gif"/></span>
 and integrating by parts, we have
<section id="Equ31"><mml:math display="block" id="Equ31_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mrow/></mml:mstyle></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \displaystyle \int _0^t h_i(\tau )dB(\tau ) &= h_i(t)B(t)-h_i(0)B(0)-\int _0^t h_i'(\tau )B(\tau )\hbox {d}\tau \\ \displaystyle &= h_i(t)B(t)-\int _0^t h_i'(\tau )B(\tau )\hbox {d}\tau , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ31.gif"/></section>
expanding 
<span id="IEq56"><mml:math id="IEq56_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\int _0^t h_i(\tau )dB(\tau )$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq56.gif"/></span>
 in terms of MHFs yields
<section id="Equ32"><mml:math display="block" id="Equ32_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \int _0^t h_i(\tau )dB(\tau )\simeq \sum _{j=0}^m a_{ij}h_j(t) \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ32.gif"/></section>
and
<section id="Equ33"><mml:math display="block" id="Equ33_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">jh</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">jh</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} a_{ij} &= \int _0^{jh} h_i(\tau )dB(\tau ),\\= & \, h_i(jh)B(jh)-\int _0^{jh} h_i'(\tau )B(\tau )\hbox {d}\tau \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ33.gif"/></section>
so we obtain
<section id="Equ34"><mml:math display="block" id="Equ34_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} a_{0j}=&{\left\{ \begin{array}{ll} 0, &\quad j=0 \\ -\int _0^h\frac{1}{2h^2}(2s-3h)B(s)\hbox {d}s , &\quad j=1\\ -\int _0^{2h}\frac{1}{2h^2}(2s-3h)B(s)\hbox {d}s , &\quad j\ge 2. \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ34.gif"/></section>
If 
<em>i</em>
 is odd and 
<span id="IEq57"><mml:math id="IEq57_Math"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1\le i\le (m-1)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq57.gif"/></span>
<section id="Equ35"><mml:math display="block" id="Equ35_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} a_{ij}=&{\left\{ \begin{array}{ll} 0, &{} j \le i-1 \\ B(ih)-\int _{(i-1)h}^{ih}\frac{-1}{h^2}(2s-2ih)B(s)\hbox {d}s , &{} j=i\\ -\int _{(i-1)h}^{(i+1)h}\frac{-1}{h^2}(2s-2ih)B(s)\hbox {d}s , &{} j\ge i+1. \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ35.gif"/></section>
If 
<em>i</em>
 is even and 
<span id="IEq58"><mml:math id="IEq58_Math"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2\le i\le (m-2)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq58.gif"/></span>
,
<section id="Equ36"><mml:math display="block" id="Equ36_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ih</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} a_{ij}=&{\left\{ \begin{array}{ll} 0, &{} j \le i-2 \\ -\int _{(i-2)h}^{(i-1)h}\frac{1}{2h^2}(2s-(2i-3)h)B(s)\hbox {d}s , &{} j=i-1\\ B(ih)-\int _{(i-2)h}^{ih}\frac{1}{2h^2}(2s-(2i-3)h)B(s)\hbox {d}s , &{} j=i\\ -\int _{(i-2)h}^{ih}\frac{1}{2h^2}(2s-(2i-3)h)B(s)\hbox {d}s\\ -\int _{ih}^{(i+1)h}\frac{1}{2h^2}(2s-(2i+3)h)B(s)\hbox {d}s, &{} j=i+1\\ -\int _{(i-2)h}^{ih}\frac{1}{2h^2}(2s-(2i-3)h)B(s)\hbox {d}s\\ -\int _{ih}^{(i+2)h}\frac{1}{2h^2}(2s-(2i+3)h)B(s)\hbox {d}s , &{} j \ge i+2. \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ36.gif"/></section>
and
<section id="Equ37"><mml:math display="block" id="Equ37_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">mj</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} a_{mj}=&{\left\{ \begin{array}{ll} 0, &{} j \le m-2 \\ -\int _{(T-2h)}^{(T-h)}\frac{1}{2h^2}(2s-2T+3h)B(s)\hbox {d}s , &{} j=m-1\\ B(T)-\int _{(T-2h)}^{T}\frac{1}{2h^2}(2s-2T+3h)B(s)\hbox {d}s , &{} j=m. \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ37.gif"/></section>
Putting the obtained components in the matrix form ends the proof. 
<span id="IEq59"><mml:math id="IEq59_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq59.gif"/></span></p></section></section>
<section><h2>Solving stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms by the MHFs</h2>
<p>Our problem is to define the MHFs coefficients of X(t) in the following linear stochastic Itô–Volterra integral equation with several independent white noise sources,
<section id="Equ8"><mml:math display="block" id="Equ8_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&X(t)=f(t)+\int _0^t\mu (s,t)X(s)\,\hbox {d}s\nonumber \\&\qquad +\sum _{j=1}^n\int _0^t\sigma _j(s,t)X(s)\,dB_j(s),\,t\in D, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ8.gif"/></section>
where 
<span id="IEq60"><mml:math id="IEq60_Math"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X,f,\mu$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq60.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq61"><mml:math id="IEq61_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma _j, j=1,2,\dots ,n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq61.gif"/></span>
 for 
<span id="IEq62"><mml:math id="IEq62_Math"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$s,t\in D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq62.gif"/></span>
, are stochastic processes defined on the same probability space
<span id="IEq63"><mml:math id="IEq63_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\Omega ,F,P)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq63.gif"/></span>
. Also 
<span id="IEq64"><mml:math id="IEq64_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_1(t), B_2(t),\dots , B_n(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq64.gif"/></span>
 are Brownian motion processes, and 
<span id="IEq65"><mml:math id="IEq65_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\int _0^t \sigma _j(s,t)\,dB_j(s)\,,j = 1,2,\dots ,n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq65.gif"/></span>
 are the Itô integrals.</p>
<p>We replace 
<span id="IEq66"><mml:math id="IEq66_Math"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X(t),f(t),\mu (s,t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq66.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq67"><mml:math id="IEq67_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sigma _j(s,t)\,,j=1,2,\dots ,n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq67.gif"/></span>
 by their approximations which are obtained by MHFs:
<section id="Equ9"><mml:math display="block" id="Equ9_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\quad X(t)\simeq {\mathbf {X}}^T{\mathbf {H}}(t)={\mathbf {H}}(t)^T{\mathbf {X}}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ9.gif"/></section>
<section id="Equ10"><mml:math display="block" id="Equ10_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\quad f(t)\simeq \mathbf {F}^T{\mathbf {H}}(t)={\mathbf {H}}(t)^T\mathbf {F}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ10.gif"/></section>
<section id="Equ11"><mml:math display="block" id="Equ11_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≃</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \mu (s,t)\simeq & \quad {\mathbf {H}}(t)^T{\mu}^T{\mathbf {H}}(s) ={\mathbf {H}}(s)^T{\mu }{\mathbf {H}}(t), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ11.gif"/></section>
<section id="Equ12"><mml:math display="block" id="Equ12_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\sigma_j(s,t)\simeq {\mathbf {H}}(t)^T\mathbf {\Delta }_j^T{\mathbf {H}}(s) = {\mathbf {H}}(s)^T\mathbf {\Delta }_j{\mathbf {H}}(t),\nonumber \\&\quad j=1,2,\dots ,n, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ12.gif"/></section>
where 
<span id="IEq68"><mml:math id="IEq68_Math"><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathbf {X}}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq68.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq69"><mml:math id="IEq69_Math"><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {F}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq69.gif"/></span>
 are stochastic MHFs coefficient vectors and 
<span id="IEq70"><mml:math id="IEq70_Math"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math><tex-math id="IEq70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mu }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq70.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq71"><mml:math id="IEq71_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {\Delta }_j\,,j=1,2,\dots ,n$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq71.gif"/></span>
 are stochastic MHFs coefficient matrices. Substituting (
<a href="#Equ9"><sup>9</sup></a>
)–(
<a href="#Equ12"><sup>12</sup></a>
) in relation (
<a href="#Equ8"><sup>8</sup></a>
), we obtain
<section id="Equ13"><mml:math display="block" id="Equ13_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&{\mathbf {H}}(t)^T {\mathbf {X}} \simeq {\mathbf {H}}(t)^T \mathbf {F}+\left( \int _0^t{\mathbf {H}}(t)^T {\mu }^T {\mathbf {H}}(s) {\mathbf {H}}(s)^T {\mathbf {X}}\,\hbox {d}s \right) \nonumber \\&\qquad +\sum _{j=1}^n \left( \int _0^t {\mathbf {H}}(t)^T \mathbf {\Delta _j}^T {\mathbf {H}}(s) {\mathbf {H}}(s)^T {\mathbf {X}}\,dB_j(s)\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ13.gif"/></section>
Using the 6-th property in relation (
<a href="#Equ13"><sup>13</sup></a>
), we get
<section id="Equ14"><mml:math display="block" id="Equ14_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&{\mathbf {H}}(t)^T {\mathbf {X}} \simeq {\mathbf {H}}(t)^T \mathbf {F}+{\mathbf {H}}(t)^T {\mu }^T diag({\mathbf {X}}) \left( \int _0^t {\mathbf {H}}(s)\,\hbox {d}s \right) \nonumber \\&\quad +\sum _{j=1}^n {\mathbf {H}}(t)^T \mathbf {\Delta _j}^T diag({\mathbf {X}}) \left( \int _0^t {\mathbf {H}}(s) \,dB_j(s)\right) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ14.gif"/></section>
Utilizing operational matrices defined in relations (
<a href="#Equ5"><sup>5</sup></a>
) and (
<a href="#Equ6"><sup>6</sup></a>
) in (
<a href="#Equ14"><sup>14</sup></a>
), we have
<section id="Equ15"><mml:math display="block" id="Equ15_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">s</mml:mi></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&{\mathbf {H}}(t)^T {\mathbf {X}} \simeq {\mathbf {H}}(t)^T \mathbf {F}+{\mathbf {H}}(t)^T {\mu }^T diag({\mathbf {X}}) \mathbf {P} {\mathbf {H}}(t)\nonumber \\&\quad +\sum _{j=1}^n {\mathbf {H}}(t)^T \mathbf {\Delta _j}^T diag({\mathbf {X}}) \mathbf {P_s} {\mathbf {H}}(t). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ15.gif"/></section>
Let 
<span id="IEq72"><mml:math id="IEq72_Math"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {A}={\mu }^Tdiag({\mathbf {X}})\mathbf {P}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq72.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq73"><mml:math id="IEq73_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi><mml:mi mathvariant="bold">s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mathbf {B}_j=\mathbf {\Delta _j}^Tdiag({\mathbf {X}})\mathbf {P_s}, j=1,2,\dots ,n.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq73.gif"/></span>
 Applying property (7) in relation (
<a href="#Equ15"><sup>15</sup></a>
) yields
<section id="Equ38"><mml:math display="block" id="Equ38_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {\mathbf {H}}(t)^T {\mathbf {X}} \simeq {\mathbf {H}}(t)^T \mathbf {F}+ {\mathbf {H}}(t)^T \tilde{\mathbf {A}}+\sum _{j=1}^n {\mathbf {H}}(t)^T \tilde{\mathbf {B}}_j, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ38.gif"/></section>
therefore, by using the third property and replacing 
<span id="IEq74"><mml:math id="IEq74_Math"><mml:mo>≃</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\simeq$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq74.gif"/></span>
 by 
<span id="IEq75"><mml:math id="IEq75_Math"><mml:mo>=</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$=$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq75.gif"/></span>
, we have
<section id="Equ39"><mml:math display="block" id="Equ39_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~</mml:mo></mml:mover><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {\mathbf {X}}=\mathbf {F}+\tilde{\mathbf {A}}+\sum _{j=1}^{n}\tilde{\mathbf {B}}_j, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ39.gif"/></section>
which is a linear system of equations that gives the approximation of X with the help of MHFs.</p></section>
<section><h2>Error analysis</h2>
<section><p>In this section, the error analysis is studied. We propose some conditions to show that the rate of convergence for this method is 
<span id="IEq76"><mml:math id="IEq76_Math"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$O(h^3)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq76.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Theorem 2</h2>
<p>[
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
] 
<em>Let</em>
<span id="IEq77"><mml:math id="IEq77_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>χ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t_j=jh , j=0,1,\dots ,m , f\in \chi$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq77.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq78"><mml:math id="IEq78_Math"><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f_m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq78.gif"/></span>
<em>be the MHFs expansion of</em>
<em>f defined as</em>
<span id="IEq79"><mml:math id="IEq79_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f_m(t)=\sum _{j=0}^{m}f(t_j)h_j(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq79.gif"/></span>
<em>and also assume that</em>
<span id="IEq80"><mml:math id="IEq80_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_m(t)=f(t)-f_m(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq80.gif"/></span>
<em>, for</em>
<span id="IEq81"><mml:math id="IEq81_Math"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$t \in D$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq81.gif"/></span>
<em>, then we have</em>
<section id="Equ40"><mml:math display="block" id="Equ40_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:msqrt><mml:mn>3</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Vert e_m\Vert \le \frac{h^3}{9\sqrt{3}}\Vert f^{(3)}\Vert , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ40.gif"/></section>
<em>and hence</em>
<span id="IEq82"><mml:math id="IEq82_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Vert e_m\Vert =O(h^3)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq82.gif"/></span>
<em>. Where</em>
<span id="IEq83"><mml:math id="IEq83_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Vert .\Vert$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq83.gif"/></span>
<em>denotes the sup-norm for which any continuous function f is defined on the interval [0, T) by</em>
<section id="Equ41"><mml:math display="block" id="Equ41_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="true">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Vert f\Vert =\sup _{t\in [0,T)}|f(t)|. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ41.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Theorem 3</h2>
<p>[
<a href="#CR34"><sup>34</sup></a>
] 
<em>Let</em>
<span id="IEq84"><mml:math id="IEq84_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$s_i=t_i=ih , i=0,1,\dots ,m , \mu \in C^3(D \times D)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq84.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq85"><mml:math id="IEq85_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu _m(s,t)=\sum _{i=0}^{m}\sum _{j=0}^{m}\mu (s_i,t_j)h_i(s)h_j(t),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq85.gif"/></span>
<em>be the MHFs expansion of</em>
<span id="IEq86"><mml:math id="IEq86_Math"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu (s,t),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq86.gif"/></span>
<em>and also assume that</em>
<span id="IEq87"><mml:math id="IEq87_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_m(s,t)=\mu (s,t)-\mu _m(s,t),$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq87.gif"/></span>
<em>then we have</em>
<section id="Equ42"><mml:math display="block" id="Equ42_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:msqrt><mml:mn>3</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:msup><mml:mn>243</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\Vert e_m\Vert \le \frac{h^3}{9\sqrt{3}}\left( \Vert \mu _s^{(3)}\Vert +\Vert \mu _t^{(3)}\Vert \right) \\&\quad +\frac{h^6}{243}\Vert \mu _{s,t}^{(3+3)}\Vert , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ42.gif"/></section>
<em>and so</em>
<span id="IEq88"><mml:math id="IEq88_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Vert e_m\Vert = O(h^3).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq88.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Theorem 4</h2>
<p><em>Let X be the exact solution of </em>
 (
<a href="#Equ8"><sup>8</sup></a>
) 
<em>and</em>
<span id="IEq89"><mml:math id="IEq89_Math"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq89_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X_m$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq89.gif"/></span>
<em>be the MHFs series approximate solution of</em>
 (
<a href="#Equ8"><sup>8</sup></a>
) 
<em>, and also assume that</em>
<section id="Equ43"><mml:math display="block" id="Equ43_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&H_1:\,\Vert X\Vert \le \rho , \\& H_2:\,\Vert \mu \Vert \le K,\\& H_3:\,\Vert \sigma _j\Vert \le M_j, j=1,2,\dots ,n,\\& H_4:\,T(K+\gamma (h))+\sum _{j=1}^n(M_j+\lambda _j(h))\Vert B_j\Vert < 1, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ43.gif"/></section>
<em>then</em>
<section id="Equ44"><mml:math display="block" id="Equ44_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Vert X-X_m\Vert \le \frac{\Gamma (h)+T\rho \gamma (h)+\rho \sum \limits _{j=1}^n \lambda _j(h)\Vert B_j\Vert }{1-\left( T(K+\gamma (h)) +\sum \limits _{j=1}^n(M_j+\lambda _j(h))\Vert B_j\Vert \right) }, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ44.gif"/></section>
<em>and </em>
<span id="IEq90"><mml:math id="IEq90_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq90_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Vert X-X_m\Vert =O(h^3)\,,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq90.gif"/></span>
<em>where</em>
<section id="Equ45"><mml:math display="block" id="Equ45_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:msqrt><mml:mn>3</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:msqrt><mml:mn>3</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:msup><mml:mn>243</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:msqrt><mml:mn>3</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:msup><mml:mn>243</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>j</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\Gamma (h)=\frac{h^3}{9\sqrt{3}}\Vert f^{(3)}\Vert ,\\&\quad \gamma (h)=\frac{h^3}{9\sqrt{3}}\left( \Vert \mu _s^{(3)}\Vert +\Vert \mu _t^{(3)}\Vert \right) \\&\quad +\frac{h^6}{243}\Vert \mu _{s,t}^{(3+3)}\Vert ,\\&\quad \lambda _j(h)= \frac{h^3}{9\sqrt{3}}\left( \Vert \sigma _{j_s}^{(3)}\Vert +\Vert \sigma _{j_t}^{(3)}\Vert \right) \\&\quad +\frac{h^6}{243}\Vert \sigma _{j_{s,t}}^{(3+3)}\Vert ,\\&\quad j=1, 2,\dots , n. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ45.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>From relation (
<a href="#Equ8"><sup>8</sup></a>
), we have
<section id="Equ46"><mml:math display="block" id="Equ46_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">jm</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&X(t)-X_m(t)=f(t)-f_m(t)\\&\quad +\int _{0}^{t}\left( \mu (s,t)X(s)-\mu _m(s,t)X_m(s)\right) \,\hbox {d}s\\&\quad +\sum _{j=1}^{n}\int _{0}^{t}\\&\quad \left( \sigma _j(s,t)X(s)-\sigma _{jm}(s,t)X_m(s)\right) \,dB_j(s), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ46.gif"/></section>
now the following relation is concluded
<section id="Equ16"><mml:math display="block" id="Equ16_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} |X(t)-X_m(t)|\le |f(t)-f_m(t)|+tN +\sum _{j=1}^n |B_j(t)|N_j, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ16.gif"/></section>
where
<section id="Equ47"><mml:math display="block" id="Equ47_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} N= \sup \limits _{s,t\in [0,T)}|\mu (s,t)X(s)-\mu _m(s,t)X_m(s)|, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ47.gif"/></section>
and
<section id="Equ48"><mml:math display="block" id="Equ48_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">sup</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">jm</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} N_j= \sup \limits _{s,t\in [0,T)}|\sigma _j(s,t)X(s)-\sigma _{jm}(s,t)X_m(s)|, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ48.gif"/></section>
using Theorems 2 and 3, we also have
<section id="Equ17"><mml:math display="block" id="Equ17_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&N \le \Vert \mu \Vert \Vert X-X_m\Vert +\Vert \mu -\mu _m\Vert \left( \Vert X-X_m\Vert +\Vert X\Vert \right) \nonumber \\&\quad \le \Vert X-X_m\Vert (K+\gamma (h))+ \gamma (h)\rho ,\quad \,\, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ17.gif"/></section>
and
<section id="Equ18"><mml:math display="block" id="Equ18_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">jm</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\quad N_j \le \Vert \sigma _j\Vert \Vert X-X_m\Vert +\Vert \sigma _j-\sigma _{jm}\Vert (\Vert X-X_m\Vert +\Vert X\Vert )\nonumber \\&\le (M_j+\lambda _j(h))\Vert X-X_m\Vert +\lambda _j(h)\rho , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ18.gif"/></section>
j= 1, 2, ..., n.</p>
<p>By substituting (
<a href="#Equ17"><sup>17</sup></a>
) and (
<a href="#Equ18"><sup>18</sup></a>
) in relation (
<a href="#Equ16"><sup>16</sup></a>
), we obtain
<section id="Equ49"><mml:math display="block" id="Equ49_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\Vert X-X_m\Vert \le \Gamma (h)+T((K+\gamma (h))\Vert X-X_m\Vert +\rho \gamma (h))\\&\quad +\sum _{j=1}^{n}\Vert B_j\Vert \left( (M_j+\lambda _j(h))\Vert X-X_m\Vert +\rho \lambda _j(h)\right) , \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ49.gif"/></section>
and so
<section id="Equ50"><mml:math display="block" id="Equ50_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \Vert X-X_m\Vert \le \frac{\Gamma (h)+T\rho \gamma (h)+\rho \sum \limits _{j=1}^{n}\lambda _j(h)\Vert B_j(t)\Vert }{1-\left( T(K+\gamma (h)) +\sum \limits _{j=1}^{n}(M_j+\lambda _j(h))\Vert B_j(t)\Vert \right) }, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ50.gif"/></section>
which means 
<span id="IEq91"><mml:math id="IEq91_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq91_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Vert X-X_m\Vert =O(h^3)\,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq91.gif"/></span>
. Thus, the proof is complete. 
<span id="IEq92"><mml:math id="IEq92_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq92_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq92.gif"/></span></p></section></section>
<section><h2>Numerical examples</h2>
<section><p>In this section, we use our algorithm to solve stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms stated in “Solving stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms by the MHFs” section. In order to compare it with the method proposed in [
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
, 
<a href="#CR23"><sup>23</sup></a>
], we consider some examples. The computations associated with the examples were performed using Matlab 7 and [
<a href="#CR36"><sup>36</sup></a>
].</p></section>
<section><h2>Example 1</h2>
<p>Consider the following linear stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms [
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
]
<section id="Equ51"><mml:math display="block" id="Equ51_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&X(t)= X_0+\int _0^trX(s)\,\hbox {d}s\\&\quad +\sum _{j=1}^n\int _0^t\alpha _jX(s)dB_j(s),\, s,t \in [0,1), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ51.gif"/></section>
with the exact solution
<section id="Equ52"><mml:math display="block" id="Equ52_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} X(t)=X_0e^{(r-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n}\alpha _j^2)t +\sum _{j=1}^{n}\alpha _jB_j(t)}, \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ52.gif"/></section>
for 
<span id="IEq94"><mml:math id="IEq94_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq94_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le t< 1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq94.gif"/></span>
 where 
<em>X</em>
 is the unknown stochastic process, defined on the probability space 
<span id="IEq95"><mml:math id="IEq95_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq95_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\Omega ,F,P)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq95.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq96"><mml:math id="IEq96_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq96_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_1(t), B_2(t),\dots , B_n(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq96.gif"/></span>
 are the Brownian motion processes. The numerical results for 
<span id="IEq97"><mml:math id="IEq97_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>200</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>20</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>50</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>50</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>4</mml:mn><mml:mn>50</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>9</mml:mn><mml:mn>50</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq97_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X_0=\frac{1}{200}, r=\frac{1}{20}, \alpha _1=\frac{1}{50}, \alpha _2=\frac{2}{50}, \alpha _3=\frac{4}{50}, \alpha _4 = \frac{9}{50}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq97.gif"/></span>
 are shown in Table  
<a href="#Tab1"><sup>1</sup></a>
. Also curves in Figs. 
<a href="#Fig1"><sup>1</sup></a>
 and 
<a href="#Fig2"><sup>2</sup></a>
 show the exact and approximate solutions computed by this method for 
<span id="IEq98"><mml:math id="IEq98_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq98_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq98.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq99"><mml:math id="IEq99_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq99_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=40$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq99.gif"/></span>
. Figures 
<a href="#Fig3"><sup>3</sup></a>
 and 
<a href="#Fig4"><sup>4</sup></a>
 represent the errors of the present method.</p></section>
<section><p><figure id="Tab1"><h3>Table 1</h3>
<figcaption><p>Numerical results for Example 1</p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" colspan="4"><p><inline-formula id="IEq100"><alternatives><mml:math id="IEq100_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m=10)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq100.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left" colspan="3"><p><inline-formula id="IEq101"><alternatives><mml:math id="IEq101_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m=40)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq101.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr><tr><th align="left"><p>Nodes t<inline-formula id="IEq102"><alternatives><mml:math id="IEq102_Math"><mml:msub><mml:mrow/><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$_i$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq102.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p>Errors of BPFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR22">22</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of GHFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR23">23</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of present method</p></th><th align="left"><p>Errors of BPFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR22">22</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of GHFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR23">23</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of Present method</p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq103"><alternatives><mml:math id="IEq103_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.9</mml:mn><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.9e-5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq103.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq104"><alternatives><mml:math id="IEq104_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.6\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq104.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq105"><alternatives><mml:math id="IEq105_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.4\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq105.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq106"><alternatives><mml:math id="IEq106_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.6\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq106.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq107"><alternatives><mml:math id="IEq107_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq107_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.9\hbox {e}{-}6$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq107.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq108"><alternatives><mml:math id="IEq108_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq108_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.6\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq108.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq109"><alternatives><mml:math id="IEq109_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq109_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.3\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq109.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq110"><alternatives><mml:math id="IEq110_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq110_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq110.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.2</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq111"><alternatives><mml:math id="IEq111_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq111_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.4\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq111.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq112"><alternatives><mml:math id="IEq112_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq112_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.9\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq112.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq113"><alternatives><mml:math id="IEq113_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq113_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.5\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq113.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq114"><alternatives><mml:math id="IEq114_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq114_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.6\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq114.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq115"><alternatives><mml:math id="IEq115_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq115_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.4\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq115.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq116"><alternatives><mml:math id="IEq116_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq116_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.2\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq116.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq117"><alternatives><mml:math id="IEq117_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq117_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.1\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq117.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq118"><alternatives><mml:math id="IEq118_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq118_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.1\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq118.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq119"><alternatives><mml:math id="IEq119_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.8</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq119_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.8\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq119.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq120"><alternatives><mml:math id="IEq120_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq120_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.7\hbox {e}{-}6$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq120.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq121"><alternatives><mml:math id="IEq121_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq121_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.2\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq121.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq122"><alternatives><mml:math id="IEq122_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.8</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq122_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.8\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq122.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.4</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq123"><alternatives><mml:math id="IEq123_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq123_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.9\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq123.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq124"><alternatives><mml:math id="IEq124_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq124_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.3\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq124.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq125"><alternatives><mml:math id="IEq125_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq125_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.7\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq125.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq126"><alternatives><mml:math id="IEq126_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq126_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.4\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq126.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq127"><alternatives><mml:math id="IEq127_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq127_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq127.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq128"><alternatives><mml:math id="IEq128_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq128_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.1\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq128.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq129"><alternatives><mml:math id="IEq129_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq129_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.2\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq129.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq130"><alternatives><mml:math id="IEq130_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq130_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.9\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq130.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq131"><alternatives><mml:math id="IEq131_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq131_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.7\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq131.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq132"><alternatives><mml:math id="IEq132_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq132_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.9\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq132.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq133"><alternatives><mml:math id="IEq133_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq133_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.7\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq133.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq134"><alternatives><mml:math id="IEq134_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq134_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.5\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq134.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.6</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq135"><alternatives><mml:math id="IEq135_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq135_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.1\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq135.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq136"><alternatives><mml:math id="IEq136_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq136_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.7\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq136.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq137"><alternatives><mml:math id="IEq137_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq137_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.2\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq137.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq138"><alternatives><mml:math id="IEq138_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.8</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq138_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.8\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq138.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq139"><alternatives><mml:math id="IEq139_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq139_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.5\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq139.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq140"><alternatives><mml:math id="IEq140_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq140_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.9\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq140.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq141"><alternatives><mml:math id="IEq141_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq141_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq141.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq142"><alternatives><mml:math id="IEq142_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq142_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.5\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq142.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq143"><alternatives><mml:math id="IEq143_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq143_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.0\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq143.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq144"><alternatives><mml:math id="IEq144_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.8</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq144_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.8\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq144.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq145"><alternatives><mml:math id="IEq145_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq145_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq145.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq146"><alternatives><mml:math id="IEq146_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq146_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.6\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq146.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.8</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq147"><alternatives><mml:math id="IEq147_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq147_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.7\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq147.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq148"><alternatives><mml:math id="IEq148_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq148_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.9\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq148.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq149"><alternatives><mml:math id="IEq149_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq149_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.2\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq149.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq150"><alternatives><mml:math id="IEq150_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq150_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq150.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq151"><alternatives><mml:math id="IEq151_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq151_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.5\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq151.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq152"><alternatives><mml:math id="IEq152_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq152_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq152.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq153"><alternatives><mml:math id="IEq153_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq153_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.7\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq153.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq154"><alternatives><mml:math id="IEq154_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.8</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq154_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.8\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq154.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq155"><alternatives><mml:math id="IEq155_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq155_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq155.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq156"><alternatives><mml:math id="IEq156_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq156_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.2\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq156.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq157"><alternatives><mml:math id="IEq157_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq157_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.4\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq157.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq158"><alternatives><mml:math id="IEq158_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq158_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.1\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq158.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>1</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq159"><alternatives><mml:math id="IEq159_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq159_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq159.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq160"><alternatives><mml:math id="IEq160_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq160_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.3\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq160.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq161"><alternatives><mml:math id="IEq161_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq161_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.4\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq161.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq162"><alternatives><mml:math id="IEq162_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq162_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.1\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq162.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq163"><alternatives><mml:math id="IEq163_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq163_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.9\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq163.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq164"><alternatives><mml:math id="IEq164_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq164_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.1\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq164.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure></p></section>
<section><p><figure id="Fig1"><h3>Fig. 1</h3>
<figcaption><p>Numerical results for Example 1 with 
<span id="IEq165"><mml:math id="IEq165_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq165_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq165.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig1_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig2"><h3>Fig. 2</h3>
<figcaption><p>Numerical results for Example 1 with 
<span id="IEq166"><mml:math id="IEq166_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq166_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=40$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq166.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig2_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig3"><h3>Fig. 3</h3>
<figcaption><p>Error curve of the method for Example 1 with 
<span id="IEq167"><mml:math id="IEq167_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq167_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq167.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig3_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig4"><h3>Fig. 4</h3>
<figcaption><p>Error curve of the method for Example 1 with 
<span id="IEq168"><mml:math id="IEq168_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq168_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=40$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq168.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig4_HTML.png" /></figure></p></section>
<section><h2>Example 2</h2>
<p>Let [
<a href="#CR22"><sup>22</sup></a>
]
<section id="Equ53"><mml:math display="block" id="Equ53_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} X(t)= X_0+\int _0^tr(s)X(s)\,\hbox {d}s\\ \quad +\,\sum _{j=1}^n\int _0^t\alpha _j(s)X(s)dB_j(s),\,s,t \in [0,1), \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ53.gif"/></section>
be a linear stochastic Itô–Volterra integral equation with multi-stochastic terms with the exact solution
<section id="Equ54"><mml:math display="block" id="Equ54_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} X(t)=X_0e^{(\int _0^tr(s)-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n}\alpha _j^2(s)\hbox {d}s+\sum _{j=1} ^{n}\int _0^t\alpha _j(s)dB_j(s))} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_Equ54.gif"/></section>
for 
<span id="IEq170"><mml:math id="IEq170_Math"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq170_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le t< 1,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq170.gif"/></span>
 where 
<em>X</em>
 is the unknown stochastic process defined on the probability space 
<span id="IEq171"><mml:math id="IEq171_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq171_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(\Omega ,F,P)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq171.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq172"><mml:math id="IEq172_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq172_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_1(t), B_2(t),\dots , B_n(t)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq172.gif"/></span>
 are the Brownian motion processes. The numerical results for 
<span id="IEq173"><mml:math id="IEq173_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>12</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>30</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>10</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>sin</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq173_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$X_0=\frac{1}{12}, r=\frac{1}{30}, \alpha _1=\frac{1}{10}, \alpha _2(s)=s^2, \alpha _3(s)=\frac{\sin (s)}{3}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq173.gif"/></span>
 are inserted in Table 
<a href="#Tab2"><sup>2</sup></a>
. Also curves in Figs. 
<a href="#Fig5"><sup>5</sup></a>
 and 
<a href="#Fig6"><sup>6</sup></a>
 show the exact and approximate solutions computed by this method for 
<span id="IEq174"><mml:math id="IEq174_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq174_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq174.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq175"><mml:math id="IEq175_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq175_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=40$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq175.gif"/></span>
. Figures 
<a href="#Fig7"><sup>7</sup></a>
 and 
<a href="#Fig8"><sup>8</sup></a>
 represent the errors of the present method.</p></section>
<section><p><figure id="Tab2"><h3>Table 2</h3>
<figcaption><p>Numerical results for Example 2</p></figcaption>
<table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" colspan="4"><p><inline-formula id="IEq176"><alternatives><mml:math id="IEq176_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq176_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m=10)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq176.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left" colspan="3"><p><inline-formula id="IEq177"><alternatives><mml:math id="IEq177_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq177_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(m=40)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq177.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th></tr><tr><th align="left"><p>Nodes t <inline-formula id="IEq178"><alternatives><mml:math id="IEq178_Math"><mml:msub><mml:mrow/><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq178_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$_i$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq178.gif"/></alternatives></inline-formula></p></th><th align="left"><p>Errors of BPFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR22">22</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of GHFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR23">23</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of present method</p></th><th align="left"><p>Errors of BPFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR22">22</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of GHFs in [<xref ref-type="bibr" rid="CR23">23</xref>]</p></th><th align="left"><p>Errors of Present method</p></th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq179"><alternatives><mml:math id="IEq179_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.3</mml:mn><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq179_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.3e-4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq179.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq180"><alternatives><mml:math id="IEq180_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq180_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq180.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p>0</p></td><td align="left"><p>0</p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.1</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq181"><alternatives><mml:math id="IEq181_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq181_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.5\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq181.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq182"><alternatives><mml:math id="IEq182_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq182_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq182.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq183"><alternatives><mml:math id="IEq183_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.8</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq183_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.8\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq183.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq184"><alternatives><mml:math id="IEq184_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq184_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.3\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq184.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq185"><alternatives><mml:math id="IEq185_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq185_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq185.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq186"><alternatives><mml:math id="IEq186_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq186_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.3\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq186.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.2</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq187"><alternatives><mml:math id="IEq187_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq187_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.5\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq187.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq188"><alternatives><mml:math id="IEq188_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq188_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq188.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq189"><alternatives><mml:math id="IEq189_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq189_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.7\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq189.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq190"><alternatives><mml:math id="IEq190_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq190_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.1\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq190.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq191"><alternatives><mml:math id="IEq191_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq191_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq191.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq192"><alternatives><mml:math id="IEq192_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq192_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.3\hbox {e}{-}5$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq192.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.3</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq193"><alternatives><mml:math id="IEq193_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq193_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.5\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq193.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq194"><alternatives><mml:math id="IEq194_Math"><mml:mrow><mml:mn>7.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq194_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$7.6\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq194.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq195"><alternatives><mml:math id="IEq195_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq195_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.4\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq195.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq196"><alternatives><mml:math id="IEq196_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq196_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.1\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq196.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq197"><alternatives><mml:math id="IEq197_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq197_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.7\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq197.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq198"><alternatives><mml:math id="IEq198_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq198_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq198.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.4</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq199"><alternatives><mml:math id="IEq199_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq199_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.7\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq199.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq200"><alternatives><mml:math id="IEq200_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq200_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.6\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq200.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq201"><alternatives><mml:math id="IEq201_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq201_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.2\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq201.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq202"><alternatives><mml:math id="IEq202_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq202_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.7\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq202.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq203"><alternatives><mml:math id="IEq203_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq203_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.6\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq203.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq204"><alternatives><mml:math id="IEq204_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq204_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.1\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq204.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.5</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq205"><alternatives><mml:math id="IEq205_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq205_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.2\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq205.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq206"><alternatives><mml:math id="IEq206_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq206_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.4\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq206.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq207"><alternatives><mml:math id="IEq207_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq207_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.2\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq207.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq208"><alternatives><mml:math id="IEq208_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq208_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.6\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq208.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq209"><alternatives><mml:math id="IEq209_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq209_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.1\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq209.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq210"><alternatives><mml:math id="IEq210_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq210_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.0\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq210.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.6</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq211"><alternatives><mml:math id="IEq211_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq211_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.1\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq211.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq212"><alternatives><mml:math id="IEq212_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq212_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.3\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq212.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq213"><alternatives><mml:math id="IEq213_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq213_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.1\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq213.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq214"><alternatives><mml:math id="IEq214_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq214_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.3\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq214.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq215"><alternatives><mml:math id="IEq215_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq215_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.5\hbox {e}{-}1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq215.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq216"><alternatives><mml:math id="IEq216_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq216_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.4\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq216.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.7</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq217"><alternatives><mml:math id="IEq217_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq217_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.5\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq217.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq218"><alternatives><mml:math id="IEq218_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.7</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq218_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.7\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq218.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq219"><alternatives><mml:math id="IEq219_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq219_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.9\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq219.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq220"><alternatives><mml:math id="IEq220_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq220_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.5\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq220.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq221"><alternatives><mml:math id="IEq221_Math"><mml:mrow><mml:mn>3.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq221_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$3.5\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq221.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq222"><alternatives><mml:math id="IEq222_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq222_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.1\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq222.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.8</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq223"><alternatives><mml:math id="IEq223_Math"><mml:mrow><mml:mn>4.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq223_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$4.2\hbox {e}{-}4$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq223.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq224"><alternatives><mml:math id="IEq224_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.5</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq224_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.5\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq224.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq225"><alternatives><mml:math id="IEq225_Math"><mml:mrow><mml:mn>9.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq225_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$9.3\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq225.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq226"><alternatives><mml:math id="IEq226_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq226_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.2\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq226.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq227"><alternatives><mml:math id="IEq227_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq227_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.6\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq227.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq228"><alternatives><mml:math id="IEq228_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.2</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq228_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.2\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq228.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>0.9</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq229"><alternatives><mml:math id="IEq229_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.4</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq229_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.4\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq229.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq230"><alternatives><mml:math id="IEq230_Math"><mml:mrow><mml:mn>2.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq230_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$2.9\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq230.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq231"><alternatives><mml:math id="IEq231_Math"><mml:mrow><mml:mn>8.8</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq231_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$8.8\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq231.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq232"><alternatives><mml:math id="IEq232_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq232_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq232.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq233"><alternatives><mml:math id="IEq233_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq233_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.0\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq233.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq234"><alternatives><mml:math id="IEq234_Math"><mml:mrow><mml:mn>5.0</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq234_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$5.0\hbox {e}{-}3$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq234.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr><tr><td align="left"><p>1</p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq235"><alternatives><mml:math id="IEq235_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq235_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.6\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq235.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq236"><alternatives><mml:math id="IEq236_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.9</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq236_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.9\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq236.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq237"><alternatives><mml:math id="IEq237_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.6</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq237_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.6\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq237.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq238"><alternatives><mml:math id="IEq238_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq238_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.1\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq238.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq239"><alternatives><mml:math id="IEq239_Math"><mml:mrow><mml:mn>6.3</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq239_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$6.3\hbox {e}{-}1$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq239.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td><td align="left"><p><inline-formula id="IEq240"><alternatives><mml:math id="IEq240_Math"><mml:mrow><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq240_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1.1\hbox {e}{-}2$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq240.gif"/></alternatives></inline-formula></p></td></tr></tbody></table></figure></p></section>
<section><p><figure id="Fig5"><h3>Fig. 5</h3>
<figcaption><p>Numerical results for Example 2 with 
<span id="IEq241"><mml:math id="IEq241_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq241_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq241.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig5_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig6"><h3>Fig. 6</h3>
<figcaption><p>Numerical results for Example 2 with 
<span id="IEq242"><mml:math id="IEq242_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq242_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=40$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq242.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig6_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig7"><h3>Fig. 7</h3>
<figcaption><p>Error curve of the method for Example 2 with 
<span id="IEq243"><mml:math id="IEq243_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq243_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=10$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq243.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig7_HTML.png" /></figure>
<figure id="Fig8"><h3>Fig. 8</h3>
<figcaption><p>Error curve of the method for Example 2 with 
<span id="IEq244"><mml:math id="IEq244_Math"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>40</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq244_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m=40$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_269_Article_IEq244.gif"/></span></p></figcaption>
<img src="40096_2018_269_Fig8_HTML.png" /></figure></p></section></section>
<section><h2>Conclusion</h2>
<p>Finding an analytical exact solution for stochastic equations usually seems impossible. Therefore, it is convenient to use stochastic numerical methods to find some approximate solutions. The MHFs, as a simple and suitable basis, adopt to solve stochastic Itô–Volterra integral equations with multi-stochastic terms. With this choice, the vector and matrix coefficients are found easily. This method results in a linear system of equations that can be solved simply. Numerical results of the examples show that the MHFs tend to more accurate solutions than the BPFs and GHFs do.</p></section><hr/><h2>Publisher's Note</h2>
<p>Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</p>
<hr/><h2>References</h2>
<ol><li>Kloeden and Platen (1999) <em></em> Springer</li><li>Maleknejad et al. (2012) <em>Numerical solution of stochastic Volterra integral equations by a stochastic operational matrix based on block pulse functions</em> (pp. 791-800) <a href="https://doi.org/10.1016/j.mcm.2011.08.053" target="_blank">10.1016/j.mcm.2011.08.053</a></li><li>Khodabin et al. (2013) <em>Application of triangular functions to numerical solution of stochastic Volterra integral equations</em> (pp. 1-9)</li><li>Mirzaee and Hamzeh (2016) <em>A computational method for solving nonlinear stochastic Volterra integral equations</em> (pp. 166-178) <a href="https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.012" target="_blank">10.1016/j.cam.2016.04.012</a></li><li>Farnoosh et al. (2015) <em>Analytical solutions for stochastic differential equations via Martingale processes</em> (pp. 87-92) <a href="https://doi.org/10.1007/s40096-015-0153-x" target="_blank">10.1007/s40096-015-0153-x</a></li><li>Ahmadi et al. (2017) <em>An efficient approach based on radial basis functions for solving stochastic fractional differential equations</em> (pp. 113-118) <a href="https://doi.org/10.1007/s40096-017-0211-7" target="_blank">10.1007/s40096-017-0211-7</a></li><li>Abdelghani and Melnikov (2017) <em>On linear stochastic equations of optional semimartingales and their applications</em> (pp. 207-214) <a href="https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.02.014" target="_blank">10.1016/j.spl.2017.02.014</a></li><li>Fathi Vajargah and Shoghi (2015) <em>Simulation of stochastic differential equation of geometric Brownian motion by quasi-Monte Carlo method and its application in prediction of total index of stock market and value at risk</em> (pp. 115-125) <a href="https://doi.org/10.1007/s40096-015-0158-5" target="_blank">10.1007/s40096-015-0158-5</a></li><li>Thakoor et al. (2012) <em>Numerical pricing of financial derivatives using Jains high-order compact scheme</em> <a href="https://doi.org/10.1186/2251-7456-6-72" target="_blank">10.1186/2251-7456-6-72</a></li><li>Nouri et al. (2016) <em>Digital barrier options pricing: an improved Monte Carlo algorithm</em> (pp. 65-70) <a href="https://doi.org/10.1007/s40096-016-0179-8" target="_blank">10.1007/s40096-016-0179-8</a></li><li>Nitta and Li (2018) <em>A stochastic equation for predicting tensile fractures in ductile polymer solids</em> (pp. 1076-1086) <a href="https://doi.org/10.1016/j.physa.2017.08.113" target="_blank">10.1016/j.physa.2017.08.113</a></li><li>Sousedík and Elman (2016) <em>Stochastic Galerkin methods for the steady-state Navier–Stokes equations</em> (pp. 435-452) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jcp.2016.04.013" target="_blank">10.1016/j.jcp.2016.04.013</a></li><li>Heydari et al. (2015) <em>An efficient computational method for solving nonlinear stochastic Ito-integral equations: application for stochastic problems in physics</em> (pp. 148-168) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.11.042" target="_blank">10.1016/j.jcp.2014.11.042</a></li><li>Luo et al. (2017) <em>Prediction of wheel profile wear and vehicle dynamics evolution considering stochastic parameters for high speed train</em> (pp. 126-138) <a href="https://doi.org/10.1016/j.wear.2017.09.019" target="_blank">10.1016/j.wear.2017.09.019</a></li><li>Jin and Shu (2017) <em>A stochastic asymptotic-preserving scheme for a Kinetic-fluid model for disperse two-phase flows with uncertainty</em> (pp. 905-924) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jcp.2017.01.059" target="_blank">10.1016/j.jcp.2017.01.059</a></li><li>Oroji et al. (2016) <em>An Ito stochastic differential equations model for the dynamics of the MCF-7 breast cancer cell line treated by radiotherapy</em> (pp. 128-137) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2016.07.035" target="_blank">10.1016/j.jtbi.2016.07.035</a></li><li>Mastrolia (2018) <em>Density analysis of non-Markovian BSDEs and applications to biology and finance</em> (pp. 897-938) <a href="https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.06.009" target="_blank">10.1016/j.spa.2017.06.009</a></li><li>Vidurupola (2018) <em>Analysis of deterministic and stochastic mathematical models with resistant bacteria and bacteria debris for bacteriophage dynamics</em> (pp. 215-228)</li><li>Emvudu et al. (2016) <em>Mathematical analysis of HIV/AIDS stochastic dynamic models</em> (pp. 9131-9151) <a href="https://doi.org/10.1016/j.apm.2016.05.007" target="_blank">10.1016/j.apm.2016.05.007</a></li><li>Madani Tonekabony et al. (2017) <em>Mathematical modelling of plasticity and phenotype switching in cancer cell populations</em> (pp. 30-37) <a href="https://doi.org/10.1016/j.mbs.2016.11.008" target="_blank">10.1016/j.mbs.2016.11.008</a></li><li>Khodabin et al. (2012) <em>Numerical approach for solving stochastic Volterra-Fredholm integral equations by stochastic operational matrix</em> (pp. 1903-1913) <a href="https://doi.org/10.1016/j.camwa.2012.03.042" target="_blank">10.1016/j.camwa.2012.03.042</a></li><li>Khodabin et al. (2012) <em>A numerical method for solving m-dimensional stochastic Ito-Volterra integral equations by stochastic operational matrix</em> (pp. 133-143) <a href="https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.10.079" target="_blank">10.1016/j.camwa.2011.10.079</a></li><li>Heydari et al. (2014) <em>A computational method for solving stochastic Ito-Volterra integral equations based on stochastic operational matrix for generalized hat basis functions</em> (pp. 402-415) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.03.064" target="_blank">10.1016/j.jcp.2014.03.064</a></li><li>Maleknejad and Tavassoli Kajani (2003) <em>Solving second kind integral equations by Galerkin methods with hybrid Legendre and block pulse functions</em> (pp. 623-629)</li><li>Maleknejad and Mahmoudi (2004) <em>Numerical solution of linear Fredholm integral equation by using hybrid Taylor and block pulse functions</em> (pp. 799-806)</li><li>Mohammadi (2015) <em>A wavelet-based computational method for solving stochastic Ito-Volterra integral equations</em> (pp. 254-265) <a href="https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.05.051" target="_blank">10.1016/j.jcp.2015.05.051</a></li><li>Mohammadi (2016) <em>Numerical solution of stochastic Ito-Volterra integral equations using Haar wavelets</em> (pp. 416-431) <a href="https://doi.org/10.4208/nmtma.2016.m1425" target="_blank">10.4208/nmtma.2016.m1425</a></li><li>Heydari et al. (2018) <em>Chebyshev cardinal wavelets and their application in solving nonlinear stochastic differential equations with fractional Brownian motion</em> (pp. 98-121) <a href="https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.04.018" target="_blank">10.1016/j.cnsns.2018.04.018</a></li><li>Mirzaee and Hadadiyan (2014) <em>A collocation technique for solving nonlinear stochastic Itô-Volterra integral equations</em> (pp. 1011-1020)</li><li>Asgari et al. (2014) <em>Numerical solution of nonlinear stochastic integral equation by stochastic operational matrix based on Bernstein polynomials</em> (pp. 3-12)</li><li>Oksendal (1995) <em></em> Springer <a href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-03185-8" target="_blank">10.1007/978-3-662-03185-8</a></li><li>Arnold (1974) <em></em> Wiley</li><li>Atkinson (1997) <em></em> Cambridge University Press <a href="https://doi.org/10.1017/CBO9780511626340" target="_blank">10.1017/CBO9780511626340</a></li><li>Mirzaee and Hadadiyan (2016) <em>Numerical solution of Volterra-Fredholm integral equations via modification of hat functions</em> (pp. 110-123)</li><li>Mirzaee and Hadadiyan (2017) <em>Solving system of linear Stratonovich Volterra integral equations via modification of hat functions</em> (pp. 254-264)</li><li>Higham (2001) <em>An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations</em> 43(3) (pp. 525-546) <a href="https://doi.org/10.1137/S0036144500378302" target="_blank">10.1137/S0036144500378302</a></li></ol>