<h1>Generalization of Finsler metrics on the product of Finsler manifolds</h1>
			<ul class="item-list">
	        	        <li>
	            Akbar Sadighi	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Karaj Branch, Islamic Azad University, Karaj, IR">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            R. Chavosh Khatamy	            	            <abbr title="This is the corresponding author for this article">*</abbr>
	            	            	                <a href="mailto:r_chavosh@iaut.ac.ir" class="tiny-icon email-link mx-1" title="Email R. Chavosh Khatamy">
	                    Email
	                </a>
	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Tabriz Branch, Islamic Azad University, Tabriz, IR">
	                2	            </sup>
	            	        </li>
	        	        <li>
	            Megerdich Toomanian	            	            	            	            <sup aria-label="Affiliated with Department of Mathematics, Karaj Branch, Islamic Azad University, Karaj, IR">
	                1	            </sup>
	            	        </li>
	        	    </ul>
	    	    <ol class="affiliations" aria-hidden="true">
	        <li>Department of Mathematics, Karaj Branch, Islamic Azad University, Karaj, IR</li><li>Department of Mathematics, Tabriz Branch, Islamic Azad University, Tabriz, IR</li>	    </ol>
	    
<h2>Abstract</h2>
<p>In Riemannian manifolds, there exists a canonical Riemannian metric on the product of them (Lee in Riemannian geometry an introduction to curvature, Springer, New York, 
<a href="#CR1"><sup>1997</sup></a>
). But at the product of Finsler manifolds, the canonical Finsler metric has not been defined. In this paper, we are going to study the product of Finsler manifolds and give a canonical Finsler metric on it.</p><hr/><section><h2>Historical remarks</h2>
<p>The section brings a survey of Finsler geometry and product manifolds; a Finsler metric on a manifold is a collection of Minkowski norms 
<span id="IEq1"><mml:math id="IEq1_Math"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{x} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq1.gif"/></span>
 in tangent space at 
<em>x</em>
 such that 
<span id="IEq2"><mml:math id="IEq2_Math"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{x} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq2.gif"/></span>
 varies smoothly in 
<em>x</em>
.</p>
<p>In 1854, Reimann introduced the geometry based on the element of arc length
<section id="Equ4"><mml:math display="block" id="Equ4_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} ds=F(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n},{\mathrm{{d}}}x^{1},{\mathrm{{d}}}x^{2},\ldots ,{\mathrm{{d}}}x^{n}). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ4.gif"/></section>
where 
<em>F</em>
 is positively homogeneous of degree 1 in 
<span id="IEq3"><mml:math id="IEq3_Math"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ dx^{i} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq3.gif"/></span>
 [
<a href="#CR2"><sup>2</sup></a>
, 
<a href="#CR3"><sup>3</sup></a>
]. For more than half a century, there had been no progress until P.Finsler introduced the Riemannian–Finsler geometry (Finsler geometry for short) in his thesis in 1918. A Finsler metric 
<span id="IEq4"><mml:math id="IEq4_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq4_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F=F(x,y) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq4.gif"/></span>
 is defined on tanget bundle 
<em>TM</em>
, such that gives a for 
<span id="IEq5"><mml:math id="IEq5_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ x\in M $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq5.gif"/></span>
 by Minkowski norm [
<a href="#CR4"><sup>4</sup></a>
, 
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
, 
<a href="#CR6"><sup>6</sup></a>
–
<a href="#CR7"><sup>7</sup></a>
],
<section id="Equ5"><mml:math display="block" id="Equ5_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mo>∣</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>↦</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ5_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F\mid _{T_{x}M}=F_{x}: T_{x}M\mapsto [0,\infty ) . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ5.gif"/></section>
Chern and Shen are defined product metric on Finsler spaces [
<a href="#CR8"><sup>8</sup></a>
] as:</p>
<p>(1) For Finsler manifolds 
<span id="IEq6"><mml:math id="IEq6_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (M_{1},F_{1}) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq6.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq7"><mml:math id="IEq7_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{2},F_{2}), $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq7.gif"/></span>
<span id="IEq8"><mml:math id="IEq8_Math"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ x=(x_{1},x_{2}) \in M=M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq8.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq9"><mml:math id="IEq9_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y=(y_{1},y_{2})\in T_{(x_{1},x_{2})}(M_{1}\times M_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq9.gif"/></span>
, let 
<span id="IEq10"><mml:math id="IEq10_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>↦</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F: M=M_{1}\times M_{2} \mapsto [0,\infty ) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq10.gif"/></span>
 are defined by
<section id="Equ1"><mml:math display="block" id="Equ1_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="normal">if</mml:mi><mml:mspace width="1em"/></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mi mathvariant="normal">if</mml:mi><mml:mspace width="1em"/></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ1_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F(x,y):=\left\{ \begin{array}{ccc} F_{1}(x_{1},y_{1}) &{} \quad {\mathrm{{if}}} \quad &{} y=y_{1}\oplus 0\\ F_{2}(x_{2},y_{2}) & \quad {\mathrm{{if}}} \quad &{} y=0\oplus y_{2} \end{array}\right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ1.gif"/></section>
Then 
<em>F</em>
 is Finsler metric on 
<span id="IEq11"><mml:math id="IEq11_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ M_{1}\times M_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq11.gif"/></span>
, where 
<span id="IEq12"><mml:math id="IEq12_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{x}M=T_{x_{1}}M_{1}\oplus T_{x_{2}}M_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq12.gif"/></span>
.</p>
<p>(2) For Riemannian manifolds 
<span id="IEq13"><mml:math id="IEq13_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (M_{1},g_{1}) , (M_{2},g_{2}) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq13.gif"/></span>
 let 
<span id="IEq14"><mml:math id="IEq14_Math"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>↦</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ f:[0, \infty )\times [0,\infty )\mapsto [0,\infty ) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq14.gif"/></span>
 be a 
<span id="IEq15"><mml:math id="IEq15_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq15.gif"/></span>
 function satisfying:</p>
<p><span id="IEq16"><mml:math id="IEq16_Math"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f(\lambda s,\lambda t)=\lambda f(s,t), \forall \lambda > 0, $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq16.gif"/></span>
  and 
<span id="IEq17"><mml:math id="IEq17_Math"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ f(s,t)>0, \forall (s,t)\ne (0,0). $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq17.gif"/></span></p>
<p>Then for all 
<span id="IEq18"><mml:math id="IEq18_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (x_{1}, x_{2}) \in M_{1} \times M_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq18.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq19"><mml:math id="IEq19_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (y_{1}, y_{2}) \in TM_{1} \times TM_{2} ,$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq19.gif"/></span>
<em>F</em>
 defined function by
<section id="Equ6"><mml:math display="block" id="Equ6_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ6_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F(x,y):=\sqrt{f\left( \left[ g_{1}(x_{1},y_{1})\right] ^{2},\left[ g_{2}(x_{2},y_{2})\right] ^{2} \right) } \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ6.gif"/></section>
is a Finsler metric 
<span id="IEq20"><mml:math id="IEq20_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ M=M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq20.gif"/></span>
.</p>
<p>(3) Kozma et al. have defined a Twisted Products Finsler Manifolds [
<a href="#CR9"><sup>9</sup></a>
] as:</p>
<p>Let 
<span id="IEq21"><mml:math id="IEq21_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (M_{1},F_{1}) ,(M_{2},F_{2}) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq21.gif"/></span>
 be two Finsler manifolds and 
<span id="IEq22"><mml:math id="IEq22_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ M=M_{1}\times M_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq22.gif"/></span>
, then for all 
<span id="IEq23"><mml:math id="IEq23_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (x_{1}, x_{2}) \in M_{1} \times M_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq23.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq24"><mml:math id="IEq24_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (y_{1},y_{2})\in T_{(x_{1},x_{2})}(M_{1}\times M_{2})-\{(0,0)\}\equiv (T_{x_{1}}M_{1}-\{0\})\times (T_{x_{2}}M_{2}-\{0\}) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq24.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq25"><mml:math id="IEq25_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq25.gif"/></span>
 function 
<span id="IEq26"><mml:math id="IEq26_Math"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>↦</mml:mo><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ f : M_{1} \times M_{2} \mapsto R^{+} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq26.gif"/></span>
, the Twisted Products metric is defined by
<section id="Equ7"><mml:math display="block" id="Equ7_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ7_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F(y_{1},y_{2}):=\sqrt{F^{2}_{1}(x_{1},y_{1})+f^{2}(x_{1},x_{2})F^{2}_{2}(x_{2},y_{2})}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ7.gif"/></section>
<span id="IEq27"><mml:math id="IEq27_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(y_{1}, y_{2}) \in TM_{1}-\left\{ 0\right\} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq27.gif"/></span></p>
<p>In this paper, we are going to generalize a new product Finsler metric 
<em>F</em>
 on 
<span id="IEq28"><mml:math id="IEq28_Math"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ M=M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq28.gif"/></span>
, then we call (
<em>M</em>
, 
<em>F</em>
) as canonical product Finsler manifolds.</p></section>
<section><h2>Introduction and preliminaries</h2>
<section><p>We recall some definitions and fundamental results in Finsler geometry.</p></section>
<section><h2>Definition 2.1</h2>
<p>Let 
<em>V</em>
 be a n-dimensional real vector space. A 
<em>Minkowski norm</em>
 on 
<em>V</em>
 is a functional 
<em>F</em>
 on 
<em>V</em>
, which is smooth on 
<span id="IEq29"><mml:math id="IEq29_Math"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$V-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq29.gif"/></span>
 and satisfies the following conditions:
<ul><li><p><span id="IEq30"><mml:math id="IEq30_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq30_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F(u)\ge 0, \ \forall \ u\in V;$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq30.gif"/></span></p></li>
<li><p><span id="IEq31"><mml:math id="IEq31_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq31_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F(\lambda u)=\lambda F(u), \ \forall \ \lambda >0, \ \forall u\in V$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq31.gif"/></span>
;</p></li>
<li><p>for any basis 
<span id="IEq32"><mml:math id="IEq32_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq32_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e_{1}, \ldots , e_{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq32.gif"/></span>
 of 
<em>V</em>
, write 
<span id="IEq33"><mml:math id="IEq33_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq33_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F(y)= F(y^{1}, \ldots , y^{n})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq33.gif"/></span>
, 
<span id="IEq34"><mml:math id="IEq34_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq34_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y=y^{j}e_{j}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq34.gif"/></span>
. Then the Hessian matrix 
<section id="Equ8"><mml:math display="block" id="Equ8_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ8_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} (g_{ij}):=\left( \left[ \dfrac{1}{2}F^{2}\right] _{y^{i}y^{j}}\right) \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ8.gif"/></section>
 is positive definite at any point of 
<span id="IEq35"><mml:math id="IEq35_Math"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq35_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$V-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq35.gif"/></span>
.</p></li></ul></p></section>
<section><p>The pair (
<em>V</em>
, 
<em>F</em>
) is called Minkowski space.</p></section>
<section><h2>Definition 2.2</h2>
<p>Let 
<em>M</em>
 be a (connected) smooth manifold. A Finsler metric on 
<em>M</em>
 is a function 
<span id="IEq36"><mml:math id="IEq36_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq36_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F: TM\rightarrow [0, +\,\infty )$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq36.gif"/></span>
 such that
<ul><li><p>F is 
<span id="IEq37"><mml:math id="IEq37_Math"><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq37_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C^{\infty }$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq37.gif"/></span>
 on the slit tangent bundle 
<span id="IEq38"><mml:math id="IEq38_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq38_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$TM-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq38.gif"/></span>
;</p></li>
<li><p>The restriction of 
<em>F</em>
 to any 
<span id="IEq39"><mml:math id="IEq39_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq39_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{p}M$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq39.gif"/></span>
, 
<span id="IEq40"><mml:math id="IEq40_Math"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq40_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p\in M$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq40.gif"/></span>
 is a Minkowski norm.</p></li></ul></p></section>
<section><p>The pair (
<em>M</em>
, 
<em>F</em>
) is called Finsler manifold or Finsler space.</p></section>
<section><p>Let (
<em>M</em>
, 
<em>F</em>
) be a Finsler space and 
<span id="IEq41"><mml:math id="IEq41_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq41_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(x^{1}, \ldots , x^{n})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq41.gif"/></span>
 be a local coordinate system on an open subset 
<em>U</em>
 of 
<em>M</em>
. Then 
<span id="IEq42"><mml:math id="IEq42_Math"><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq42_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left\{ \dfrac{\partial }{\partial x^{1}}, \ldots , \dfrac{\partial }{\partial x^{n}} \right\} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq42.gif"/></span>
 form a basis for the tangent space at any point in 
<em>U</em>
.</p></section>
<section><h2>Theorem 2.3</h2>
<p>(Euler’s) 
<em>Suppose a real-valued</em>
<em>H</em>
<em>on</em>
<span id="IEq43"><mml:math id="IEq43_Math"><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq43_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$R^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq43.gif"/></span>
<em>is differentiable away from the origin of</em>
<span id="IEq44"><mml:math id="IEq44_Math"><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq44_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$R^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq44.gif"/></span>
. 
<em>Then the following two statements are equivalent</em>
 [
<a href="#CR5"><sup>5</sup></a>
]
<ul><li><p><em>H is positively homogeneous of degree</em>
<em>r</em>
. 
<em>That is:</em>
<section id="Equ9"><mml:math display="block" id="Equ9_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ9_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} H(\lambda y)=\lambda ^{r} H(y);\quad \forall \ \lambda ,\quad \lambda >0 \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ9.gif"/></section></p></li>
<li><p><em>The radial directional derivative of</em>
<em>H</em>
<em>is</em>
<em>r</em>
<em>times</em>
<em>H</em>
. 
<em>Namely,</em>
<section id="Equ10"><mml:math display="block" id="Equ10_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ10_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y^{i}H_{y^{i}}(y)=rH(y). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ10.gif"/></section></p></li></ul></p></section>
<section><h2>Corollary 2.4</h2>
<p><em>Let</em>
<em>F</em>
<em>be positively homogeneous of degree 1 on</em>
<span id="IEq45"><mml:math id="IEq45_Math"><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq45_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$R^{n}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq45.gif"/></span>
. 
<em>By using Euler’s theorem, we can show that:</em>
<ul><li><p><span id="IEq46"><mml:math id="IEq46_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq46_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y^{i}F_{y^{i}}=F.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq46.gif"/></span></p></li>
<li><p><span id="IEq47"><mml:math id="IEq47_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq47_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y^{i}F_{y^{i}y^{j}}=0.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq47.gif"/></span></p></li>
<li><p><span id="IEq48"><mml:math id="IEq48_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq48_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y^{k}F_{y^{i}y^{j}y^{k}}=-F_{y^{i}y^{j}.}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq48.gif"/></span></p></li>
<li><p><span id="IEq49"><mml:math id="IEq49_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq49_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y^{l}F_{y^{i}y^{j}y^{k}y^{l}}=-2F_{y^{i}y^{j}y^{k}}.$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq49.gif"/></span></p></li></ul></p></section>
<section><h2>Corollary 2.5</h2>
<p><em>Let</em>
 (
<em>M</em>
, 
<em>F</em>
) 
<em>be a Finsler manifold . Then</em>
<span id="IEq50"><mml:math id="IEq50_Math"><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq50_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F^{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq50.gif"/></span>
<em>defined by:</em></p>
<p><span id="IEq51"><mml:math id="IEq51_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq51_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{p}^{2}(y)=(F_{p}(y))^{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq51.gif"/></span>
; 
<em>for all</em>
<span id="IEq52"><mml:math id="IEq52_Math"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq52_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ p\in M $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq52.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq53"><mml:math id="IEq53_Math"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq53_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y\in T_{p}M$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq53.gif"/></span>
; 
<em>is a positively homogeneous function of degree 2 on</em>
<span id="IEq54"><mml:math id="IEq54_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq54_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ T_{p}M $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq54.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Corollary 2.6</h2>
<p><em>Let</em>
 (
<em>M</em>
, 
<em>F</em>
) 
<em>be a Finsler manifolds. Then</em>
<section id="Equ11"><mml:math display="block" id="Equ11_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ11_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y^{i}\frac{\partial F^{2}(y)}{\partial y^{i}}=2(F(y))^{2} . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ11.gif"/></section>
<em>For simplicity, we put</em>
<span id="IEq55"><mml:math id="IEq55_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq55_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{1}(y_{1}) ,F_{2}(y_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq55.gif"/></span>
;</p>
<p><em>as</em>
<span id="IEq56"><mml:math id="IEq56_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq56_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{p_{1}}(y_{1}) , F_{p_{2}}(y_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq56.gif"/></span>
, 
<em>respectively.</em>
<span id="IEq57"><mml:math id="IEq57_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq57_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( i.e : F_{1}=F_{p_{1}} , F_{2}=F_{p_{2}} \right). $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq57.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Proposition 2.7</h2>
<p><em>Let</em>
 (
<em>M</em>
, 
<em>F</em>
) 
<em>be a Finsler manifold of dimension n. Then</em>
<section id="Equ12"><mml:math display="block" id="Equ12_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ12_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F(y))^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}=\dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ12.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By definition and Corollary 
<a href="#FPar6"><sup>2.6</sup></a>
, we have:
<section id="Equ13"><mml:math display="block" id="Equ13_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ13_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&y^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F(y))^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}=\mathop {\sum }\limits _{i=1}^{n} y^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F(y))^{2}}{\partial y^{i} \partial y^{j}}= \mathop {\sum }\limits _{i=1}^{n}y^{i}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{i}}\right) \\&\quad =\mathop {\sum }\limits _{{i=1}_{i\ne j}}^{n} y^{i}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{i}}\right) +y^{j}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}\right) \\&\quad =\mathop {\sum }\limits _{{i=1}_{i\ne j}}^{n}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( y^{i}\dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{i}} \right) +y^{j}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}\right) \\&\quad =\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \mathop {\sum }\limits _{{i=1}_{i\ne j}}^{n} y^{i}\dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{i}} \right) +y^{j}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}\right) \\&\quad =\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \mathop {\sum }\limits _{i=1}^{n} y^{i}\dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{i}} -y^{j} \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}\right) +y^{j}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}\right) \\&\quad =\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( 2(F(y))^{2} -y^{j} \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}\right) +y^{j}\dfrac{\partial }{\partial y^{j}}\left( \dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}\right) =\dfrac{\partial (F(y))^{2}}{\partial y^{j}}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ13.gif"/></section>
<span id="IEq58"><mml:math id="IEq58_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq58_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq58.gif"/></span></p></section></section>
<section><h2>Minkowski structure on product of Finsler manifolds</h2>
<section><h2>Theorem 3.1</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq59"><mml:math id="IEq59_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq59_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{1},F_{1})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq59.gif"/></span>
, 
<span id="IEq60"><mml:math id="IEq60_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq60_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{2},F_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq60.gif"/></span>
<em>be Finsler Manifolds of dimensions n and m, respectively. Suppose that</em>
<span id="IEq61"><mml:math id="IEq61_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq61_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (p_{1},p_{2}) \in M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq61.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq62"><mml:math id="IEq62_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq62_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{(p_{1},p_{2})}: T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2}) \rightarrow \left[ 0,+\,\infty \right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq62.gif"/></span>
<em>be a function defined by:</em>
<span id="IEq63"><mml:math id="IEq63_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq63_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=(F_{1} \oplus F_{2})_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=F_{1}(y_{1})+ F_{2}(y_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq63.gif"/></span>
, 
<span id="IEq64"><mml:math id="IEq64_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq64_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall (y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq64.gif"/></span>
. 
<em>Then,</em>
<ul><li><p><span id="IEq65"><mml:math id="IEq65_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq65_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}) \ge 0 , \quad \forall (y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1},M_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq65.gif"/></span>
.</p></li>
<li><p><span id="IEq66"><mml:math id="IEq66_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq66_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{(p_{1},p_{2})}(\lambda y_{1},\lambda y_{2})=\lambda F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}); \,\, \forall \lambda > 0,\,\, \forall (y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1},M_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq66.gif"/></span>
.</p></li></ul></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p><ul><li><p>Since for all 
<span id="IEq67"><mml:math id="IEq67_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq67_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y_{1} \in T_{p_{1}}M_{1} ; F_{1}(y_{1}) \ge 0 $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq67.gif"/></span>
 and for all 
<span id="IEq68"><mml:math id="IEq68_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq68_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y_{2} \in T_{p_{2}}M_{2} ; F_{2}(y_{2}) \ge 0 $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq68.gif"/></span>
, it follows that 
<span id="IEq69"><mml:math id="IEq69_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq69_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}) \ge 0 .$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq69.gif"/></span></p></li>
<li><p>By the definition of Finsler metric, we have 
<span id="IEq70"><mml:math id="IEq70_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq70_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall \lambda >0 $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq70.gif"/></span>
, 
<span id="IEq71"><mml:math id="IEq71_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq71_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{1}(\lambda y_{1})=\lambda F_{1}(y_{1}), F_{2}(\lambda y_{2})=\lambda F_{2}(y_{2}).$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq71.gif"/></span>
 It follows that 
<span id="IEq72"><mml:math id="IEq72_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq72_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{(p_{1},p_{2})}(\lambda y_{1},\lambda y_{2})=\lambda F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}); \,\, \forall \lambda >0$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq72.gif"/></span>
.</p></li></ul>
<span id="IEq73"><mml:math id="IEq73_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq73_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq73.gif"/></span></p></section>
<section><p>Let us denote by
<section id="Equ2"><mml:math display="block" id="Equ2_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y^{i}:=\left\{ \begin{array}{cc} y_{1}^{i} &{}\quad 1\le i\le n \\ y_{2}^{i-n} &{}\quad n+1 \le i \le n+m \end{array}\right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ2.gif"/></section>
and
<section id="Equ3"><mml:math display="block" id="Equ3_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ3_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{cc} y_{1}^{i}=0 &{}\quad n+1\le i\le n+m \\ y_{2}^{i}=0 &{}\quad 1 \le i \le n \end{array}.\right. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ3.gif"/></section></p></section>
<section><h2>Theorem 3.2</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq74"><mml:math id="IEq74_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq74_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{1},F_{1})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq74.gif"/></span>
, 
<span id="IEq75"><mml:math id="IEq75_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq75_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{2},F_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq75.gif"/></span>
<em>be Finsler Manifolds of dimensions n and m, respectively. Suppose that</em>
<span id="IEq76"><mml:math id="IEq76_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq76_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (p_{1},p_{2}) \in M_{1}\times M_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq76.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq77"><mml:math id="IEq77_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq77_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{(p_{1},p_{2})}: T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2}) \rightarrow \left[ 0,+\,\infty \right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq77.gif"/></span>
<em>be a function defined by:</em></p>
<p><span id="IEq78"><mml:math id="IEq78_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq78_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=(F_{1}\oplus F_{2})_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=F_{1}(y_{1})+ F_{2}(y_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq78.gif"/></span>
, 
<span id="IEq79"><mml:math id="IEq79_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq79_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall (y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1},M_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq79.gif"/></span>
. 
<em>Then the Hessian matrix</em>
<span id="IEq80"><mml:math id="IEq80_Math"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq80_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left( g_{ij}\right) :=\left( \left[ \frac{1}{2}F^{2}\right] _{y^{i}y^{j}}\right) \,\,(y\ne 0)$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq80.gif"/></span>
<em>is positively definite.</em></p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By the definition of positive definiteness in linear algebra, it is sufficient to show that:</p>
<p><span id="IEq81"><mml:math id="IEq81_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq81_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall y=(y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq81.gif"/></span>
, we have
<section id="Equ14"><mml:math display="block" id="Equ14_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ14_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left[ y\right] ^{t}\left[ g_{ij}\right] \left[ y\right] >0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ14.gif"/></section>
where 
<span id="IEq82"><mml:math id="IEq82_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq82_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}=(y_{1}^{1},\ldots y_{1}^{n}) \in T_{p_{1}}M_{1}-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq82.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq83"><mml:math id="IEq83_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq83_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ y_{2}=(y_{2}^{1},\ldots y_{2}^{m}) \in T_{p_{2}}M_{2}-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq83.gif"/></span>
. 
<span id="IEq84"><mml:math id="IEq84_Math"><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq84_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ [y]^{t} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq84.gif"/></span>
 is transpose of matrix [
<em>y</em>
]. According to the definition of 
<em>F</em>
, we have
<section id="Equ15"><mml:math display="block" id="Equ15_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ15_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} F^{2}(y)=[F_{1}(y_{1})+F_{2}(y_{2})]^{2}=F_{1}^{2}(y_{1})+F_{2}^{2}(y_{2})+2F_{1}(y_{1})F_{2}(y_{2}). \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ15.gif"/></section>
We now compute the Hessian matrix of component at slit tangent space</p>
<p><span id="IEq85"><mml:math id="IEq85_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq85_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})-\lbrace 0 \rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq85.gif"/></span>
 that is:
<section id="Equ16"><mml:math display="block" id="Equ16_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ16_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} g_{ij}:=\frac{1}{2}\dfrac{\partial ^{2}F^{2}(y) }{\partial y^{i}\partial y^{j}}=\frac{1}{2}\dfrac{\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}\left[ F_{1}^{2}(y_{1})+F_{2}^{2}(y_{2})+2F_{1}(y_{1})F_{2}(y_{2})\right] . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ16.gif"/></section>
For simplicity, we write 
<span id="IEq86"><mml:math id="IEq86_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq86_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \left( g_{ij}\right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq86.gif"/></span>
 as, 
<span id="IEq87"><mml:math id="IEq87_Math"><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><tex-math id="IEq87_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{pmatrix} A_{11} &{} A_{12}\\ A_{21} &{} A_{22} \end{pmatrix} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq87.gif"/></span>
 where 
<span id="IEq88"><mml:math id="IEq88_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq88_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ A_{11}, A_{12} , A_{21} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq88.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq89"><mml:math id="IEq89_Math"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq89_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ A_{22} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq89.gif"/></span>
 are matrices, where.
<section id="Equ17"><mml:math display="block" id="Equ17_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ17_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} (A_{11})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\dfrac{\partial ^{2}F^{2}(y)}{\partial y_{1}^{i}\partial y_{1}^{j}} ; \quad 1\le i, \ j \le n, \\ (A_{12})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\dfrac{\partial ^{2}F^{2}(y)}{\partial y_{1}^{i}\partial y_{2}^{j}} ; \quad 1\le i \le n , \ 1\le j\le m \\ (A_{21})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\dfrac{\partial ^{2}F^{2}(y)}{\partial y_{2}^{i}\partial y_{1}^{j}} ; \quad 1\le i \le m , \ 1\le j\le n , \\ (A_{22})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\dfrac{\partial ^{2}F^{2}(y)}{\partial y_{2}^{i}\partial y_{2}^{j}} ; \quad 1\le i, \ j \le m . \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ17.gif"/></section>
By definition of 
<em>F</em>
 and its partial derivatives, we have:
<section id="Equ18"><mml:math display="block" id="Equ18_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ18_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} (A_{11})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{1}^{2}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}\partial y_{1}^{j}}+2F_{2}(y_{2})\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}\partial y_{1}^{j}}\right) ; \quad 1\le i,j \le n, \\ (A_{12})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\times \dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) ;\quad 1\le i \le n , \ 1\le j\le m, \\ (A_{21})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{j}}\times \dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{i}}\right) ;\quad 1\le j\le n , \ 1\le i\le m, \\ (A_{22})_{ij}&=  {} \frac{1}{2}\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{2}^{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{i}\partial y_{2}^{j}}+2F_{1}(y_{1})\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{i}\partial y_{2}^{j}}\right) ; \quad 1\le i, \ j \le m. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ18.gif"/></section>
It can be seen that:
<section id="Equ19"><mml:math display="block" id="Equ19_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ19_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left( A_{11} \right) _{n\times n}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} \left( \dfrac{\partial ^{2}F_{1}^{2}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{1}}+2F_{2}(y_{2}) \dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{1}}\right)&\cdots&\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{1}^{2}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{n}}+2F_{2}(y_{2})\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{n}}\right) \\ \left( \dfrac{\partial ^{2}F_{1}^{2}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{1}}+2F_{2}(y_{2})\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{1}}\right)&\cdots&\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{1}^{2}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{n}}+2F_{2}(y_{2})\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{n}}\right) \\ \quad \vdots \\ \left( \dfrac{\partial ^{2}F_{1}^{2}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{1}}+2F_{2}(y_{2})\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{1}}\right)&\cdots&\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{1}^{2}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{n}}+2F_{2}(y_{2})\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{n}}\right) \end{bmatrix} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ19.gif"/></section>
and
<section id="Equ20"><mml:math display="block" id="Equ20_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ20_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\left( A_{12} \right) _{n\times m}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} \left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}}\times \dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}}\right) \cdots \left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}} \times \dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}}\right) \\ \left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}}\times \dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}}\right) \cdots \left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}}\times \dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}}\right) \\ \vdots \\ \left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}}\times \dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}}\right) \cdots \left( 2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}}\times \dfrac{\partial F_{2}(y_{n})}{\partial y_{2}^{m}}\right) \end{bmatrix} , \\&\left( A_{21} \right) _{m\times n}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} \left( 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}}\times \dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}}\right) \cdots \left( 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}}\times \dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}}\right) \\ \left( 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}}\times \dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}}\right) \cdots \left( 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}}\times \dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}}\right) \\ \vdots \\ \left( 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}}\times \dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}}\right) \cdots \left( 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}}\times \dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}}\right) \end{bmatrix} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ20.gif"/></section>
and
<section id="Equ21"><mml:math display="block" id="Equ21_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ21_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left( A_{22} \right) _{m\times m}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} \left( \dfrac{\partial ^{2}F_{2}^{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{1}}+2F_{1}(y_{1}) \dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{1}}\right)&\cdots&\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{2}^{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{m}}+2F_{1}(y_{1})\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{m}}\right) \\ \left( \dfrac{\partial ^{2}F_{2}^{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{1}}+2F_{1}(y_{1})\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{1}}\right)&\cdots&\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{2}^{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{m}}+2F_{1}(y_{1})\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{m}}\right) \\ \quad \vdots \\ \left( \dfrac{\partial ^{2}F_{2}^{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{1}}+2F_{1}(y_{1})\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{1}}\right)&\cdots&\left( \dfrac{\partial ^{2}F_{2}^{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{m}}+2F_{1}(y_{1})\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{m}}\right) \end{bmatrix}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ21.gif"/></section>
This give the Hessian matrix 
<span id="IEq90"><mml:math id="IEq90_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="1em"/><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq90_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g_{ij}):=\left( \left[ \frac{1}{2}F^{2}\right] _{y^{i}y^{j}}\right) = \begin{pmatrix} A_{11} &{}\quad A_{12}\\ A_{12} &{}\quad A_{22} \end{pmatrix}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq90.gif"/></span>
.</p>
<p>It is sufficient to show that: 
<span id="IEq91"><mml:math id="IEq91_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq91_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall (y_{1},y_{2})\in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq91.gif"/></span>
 we have:
<section id="Equ22"><mml:math display="block" id="Equ22_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ22_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\left[ y\right] ^{t}\left[ g_{ij}\right] \left[ y\right] >0. \begin{bmatrix} y_{1}^{1},\ldots , y_{1}^{n},y_{2}^{1},\ldots ,y_{2}^{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1}^{1} \\ \,\, \vdots \\ y_{1}^{n} \\ y_{2}^{1}\\ \,\, \vdots \\ y_{2}^{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{1}^{1},\ldots , y_{1}^{n},y_{2}^{1},\ldots ,y_{2}^{m} \end{bmatrix} \times \dfrac{1}{2} \\&\begin{bmatrix} \left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{i}}\right) +2F_{2}(y_{2})\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{i}}\right) +2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}}\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) \\ \left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{i}}\right) +2F_{2}(y_{2})\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{i}}\right) +2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}}\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) \\ \vdots \\ \left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{i}}\right) +2F_{2}(y_{2})\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{i}}\right) +2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}}\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) \\ 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}}\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\right) +\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{j}}\right) +2F_{1}(y_{1})\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{j}}\right) \\ 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}}\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\right) +\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{j}}\right) +2F_{1}(y_{1})\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{j}}\right) \\ \vdots \\ 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}}\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\right) +\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{j}}\right) +2F_{1}(y_{1})\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ22.gif"/></section>
<section id="Equ23"><mml:math display="block" id="Equ23_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>+</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="4pt"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>+</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="4pt"/><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ23_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&= \frac{1}{2} y_{1}^{1} \begin{bmatrix} \left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{i}}\right) +2F_{2}(y_{2})\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}\partial y_{1}^{i}}\right) +2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{1}}\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \\&+ \, \frac{1}{2} y_{1}^{2} \begin{bmatrix} \left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{i}}\right) +2F_{2}(y_{2})\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}\partial y_{1}^{i}}\right) +2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{2}}\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \\&+ \\&\ \vdots \\&+\, \frac{1}{2} y_{1}^{n} \begin{bmatrix} \left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{i}}\right) +2F_{2}(y_{2})\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{1}^{i}}\right) +2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{n}}\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \\&+\, \frac{1}{2} y_{2}^{1} \begin{bmatrix} 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}}\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\right) +\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{j}}\right) +2F_{1}(y_{1})\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{1}\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \\&+\, \frac{1}{2} y_{2}^{2} \begin{bmatrix} 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}}\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\right) +\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{j}}\right) +2F_{1}(y_{1})\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{2}\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \\&+ \\&\ \vdots \\&+\, \frac{1}{2} y_{2}^{m} \begin{bmatrix} 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}}\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\right) +\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{j}}\right) +2F_{1}(y_{1})\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{m}\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \\&= \frac{1}{2} y_{1}^{k} \begin{bmatrix} \left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{k}\partial y_{1}^{i}}\right) +2F_{2}(y_{2})\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{k}\partial y_{1}^{i}}\right) +2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{k}}\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}\right) \end{bmatrix} \\&+\, \frac{1}{2} y_{2}^{h} \begin{bmatrix} 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{h}}\left( y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}\right) +\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{h}\partial y_{2}^{j}}\right) +2F_{1}(y_{1})\left( y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{h}\partial y_{2}^{j} }\right) \end{bmatrix}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ23.gif"/></section>
In the first expression by Corollaries 
<a href="#FPar4"><sup>2.4</sup></a>
 (b),  and 
<a href="#FPar5"><sup>2.5</sup></a>
, 
<a href="#FPar6"><sup>2.6</sup></a>
 and Proposition 
<a href="#FPar7"><sup>2.7</sup></a>
, it follows that 
<section id="Equ2444"><mml:math display="block" id="Equ2444_Math"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="4pt"/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ2444_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{k}\partial y_{1}^{i}}=0 , \ y_{2}^{j}\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{j}}=F_{2}(y_{2}), \ y_{1}^{i}\dfrac{\partial ^{2}(F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{k}\partial y_{1}^{i}}=\dfrac{\partial (F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{k}}.$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ2444.gif"/></section></p>
<p>In the second expression,
<section id="Equ24"><mml:math display="block" id="Equ24_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ24_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{h}\partial y_{2}^{j}}=0 ,\quad y_{1}^{i}\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{i}}=F_{1}(y_{1}), \quad y_{2}^{j}\dfrac{\partial ^{2}(F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{h}\partial y_{2}^{j}}=\dfrac{\partial (F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{h}}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ24.gif"/></section>
Then we will have
<section id="Equ25"><mml:math display="block" id="Equ25_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ25_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left[ y\right] ^{t}\left[ g_{ij}\right] \left[ y\right] = \frac{1}{2} y_{1}^{k} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial (F_{1}(y_{1}))^{2}}{\partial y_{1}^{k}}+2\dfrac{\partial F_{1}(y_{1})}{\partial y_{1}^{k}}F_{2}(y_{2}) \end{bmatrix} + \frac{1}{2} y_{2}^{h} \begin{bmatrix} 2\dfrac{\partial F_{2}(y_{2})}{\partial y_{2}^{h}}F_{1}(y_{1})+\dfrac{\partial (F_{2}(y_{2}))^{2}}{\partial y_{2}^{h}} \end{bmatrix}. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ25.gif"/></section>
Therefore 
<span id="IEq93"><mml:math id="IEq93_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq93_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\left[ y\right] ^{t}\left[ g_{ij}\right] \left[ y\right] =\left[ F_{1}^{2}(y_{1})+2F_{1}(y_{1})F_{2}(y_{2})+F_{2}^{2}(y_{2})\right] =\left[ F_{1}(y_{1})+F_{2}(y_{2})\right] ^{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq93.gif"/></span>
. It is clear that 
<span id="IEq94"><mml:math id="IEq94_Math"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq94_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\forall y=(y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})-\lbrace 0\rbrace $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq94.gif"/></span>
 we will have
<section id="Equ26"><mml:math display="block" id="Equ26_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ26_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \left[ y\right] ^{t}\left[ g_{ij}\right] \left[ y\right] >0. \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ26.gif"/></section>
And since the Hessian matrix 
<span id="IEq95"><mml:math id="IEq95_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq95_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(g_{ij}):=\left( \left[ \frac{1}{2}F^{2}\right] _{y^{i}y^{j} }\right) ; (y\ne 0) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq95.gif"/></span>
 is positive definite. 
<span id="IEq96"><mml:math id="IEq96_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq96_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq96.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Corollary 3.3</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq97"><mml:math id="IEq97_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq97_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{1},F_{1})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq97.gif"/></span>
, 
<span id="IEq98"><mml:math id="IEq98_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq98_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{2},F_{2})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq98.gif"/></span>
<em>be Finsler Manifolds of dimensions n and m, respectively. Suppose that</em>
<span id="IEq99"><mml:math id="IEq99_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq99_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ (p_{1},p_{2}) \in M_{1}\times M_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq99.gif"/></span>
<em>and</em>
<span id="IEq100"><mml:math id="IEq100_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq100_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{(p_{1},p_{2})}: T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2}) \rightarrow \left[ 0,+\,\infty \right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq100.gif"/></span>
<em>be a function defined by:</em>
<section id="Equ27"><mml:math display="block" id="Equ27_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ27_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2})=(F_{1}\oplus F_{2})_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2})=F_{1}(y_{1})+ F_{2}(y_{2}), \\&\forall (y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2}) \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ27.gif"/></section>
Then 
<span id="IEq101"><mml:math id="IEq101_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq101_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{(p_{1},p_{2})}: T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2}) \rightarrow \left[ 0,+\,\infty \right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq101.gif"/></span>
 is a Minkowski norm.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>The proof is result of Theorems 
<a href="#FPar9"><sup>3.1</sup></a>
 and 
<a href="#FPar11"><sup>3.2</sup></a>
. 
<span id="IEq102"><mml:math id="IEq102_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq102_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq102.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Theorem 3.4</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq103"><mml:math id="IEq103_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq103_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{1},F_{1})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq103.gif"/></span>
, 
<span id="IEq104"><mml:math id="IEq104_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq104_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{2},F_{2}) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq104.gif"/></span>
<em>be Finsler manifolds of dimensions n and m, respectively. Then the function</em>
<span id="IEq105"><mml:math id="IEq105_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq105_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F : T(M_{1}\times M_{2})\rightarrow \left[ 0,+ \infty \right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq105.gif"/></span>
<em>defined by:</em>
<section id="Equ28"><mml:math display="block" id="Equ28_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ28_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=(F_{1}\oplus F_{2})_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=F_{1}(y_{1})+ F_{2}(y_{2}) \\&\forall (p_{1},p_{2})\in M_{1}\times M_{2}, \forall (y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2} \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ28.gif"/></section>
<em>is a</em>
<span id="IEq106"><mml:math id="IEq106_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq106_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq106.gif"/></span>
<em>-function on the slit‘ tangent bundle</em>
<span id="IEq107"><mml:math id="IEq107_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq107_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T(M_{1}\times M_{2}-\left\{ 0 \right\} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq107.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>Since 
<span id="IEq108"><mml:math id="IEq108_Math"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq108_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F_{1} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq108.gif"/></span>
 and 
<span id="IEq109"><mml:math id="IEq109_Math"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math><tex-math id="IEq109_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{2} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq109.gif"/></span>
 are 
<span id="IEq110"><mml:math id="IEq110_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq110_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq110.gif"/></span>
-functions, it follows that vector function 
<span id="IEq111"><mml:math id="IEq111_Math"><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq111_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \theta :T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2}\rightarrow \left[ 0,+\,\infty \right) \times \left[ 0,+\,\infty \right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq111.gif"/></span>
 defined by: 
<span id="IEq112"><mml:math id="IEq112_Math"><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq112_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \theta (y_{1},y_{2})=\left( F_{1}(y_{1}),F_{2}(y_{2})\right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq112.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq113"><mml:math id="IEq113_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq113_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq113.gif"/></span>
 -function, and so 
<span id="IEq114"><mml:math id="IEq114_Math"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq114_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \lambda : R\times R \rightarrow R $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq114.gif"/></span>
 defined by 
<span id="IEq115"><mml:math id="IEq115_Math"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq115_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ \lambda (s,t)=s+t $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq115.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq116"><mml:math id="IEq116_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq116_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq116.gif"/></span>
-function. It follows that 
<span id="IEq117"><mml:math id="IEq117_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq117_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ F_{(p_{1},p_{2})}=\lambda o \theta $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq117.gif"/></span>
 is a 
<span id="IEq118"><mml:math id="IEq118_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq118_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq118.gif"/></span>
 -function on 
<span id="IEq119"><mml:math id="IEq119_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq119_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ T(M_{1}\times M_{2})-\left\{ 0 \right\} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq119.gif"/></span>
.</p>
<p>As the restriction of 
<em>F</em>
 to any 
<span id="IEq120"><mml:math id="IEq120_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq120_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})-\left\{ 0 \right\} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq120.gif"/></span>
 is 
<span id="IEq121"><mml:math id="IEq121_Math"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq121_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty }, $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq121.gif"/></span>
 we have 
<em>F</em>
 is a 
<span id="IEq122"><mml:math id="IEq122_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq122_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq122.gif"/></span>
 function on the slit tangent bundle 
<span id="IEq123"><mml:math id="IEq123_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq123_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ T(M_{1}\times M_{2})-\left\{ 0 \right\} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq123.gif"/></span>
. 
<span id="IEq124"><mml:math id="IEq124_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq124_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq124.gif"/></span></p></section></section>
<section><h2>Finsler structure on product of Finsler manifolds</h2>
<section><h2>Theorem 4.1</h2>
<p><em>Let</em>
<span id="IEq125"><mml:math id="IEq125_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq125_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{1},F_{1})$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq125.gif"/></span>
, 
<span id="IEq126"><mml:math id="IEq126_Math"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq126_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{2},F_{2}) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq126.gif"/></span>
<em>be Finsler manifolds of dimensions n and m, respectively. Then the function</em>
<span id="IEq127"><mml:math id="IEq127_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="[" separators=""><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq127_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F : T(M_{1}\times M_{2})\rightarrow \left[ 0,+ \infty \right) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq127.gif"/></span>
<em>defined by:</em>
<section id="Equ29"><mml:math display="block" id="Equ29_Math"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><tex-math id="Equ29_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\forall (p_{1},p_{2})\in M_{1}\times M_{2}, \forall (y_{1},y_{2}) \in T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2} \\&F_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=(F_{1}\oplus F_{2})_{(p_{1},p_{2})}(y_{1},y_{2}):=F_{1}(y_{1})+ F_{2}(y_{2}) \end{aligned}$$\end{document}]]></tex-math><graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_Equ29.gif"/></section>
<em>is a Finsler metric on</em>
<span id="IEq128"><mml:math id="IEq128_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq128_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq128.gif"/></span>
.</p></section>
<section><h2>Proof</h2>
<p>By the Corollary 
<a href="#FPar13"><sup>3.3</sup></a>
, the restriction of 
<em>F</em>
 to 
<span id="IEq129"><mml:math id="IEq129_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq129_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2}), \forall (p_{1},p_{2})\in M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq129.gif"/></span>
 is s Minkowski norm, and according to the Theorem 
<a href="#FPar15"><sup>3.4</sup></a>
<em>F</em>
 is 
<span id="IEq130"><mml:math id="IEq130_Math"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup></mml:math><tex-math id="IEq130_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ c^{\infty } $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq130.gif"/></span>
 function on the slit tangent bundle 
<span id="IEq131"><mml:math id="IEq131_Math"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq131_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$T(M_{1}\times M_{2})-\left\{ 0 \right\} $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq131.gif"/></span>
. Therefore 
<em>F</em>
 is a Finsler metric on 
<span id="IEq132"><mml:math id="IEq132_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq132_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$ M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq132.gif"/></span>
. 
<span id="IEq133"><mml:math id="IEq133_Math"><mml:mo>□</mml:mo></mml:math><tex-math id="IEq133_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq133.gif"/></span></p></section>
<section><h2>Definition 4.2</h2>
<p>Let 
<span id="IEq134"><mml:math id="IEq134_Math"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq134_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(M_{1},F_{1}) , (M_{2},F_{2}) $$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq134.gif"/></span>
 be Finsler manifolds of dimensions 
<em>n</em>
 and 
<em>m</em>
, respectively. Then Finsler metric 
<span id="IEq135"><mml:math id="IEq135_Math"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq135_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$F=F_{1}+F_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq135.gif"/></span>
 on 
<span id="IEq136"><mml:math id="IEq136_Math"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math><tex-math id="IEq136_TeX"><![CDATA[\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym}
				\usepackage{amsfonts}
				\usepackage{amssymb}
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$M_{1}\times M_{2}$$\end{document}]]></tex-math><inline-graphic specific-use="web" mime-subtype="GIF" xlink:href="40096_2018_264_Article_IEq136.gif"/></span>
 is called canonical product Finsler metric.</p></section></section><hr/><p><strong>Publisher’s Note</strong>
 Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</p>
<hr/><h2>References</h2>
<ol><li>Lee (1997) <em></em> Springer</li><li>Tu (2011) <em></em> Springer <a href="https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7400-6" target="_blank">10.1007/978-1-4419-7400-6</a></li><li>Do Carmo (1997) <em></em> Birkkauser</li><li>Bao et al. (2000) <em></em> Springer <a href="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1268-3" target="_blank">10.1007/978-1-4612-1268-3</a></li><li>Bao and Chern (1993) <em>On a notable connection in Finsler geometry</em> (pp. 135-180)</li><li>Zixin and Deng (2007) <em>On symmetric Finsler space</em> (pp. 197-219) <a href="https://doi.org/10.1007/s11856-007-0095-6" target="_blank">10.1007/s11856-007-0095-6</a></li><li>Toomanian and Khatamy (2007) <em>Existence of homogeneous vector on the space of the tangent bundle</em> 116(4) (pp. 285-294) <a href="https://doi.org/10.1007/s10474-007-5046-5" target="_blank">10.1007/s10474-007-5046-5</a></li><li>Shen and Chern (2005) <em></em> World Science</li><li>Kozma et al. (2006) <em>On the twisted product of Finsler manifolds</em> 57(3) (pp. 375-383) <a href="https://doi.org/10.1016/S0034-4877(06)80028-5" target="_blank">10.1016/S0034-4877(06)80028-5</a></li></ol>